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Pouvons-nous calculer quelle fraction du gâteau Amy a finalement reçue ? La réponse consiste à diviser la fraction de John par 2, c'est-à-dire \(\dfrac{{dfrac{1}{8}}{2}=\dfrac{1}{16}\) du gâteau.
Dans cet article, nous allons apprendre à effectuer les opérations de multiplication et de division avec des fractions.
Multiplication et division de fractions étape par étape
Nous souhaitons nous pencher sur les opérations de multiplication et de division sur les fractions. Avant tout, rappelons nos connaissances sur les fractions.
Une fraction représente une partie d'un tout. Elle se compose de deux parties : le numérateur et le dénominateur. Le numérateur est écrit au-dessus de la ligne et le dénominateur est écrit en dessous de la ligne. Le dénominateur ne peut pas être nul.
\(\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{7}{8}, \cdots\) sont des exemples de fractions.
Nous sommes familiers avec la multiplication et la division de deux nombres. La question est maintenant de savoir comment effectuer ces opérations sur des fractions plutôt que sur des nombres entiers.
Supposons qu'on te donne deux fractions, disons \(\dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{c}{d}\), nous voulons savoir ce que signifient \(\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}\) et \(\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}.\).
Règles de multiplication et de division des fractions
Règles de multiplication des fractions
Pour multiplier deux fractions \(\dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{c}{d}\), tu multiplies essentiellement les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble. Ainsi, nous avons
\[\dfrac{a}{b}\time \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\time b}{c\time d}.\]
En fait, nous suivons les étapes suivantes pour multiplier des fractions ensemble.
Étape 1. Multiplie les numérateurs des deux fractions ensemble et les dénominateurs ensemble.
Étape 2. Divise les nombres résultants pour obtenir la nouvelle fraction.
On peut s'arrêter à ce stade. Cependant, si le numérateur et le dénominateur de la nouvelle fraction ont des facteurs communs, nous procédons à une autre étape pour obtenir la forme la plus simple de la fraction.
Étape 3. Trouve le facteur commun du numérateur et du dénominateur de la nouvelle fraction. Divise le numérateur et le dénominateur par ce facteur commun. Tu obtiens ainsi la forme la plus simple de la fraction.
Multiplie les fractions \(\dfrac{3}{7}\) et \(\dfrac{5}{11}\).
Solution
Étape 1. En multipliant les numérateurs des fractions, on obtient \[3\Nfois 5=15.\N].
En multipliant les dénominateurs des fractions, on obtient
\N- 7 fois 11=77.\N]
Étape 2. En divisant les nombres résultants, on obtient la nouvelle fraction \(\dfrac{15}{77}.\N).
Comme le numérateur et le dénominateur de la nouvelle fraction n'ont pas de facteurs communs, il s'agit de la forme la plus simple.
Multiplie \(\dfrac{2}{5}\) et \(\dfrac{7}{9}\).
Solution
En multipliant les numérateurs et les dénominateurs, on obtient
\[\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{9}=\dfrac{2\times 7}{5 \times 9}=\dfrac{14}{45}.\]
Multiplie \(\dfrac{5}{8}\) et \(\dfrac{2}{3}.\)
Solution
Étape 1. En multipliant les numérateurs des deux fractions, on obtient
\(5 fois 2=10.\N-) De même, en faisant la même chose avec les dénominateurs, on obtient \N(8 fois 3=24.\N-)
Étape 2. En divisant les nombres résultants, on obtient la nouvelle fraction \(\dfrac{10}{24}.\N).
Nous remarquons que le numérateur et le dénominateur de la nouvelle fraction ont un facteur commun de 2.
Étape 3. Nous obtenons la forme la plus simple de cette fraction en divisant le facteur commun 2 du numérateur 10 et du dénominateur 24. Cela nous donne : \(10 \divsymbol 2=5\) et \(24\divsymbol 2=12\).
La fraction la plus simple est donc \(\dfrac{5}{12}.\)
Règles de division des fractions
Pour diviser deux fractions, tu inverses essentiellement la fraction avec laquelle tu divises, puis tu la multiplies avec la première. Ainsi, la division de deux fractions de la forme
\[\frac{a}{b}\divsymbol\frac{c}{d}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
revient à multiplier les fractions
\[\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}.\]
Nous avons donc
\[\frac{a}{b}\divsymbol\frac{c}{d} =\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}.\]
Comme nous avons déjà vu comment multiplier deux fractions, tu n'as qu'à suivre ces étapes à partir d'ici.
En résumé, nous suivons les étapes suivantes pour effectuer une division sur des fractions,
Étape 1. Inverse la fraction du diviseur - le numérateur devient le dénominateur et le dénominateur devient le numérateur.
Étape 2. Après l'inversion, multiplie les fractions résultantes ensemble en utilisant les étapes décrites pour la multiplication des fractions.
Divise \(\dfrac{5}{8}\) par \(\dfrac{2}{3}.\)
Solution
Étape 1. En inversant le diviseur, on obtient \(\dfrac{3}{2}\).
Étape 2. Effectue maintenant la multiplication des fractions obtenues,
\(\dfrac{5}{8}\) et \(\dfrac{3}{2}\) pour obtenir,
\[\dfrac{5}{8}\times \dfrac{3}{2}=\dfrac{5\times 3}{8\times 2}=\dfrac{15}{16}.\]
Comme le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs communs, il s'agit de la forme la plus simple.
Trouve \(\dfrac{2}{5}\symbole \dfrac{3}{8}\).
Solution
Ici, \(\dfrac{2}{5}\)est la fraction de dividende et \(\dfrac{3}{8}\)est la fraction de diviseur.
Étape 1. Inverse le diviseur, nous obtenons \(\dfrac{8}{3}.\)
Étape 2. Multiplie maintenant les fractions et tu obtiendras
\[\frac{2}{5}\divsymbol\frac{3}{8}=\frac{2}{5}\time \frac{8}{3}=\frac{2\times 8}{3\times 5} =\frac{16}{15}.\]
Comme le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs communs, il s'agit de la forme la plus simple.
Lorsque l'on multiplie ou divise une fraction par un nombre entier, \(a\) peut être écrit sous sa forme équivalente \(\dfrac{a}{1}\) et aucun changement de procédure n'est donc nécessaire.
Find \(\dfrac{\dfrac{2}{5}}{3}.\)
Solution
Ici, \ (\dfrac{2}{5}\)est la fraction de dividende et \(3=\dfrac{3}{1}\) est la fraction de diviseur.
Étape 1. Inverse le diviseur, nous obtenons\ (\dfrac{1}{3}\).
Étape 2. Multiplie maintenant les fractions pour obtenir ,
\[\dfrac{2}{5} \dfrac{1}{3}=\dfrac{2\times 1}{5\times 3}=\dfrac{2}{15}.\]
Comme le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs communs, il s'agit de la forme la plus simple.
Simplify \(\dfrac{4}{\dfrac{7}{9}}\).
Solution
Ici, \(4=\dfrac{4}{1}\)est la fraction de dividende et \(\dfrac{7}{9}\)est la fraction de diviseur.
Solution
Étape 1. Inverse le diviseur, nous obtenons \ (\dfrac{9}{7}\).
Étape 2. Multiplie maintenant les fractions entre elles pour obtenir ,
\[\dfrac{4}{\dfrac{7}{9}}=\dfrac{4}{1}\times \dfrac{9}{7}=\dfrac{4\times 9}{1\times 7}=\dfrac{36}{7}.\]
Comme le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs communs, il s'agit de la forme la plus simple.
Pour simplifier notre travail en évitant les multiplications géantes, nous pouvons "annuler" les facteurs communs entre les numérateurs et les dénominateurs au début avant de multiplier les termes ensemble. Les étapes de la multiplication des fractions seraient alors les suivantes,
Étape 1. Si un numérateur et un dénominateur ont un facteur commun, divise le numérateur et le dénominateur correspondants par le facteur commun pour "annuler" le facteur commun. Fais cela jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de facteurs communs entre les numérateurs et les dénominateurs.
Étape 2. Effectue la multiplication des fractions résultantes.
Dans les exemples suivants, nous avons utilisé la méthode susmentionnée.
Exemples de multiplication et de division de fractions
Jusqu'à présent, nous avons examiné des exemples impliquant des opérations de multiplication et de division entre deux fractions. Tu peux multiplier/diviser plusieurs fractions ensemble en utilisant les mêmes règles que celles décrites ci-dessus. S'il y a une chaîne de multiplications et de divisions multiples, tu dois d'abord inverser les termes du diviseur.
Simplify \(\dfrac{5}{9}\times\dfrac{18}{13}\times\dfrac{21}{20}\)
Solution
Nous avons ici trois fractions à multiplier. La première étape consiste à multiplier les numérateurs des fractions ensemble (5 fois 18 fois 21) et les dénominateurs ensemble (9 fois 13 fois 20).
Nous voyons ici que nous nous retrouvons avec une multiplication de nombres énormes. Pour éviter cela, nous allons d'abord annuler les facteurs communs, dans la mesure du possible.
Étape 1 . Les numérateurs sont 5,18,21 et les dénominateurs 9,13,20. Nous voyons que 9 et 18 ont 9 comme facteur commun et que 5 et 20 ont 5 comme facteur, nous avons donc
\[\frac{5}{9}\times\dfrac{18}{13}\times\dfrac{21}{20}=\dfrac{1}{1}\times\dfrac{2}{13}\times\dfrac{21}{4}.\]
De plus, nous pouvons simplifier 2 et 4 en les divisant par 2, pour obtenir
\[\dfrac{5}{9}\times\dfrac{18}{13}\times\dfrac{21}{20}=\dfrac{1}{13} \times\dfrac{21}{2}.\]
Étape 2. Et la réponse finale est,
\[\dfrac{5}{9}\times\dfrac{18}{13}\times\dfrac{21}{20}=\dfrac{21}{13\times 2}=\dfrac{21}{26}.\]
Simplifier
\[\dfrac{14}{39}\times\dfrac{12}{35}\divsymbol\dfrac{8}{13}\times\dfrac{2}{9}\]
Solution
Étape 1. Inverse la fraction du diviseur pour obtenir,
\[\dfrac{14}{39}\times\dfrac{12}{35}\divsymbol\dfrac{8}{13}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{14}{39}\times\dfrac{12}{35}\times\dfrac{13}{8}\times\dfrac{2}{9}\]
Étape 2. Nous essayons maintenant de ramener les termes à leur forme la plus simple. En divisant 14 et 35 par 7, 13 et 39 par 13, 12 et 9 par 3, 2 et 8 par 2, nous obtenons,
\[\dfrac{14}{39}\times\frac{12}{35}\times\dfrac{13}{8}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{3}\]
Étape 3. En annulant le 4, on obtient [\dfrac{2}{3}\times \dfrac{4}{5}\times \dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{1}{5}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{45}.\N-]
Dans l'exemple suivant, nous effectuons la multiplication et la division de fractions mixtes.
Une fraction mixte est une combinaison d'un nombre entier et d'une fraction. Pour multiplier ou diviser des fractions mixtes, il faut d'abord les convertir en fractions impropres, puis continuer avec le processus standard.
Simplifie
\[4\dfrac{2}{7}\\Nfois 2\dfrac{1}{3}\Ndiv \dfrac{3}{5}.\N]
Solution
En convertissant les fractions mixtes en fractions impropres, on obtient ,
\[4\dfrac{2}{7}\time 2\dfrac{1}{3}\div \frac{3}{5} = \dfrac{30}{7}\time \dfrac{7}{3} \div \dfrac{3}{5}.\]
En inversant le diviseur, on obtient ,
\[\dfrac{30}{7}\times\dfrac{7}{3}\div\dfrac{3}{5}= \dfrac{30}{7} \times \dfrac{7}{3} \n- fois \dfrac{5}{3}\nbsp;\n- fois \n-{5}{3}\nbsp;\n]
En divisant 30 et 3 par 3, en annulant le 7 au numérateur et au dénominateur, on obtient
\[\dfrac{30}{7}\times\dfrac{7}{3}\times \dfrac{5}{3}= \dfrac{10}{1} \times \dfrac{1}{1} \n- fois \dfrac{5}{3}.\n- \n- \n- \n- \n- \n- \n-]
En multipliant les fractions ci-dessus, on obtient ,
\[\dfrac{10}{1}\times \dfrac{5}{3}= \dfrac{50}{3} = 16\dfrac{2}{3}.\]
Tu peux exprimer ta réponse sous forme de fraction mixte ou de fraction impropre si nécessaire.Multiplication et division des fractions algébriques
Tu peux effectuer des multiplications et des divisions sur des fractions algébriques contenant une variable au numérateur et/ou au dénominateur, en suivant les mêmes étapes que celles que nous avons utilisées jusqu'à présent.
Simplifie \(\dfrac{4xy}{5} \times \dfrac{2y}{x^3}\div \dfrac{y}{x}\).
Solution
En inversant le diviseur, on obtient
\N- [\Ndfrac{4xy}{5}] \N- fois \Ndfrac{2y}{x^3} \div \dfrac{y}{x} = \dfrac{4xy}{5} \times \dfrac{2y}{x^3} \N- fois \Ndfrac{x}{y}.\N]
En divisant \(4xy\) et \(x^{3}\) par \(x\) et \(2y\) et \(y\) par \(y\), nous obtenons
\[ \dfrac{4xy}{5}\times\dfrac{2y}{x^3}\times\dfrac{x}{y}= \dfrac{4y}{5} \times \dfrac{2}{x^2} \Nfois \Ndfrac{x}{1}.\N]
En divisant \(x^2\) et \(x\) par \(x\) nous obtenons,
\[ \dfrac{4y}{5}\times\dfrac{2}{x^2}\dfrac{x}{1}= \dfrac{4y}{5} \times \dfrac{2}{x} \N- fois \Ndfrac{1}{1}\N]
En multipliant les fractions ci-dessus, on obtient
\[ \dfrac{4y}{5}\times\dfrac{2}{x}\times\dfrac{1}{1}= \dfrac{8y}{5x}.\]
Multiplie \( 2y^3 + 3xy + 5x^2 + 7\) par \(4x^2\).
Solution
\[\N- &(2y^3 + 3xy + 5x^2 + 7) \N- fois 4x^2 \N- &= (2y^3 \Nfois 4x^2) + (3xy\Nfois 4x^2) + (5x^2\Nfois 4x^2) + (7\Nfois 4x^2)\N- &= 8x^2y^3 + 12x^3 y + 20x^4 + 28x^2.\N- [end{align}\N].
Simplifie \(\dfrac{2x^2 y^3}{7} \times \dfrac{14}{xy} \times \dfrac{y}{x^3}\).
Solution
En divisant \(2x^2y^3\) et \(xy\) par \(xy\), et 7 et 14 par 7, on obtient
\N[ \Nfrac{2x^2y^3}{7} \n- fois \n- fois \n- fois \n- fois \n- fois \n- fois \n- fois 14}{xy} \frac{y}{x^3} = \frac{2xy^2}{1} \times \frac{2}{1} \frac{y}{x^3} .\]
En divisant \(2xy^2\) et \(x^3\) par \(x\), nous obtenons,
\[\frac{2xy^{2}}{1}\times\frac{2}{1}\times\frac{y}{x^3}= \frac{2y^2}{1} \times \frac{2}{1} \frac{y}{x^2} .\]
En multipliant les fractions ci-dessus, on obtient
\N[ \Nfrac{2y^2}{1} \n- fois \n- fois \n- fois \n- fois \n- fois \n- fois \n-{2}{1} \frac{y}{x^2} = \frac{4y^3}{x^2}. \]
Multiplication et division des fractions - Points clés à retenir
- Pour multiplier des fractions, tu multiplies essentiellement les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble. Ainsi, une multiplication de la forme \( \dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}\) est équivalente à \(\dfrac{a\times c}{b\times d}.\)
- Pour diviser un nombre (entier ou fraction) par une fraction, il faut d'abord inverser le diviseur et appliquer le processus de multiplication au reste de l'expression.
- Pour multiplier ou diviser des fractions mixtes, il faut d'abord les convertir en fractions impropres, puis continuer avec le processus standard.
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