Matrices Inverses

Vérifie si les matrices suivantes sont des matrices inverses ou non.

a.

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ -1& 4\end{array}\right]andB=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ -1& \frac{1}{4}\end{array}\right]$

b.

$M=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right]andN=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right]$

Solution :

a. Trouve le produit entre les matrices A et B ;

$$\begin{gathered} A\times B=\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ -1& 4\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ -1& \frac{1}{4}\end{array}\right] \\ A\times B=\left[\begin{array}{cc}(2\times \frac{1}{2})+(2\times (-1\left)\right)& (2\times \frac{1}{2})+(2\times \frac{1}{4})\\ (-1\times \frac{1}{2})+(4\times (-1\left)\right)& (-1\times \frac{1}{2})+(4\times \frac{1}{4})\end{array}\right] \\ A\times B=\left[\begin{array}{cc}1-2& 1+\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}-4& -\frac{1}{2}+1\end{array}\right] \\ A\times B=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\frac{1}{2}\\ -4\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right] \end{gathered}$$

Comme le produit des matrices A et B ne donne pas une matrice identité, A n'est pas l'inverse de B et vice versa.

b.

$$\begin{gathered} M\times N=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1& -2\\ -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right] \\ M\times N=\left[\begin{array}{cc}(3\times 1)+(4\times (-\frac{1}{2}\left)\right)& (3\times (-2\left)\right)+(4\times \frac{3}{2})\\ (1\times 1)+(2\times (-\frac{1}{2})& (1\times (-2\left)\right)+(2\times \frac{3}{2})\end{array}\right] \\ M\times N=\left[\begin{array}{cc}3-2& -6+6\\ 1-1& -2+3\end{array}\right] \\ M\times N=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

Puisque le produit des matrices M et N donne une matrice identité, cela signifie que la matrice M est l'inverse de la matrice N.

Trouve l'inverse de la matrice B.

$B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right]$

Solution :

$B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right]$

En utilisant ;

${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

Puis ;

$$\begin{gathered} B^{-1}=\frac{1}{(1\times 3)-(0\times 2)}\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ -2& 1\end{array}\right] \\ {B}^{-1}=\frac{1}{3-0}\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ -2& 1\end{array}\right] \\ {B}^{-1}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ -2& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

ou,

$$\begin{gathered} B^{-1}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ -2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{3}& 0\\ -\frac{2}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right] \\ {B}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{2}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right] \end{gathered}$$

Trouve l'inverse de la matrice X.

$X=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -3\\ 5& 3& 0\\ -4& 2& 1\end{array}\right]$

Solution :

Il s'agit d'une matrice 3 par 3.

Étape 1 : Trouve le déterminant de la matrice donnée.

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{c}X\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{cc}3& 0\\ 2& 1\end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc}5& 0\\ -4& 1\end{array}\right|-3\left|\begin{array}{cc}5& 3\\ -4& 2\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{c}X\end{array}\right|=2(3-0)-1(5-0)-3(10+12) \\ \left|\begin{array}{c}X\end{array}\right|=6-5-66 \\ \left|\begin{array}{c}X\end{array}\right|=-65 \end{gathered}$$

Comme le déterminant n'est pas égal à 0, cela signifie que la matrice X a un inverse.

Étape 2 : Trouve le cofacteur de la matrice.

Le cofacteur de 2 qui est _C11 est

$$\begin{gathered} C_{11}={(-1)}^{1+1}\times \left|\begin{array}{cc}3& 0\\ 2& 1\end{array}\right| \\ {C}_{11}=1(3-0) \\ {C}_{11}=3 \end{gathered}$$

Le cofacteur de 1 qui est _C12 est

$$\begin{gathered} C_{12}={(-1)}^{1+2}\times \left|\begin{array}{cc}5& 0\\ -4& 1\end{array}\right| \\ {C}_{12}=-1(5-0) \\ {C}_{12}=-5 \end{gathered}$$

Le cofacteur de -3 qui est _C13 est

$$\begin{gathered} C_{13}={(-1)}^{1+3}\times \left|\begin{array}{cc}5& 3\\ -4& 2\end{array}\right| \\ {C}_{13}=1(10+12) \\ {C}_{13}=22 \end{gathered}$$

Le cofacteur de 5 qui est _C21 est

$$\begin{gathered} C_{21}={(-1)}^{2+1}\times \left|\begin{array}{cc}1& -3\\ 2& 1\end{array}\right| \\ {C}_{21}=-1(1+6) \\ {C}_{21}=-7 \end{gathered}$$

Le cofacteur de 3 qui est _C22 est

$$\begin{gathered} C_{22}={(-1)}^{2+2}\times \left|\begin{array}{cc}2& -3\\ -4& 1\end{array}\right| \\ {C}_{22}=1(2+12) \\ {C}_{22}=14 \end{gathered}$$

Le cofacteur de 0 qui est _C23 est

$$\begin{gathered} C_{23}={(-1)}^{2+3}\times \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -4& 2\end{array}\right| \\ {C}_{23}=-1(4+4) \\ {C}_{23}=-8 \end{gathered}$$

Le cofacteur de -4 qui est _C31 est

$$\begin{gathered} C_{31}={(-1)}^{3+1}\times \left|\begin{array}{cc}1& -3\\ 3& 0\end{array}\right| \\ {C}_{31}=1(0+9) \\ {C}_{31}=9 \end{gathered}$$

Le cofacteur de 2 qui est _C32 est

$$\begin{gathered} C_{32}={(-1)}^{3+2}\times \left|\begin{array}{cc}2& -3\\ 5& 0\end{array}\right| \\ {C}_{32}=-1(0+15) \\ {C}_{32}=-15 \end{gathered}$$

Le cofacteur de 1 qui est _C33 est

$$\begin{gathered} C_{33}={(-1)}^{3+3}\times \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right| \\ {C}_{33}=1(6-5) \\ {C}_{33}=1 \end{gathered}$$

Le cofacteur de la matrice X est donc

$X^c=\left[\begin{array}{ccc}3& -5& 22\\ -7& 14& -8\\ 9& -15& 1\end{array}\right]$

Étape 3 : Transpose la matrice cofacteur pour obtenir l'adjoint de la matrice.

La transposée de ^Xc est

${\left(X^c\right)}^T=Adj\left(X\right)=\left[\begin{array}{ccc}3& -7& 9\\ -5& 14& -15\\ 22& -8& 1\end{array}\right]$

Étape 4 : Divise la matrice adjointe par le déterminant de la matrice.

Rappelle-toi que le déterminant de la matrice X est 65. Cette dernière étape nous donne l'inverse de la matrice X qui est ^X-1. Par conséquent, nous avons

$$\begin{gathered} X^{-1}=\frac{1}{-65}\left[\begin{array}{ccc}3& -7& 9\\ -5& 14& -15\\ 22& -8& 1\end{array}\right] \\ {X}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{3}{65}& \frac{7}{65}& -\frac{9}{65}\\ \frac{5}{65}& -\frac{14}{65}& \frac{15}{65}\\ -\frac{22}{65}& \frac{8}{65}& -\frac{1}{65}\end{array}\right] \\ {X}^{-1}=\mathbf{\left[}\begin{array}{ccc}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{65}}& \frac{\mathbf{7}}{\mathbf{65}}& \mathbf{-}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{65}}\\ \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{13}}& \mathbf{-}\frac{\mathbf{14}}{\mathbf{65}}& \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{13}}\\ \mathbf{-}\frac{\mathbf{22}}{\mathbf{65}}& \frac{\mathbf{8}}{\mathbf{65}}& \mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{65}}\end{array}\mathbf{\right]} \end{gathered}$$

À l'aide des opérations matricielles, résous x et y dans la situation suivante :

$$\begin{gathered} 2x+3y=6 \\ x-2y=-2 \end{gathered}$$

Solution :

Cette équation peut être représentée sous forme de matrice comme suit

$\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ -2\end{array}\right]$

Les matrices sont représentées par P, Q et R respectivement, de sorte que

$\left[P\right]\times \left[Q\right]=\left[R\right]$

Nous avons l'intention de trouver la matrice Q puisqu'elle représente nos inconnues x et y. Nous faisons donc de la matrice Q le sujet de la formule.

$$\begin{gathered} {\left[P\right]}^{-1}\times \left[P\right]\times \left[Q\right]={\left[P\right]}^{-1}\times \left[R\right] \\ {\left[P\right]}^{-1}\times \left[P\right]=I \end{gathered}$$

I est une matrice Identité et son déterminant est 1.

$$\begin{gathered} I\left[Q\right]=\left[R\right]\times {\left[P\right]}^{-1} \\ \left[Q\right]=\left[R\right]\times {\left[P\right]}^{-1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\left[P\right]}^{-1}={\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -2\end{array}\right]}^{-1} \\ {\left[P\right]}^{-1}=\frac{1}{(-4-3)}\left[\begin{array}{cc}-2& -3\\ -1& 2\end{array}\right] \\ {\left[P\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{7}& \frac{3}{7}\\ \frac{1}{7}& -\frac{2}{7}\end{array}\right] \end{gathered}$$

Alors ,

$$\begin{gathered} \left[Q\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{7}& \frac{3}{7}\\ \frac{1}{7}& -\frac{2}{7}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}6\\ -2\end{array}\right] \\ \left[Q\right]=\left[\begin{array}{c}(\frac{2}{7}\times 6)+(\frac{3}{7}\times -2)\\ (\frac{1}{7}\times 6)+\left(\right(-\frac{2}{7})\times -2)\end{array}\right] \\ \left[Q\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{12}{7}-\frac{6}{7}\\ \frac{6}{7}+\frac{4}{7}\end{array}\right] \\ \left[Q\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{6}{7}\\ \frac{10}{7}\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{6}{7}\\ \frac{10}{7}\end{array}\right] \\ x=\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{7}} \\ y=\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{7}} \end{gathered}$$