Faces Edges and Vertices

Lorsque tu regardes une photo, les objets qui s'y trouvent semblent plats. Plus précisément, ils n'ont pas de profondeur. En revanche, tout ce que nous voyons avec nos yeux en ce moment dans ce monde est en trois dimensions. Cela signifie que rien n'est entièrement plat ! Rien qu'en regardant ce qui t'entoure, tu peux savoir que les objets qui t'entourent sont constitués de formes uniques. Ces formes sont régies par leurs faces, leurs arêtes et leurs sommets qui les font paraître si tridimensionnelles !

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    Dans cet article, nous allons nous familiariser avec ces concepts de figuresa> tridimensionnelles et observer comment ils jouent un rôle dans les solides courants que nous pouvons rencontrer dans la vie de tous les jours. Ensuite, nous examinerons les notions de surface, d'aire et de volume pour faciliter la visualisation de ces solides.

    Formes en trois dimensions

    Contrairement à un objet en deux dimensions,

    une figure tridimensionnelle est une figure définie par un espace qui prend en compte trois dimensions : la longueur, la largeur et la profondeur.

    Examinons l'exemple ci-dessous.

    Nous avons ici un carré. La figure 1 ci-dessous montre un exemple de figure en deux dimensions.

     Exemple de carré

    Fig. 1 - Exemple de carré

    Remarque que le carré ci-dessus ne comporte que deux dimensions : sa longueur et sa largeur. Essayons maintenant de considérer ce carré comme une figure à trois dimensions. C'est ce qu'on appelle un cube.

    Exemple de cube

    Fig. 2 - Exemple de cube

    Dans ce cas, nous avons une dimension supplémentaire qui est prise en compte, à savoir la profondeur. La figure 2 ci-dessus montre un exemple de figure tridimensionnelle.

    Lesfigures tridimensionnelles sont appelées solides et se composent de trois éléments de base : une face, une arête et un sommet. La section suivante présentera ces termes de manière explicite.

    Définition des faces, des arêtes et des sommets

    Pour commencer notre discussion principale d'aujourd'hui, nous allons nous familiariser avec trois nouveaux termes, définis ci-dessous.

    Laface désigne une surface plane sur un solide. Elle est indiquée par la région ombrée en bleu dans la figure 3 ci-dessous.

    Le visage d'un solide

    Fig. 3 - La face d'un solide

    Unearête est un segment de ligne dans lequel deux faces se rencontrent. Elle est indiquée par la ligne bleue (côté) dans la figure 4 ci-dessous.

    Le bord d'un solide

    Fig. 4 - L'arête d'un solide

    Un sommet (ou coin) est un point où deux arêtes se rencontrent. Il est indiqué par la région encerclée dans la figure 5 ci-dessous.

    Le sommet d'un solide

    Fig. 5 - Le sommet d'un solide

    La face d'un solide ne doit pas nécessairement s'étendre dans une seule direction, comme celles que tu vois sur le solide ci-dessus. Une face peut s'enrouler autour de l'espace. Peux-tu imaginer cela ?

    Lorsque cela se produit, nous disons que nous avons une face incurvée, qui décrit une surface incurvée. Reporte-toi à la flèche de la figure 6 ci-dessous.

    La face courbe d'un solide

    Fig. 6 - La face courbe d'un solide

    Faces, arêtes et sommets des solides courants

    Dans cette section, nous allons nous familiariser avec le nombre de faces, d'arêtes et de sommets de plusieurs solides que nous pourrons rencontrer tout au long de ce programme. Le tableau ci-dessous l'illustre.

    Solide

    Diagramme

    Nombre de faces

    Nombre d'arêtes

    Nombre de sommets

    Nombre de faces courbes

    Sphère

    Sphère

    Sphère

    0

    0

    0

    1

    Ellipsoïde

    Ellipsoïde

    Ellipsoïde

    0

    0

    0

    1

    Cône

    Cône

    Cône

    1

    1

    1

    1

    Cylindre

    Cylindre

    Cylindre

    2

    2

    0

    1

    Tétraèdre

    Tetrahedron

    Tétraèdre

    4

    6

    4

    0

    Pyramide carrée

    Pyramide carrée

    Pyramide carrée

    5

    8

    5

    0

    Prisme triangulaire

    Prisme triangulaire

    Prisme triangulaire

    5

    9

    6

    0

    Cube

    Cube

    Cube

    6

    12

    8

    0

    Cuboïde

    Cuboïde

    Cuboïde

    6

    12

    8

    0

    Octaèdre

    Octaèdre

    Octaèdre

    8

    12

    6

    0

    Prisme pentagonal

    Prisme pentagonal

    Prisme pentagonal

    7

    15

    10

    0

    Prisme hexagonal

    Prisme hexagonal

    Prisme hexagonal

    8

    18

    12

    0

    Surface et volume

    Tous les solides ont une surface et un volume. Commençons par définir ces termes.

    La surface est l'aire totale couverte par toutes les faces d'un solide donné.

    Le volume est la quantité d'espace occupée par un solide donné.

    Pour te représenter le volume d'un solide, imagine que tu remplis une bouteille d'eau cylindrique, par exemple. La quantité d'eau que cette bouteille peut contenir est le volume de cette forme cylindrique.

    La surface peut être trouvée en additionnant toutes les surfaces de chaque face d'une figure tridimensionnelle donnée. Cependant, plutôt que d'exécuter une action aussi lourde, il existe un raccourci !

    Chaque solide courant possède une formule particulière pour trouver sa surface. Il en va de même pour son volume. Le tableau ci-dessous présente la formule de la surface et du volume de plusieurs solides notables.

    Solide

    Diagramme

    Surface

    Volume

    Notation

    Sphère

    Sphère

    Sphère

    \[A=4×π×r^2\]

    \[V=4×π×\frac{r^3}{3}\]

    \(r\) = rayon

    Hémisphère

    Hémisphère

    Hémisphère

    \[A=3×π×r^2\]

    \[V=2×π×\frac{r^3}{3}\]

    \N(r\N) = rayon

    Cône

    Cône

    Cône

    \[A=π×r×(s+r)\]

    \[V=π×r^2×\frac{h}{3}\]

    \N-(r\N) = rayon

    \(s\N-) = hauteur de la pente

    \(h\) = hauteur

    Cylindre

    Cylindre

    Cylindre

    \[A=2×π×r×(r+h)\]

    \[V=π×r^2×h\]

    \(r\) = rayon

    \(h\) = hauteur

    Pyramide

    Pyramide

    Pyramide

    \N-[A=bl+2bs\N]

    \[V=l×b×\frac{h}{3}\]

    \N(l\N) = longueur

    \N(b\N) = base

    \(h\) = hauteur

    \(s\N-) = hauteur oblique

    Cube

    Cube

    Cube

    \N- [A=6×l^2\N]

    \N- [V=l^3\N]

    \N(l\N) = longueur

    Cuboïde

    Cuboïde

    Cuboïde

    \N- [A=2×(lb+bn+lh)\N]

    \N- [V=l×b×h\N]

    \N(l\N) = longueur

    \N(b\N) = base

    \N(h\N) = hauteur

    Prisme triangulaire

    Prisme triangulaire

    Prisme triangulaire

    \[A=bh+lb+2ls\]

    \[V=l×b×\frac{h}{2}\]

    \N(l\N) = longueur

    \(b\) = base

    \(h\) = hauteur

    \(s\N-) = hauteur oblique

    Prisme trapézoïdal

    Prisme trapézoïdal

    Prisme trapézoïdal

    \[A=(a+b)h+bl+al+2ls\]

    \[V=(a+b)×h×\frac{l}{2}\]

    \N(l\N) = longueur

    \(b\) = base

    \(h\) = hauteur

    \(s\) = hauteur oblique

    \(a\) = longueur du sommet

    Prenons deux exemples.

    Calcule la surface et le volume d'un cône dont le rayon est de 5 Unités, la hauteur oblique de 8 unités et la hauteur perpendiculaire de 6 unités.

    Solution

    Les dimensions de ce cône sont données par \(r=5\), \(s=8\) et \(h=6\). En appliquant maintenant la formule de la surface d'un cône, nous obtenons

    \[A=π×5×(8+5)=65\pi\approx 641.52\]

    Ainsi, ce cône a une surface de 641,52 unités2 correcte à 2 décimales près. Ensuite, nous allons utiliser la formule du volume d'un cône.

    \[V=π×5^2×\frac{6}{3}=50\pi\approx 157.08\]

    Par conséquent, ce cône a un volume de 157,08unités3 correct à 2 décimales près.

    Voici un dernier exemple pour cette section avant de passer à la formule d'Euler.

    Quel est le rayon d'une sphère dont la surface est de 67 unités2? Utilise ce résultat pour déterminer également son volume.

    Solution

    Ici, on nous donne la surface de cette sphère sous la forme \(A=67\). Pour déterminer son rayon, nous devons réarranger la formule de la surface d'une sphère de façon à ce que \(r\) devienne le sujet.

    \[A=4×π×r^2\implique r^2=\frac{A}{4\times \pi}\]

    Prends maintenant la racine carrée des deux côtés,

    \[r=\sqrt{\frac{A}{4\times \pi}}\]

    Note que nous ne devons considérer que la racine positive dans ce cas puisque nous avons affaire à des dimensions et des mesures, qui sont toujours considérées comme positives. Nous pouvons maintenant substituer nos valeurs données pour déterminer le rayon.

    \[r=\sqrt{\frac{67}{4\times \pi}}=\approx 5.33\]

    Le rayon est donc de 5,33 unités, avec une précision de deux décimales. Nous pouvons maintenant utiliser ce résultat pour déterminer le volume de cette sphère. Par souci de précision, nous ne prendrons pas la forme approximative du rayon, mais la forme fractionnaire, c'est-à-dire \(r=\sqrt{\frac{67}{4\times \pi}}\).

    \[V=4×π×\frac{\left(\sqrt{\frac{67}{4\times \pi}}\right)^3}{3}\approx 634.87\]

    Par conséquent, le volume de cette sphère est de 634,87 unités3.

    Formule d'Euler pour un polyèdre

    La formule d'Euler stipule que pour tout polyèdre qui ne s'intersecte pas et qui n'a pas de trous, le nombre de faces plus le nombre de sommets moins le nombre d'arêtes est toujours égal à deux. Cela peut s'écrire par l'expression ci-dessous.

    \N-[F+V-E=2\N]

    • F = nombre de faces ;

    • V = nombre de sommets ;

    • E = nombre d'arêtes.

    Rappelle qu'un polyèdre est un solide qui n'a que des faces planes et qu'un non-polyèdre est un solide qui a au moins une face courbe.

    Application de la formule d'Euler

    Dans cette section, nous allons examiner plusieurs exemples d'application de la formule d'Euler. Reporte-toi aux tableaux ci-dessus pour t'aider à vérifier les réponses aux exemples présentés ici.

    Faces, arêtes et sommets d'une pyramide à base carrée

    Une pyramide à base car rée est un type de pyramide à base carrée. Elle comporte 5 côtés comprenant la base carrée et 4 faces latérales triangulaires congruentes. La figure 7 illustre une pyramide à base carrée.

    Pyramide carrée

    Fig. 7 - Pyramide à base carrée

    Prenons un exemple.

    Vérifie que la formule d'Euler est satisfaite pour une pyramide à base carrée.

    Solution

    D'après notre tableau ci-dessus, une pyramide à base carrée présente les caractéristiques suivantes :

    Nombre de faces : 5

    Nombre de sommets : 5

    Nombre d'arêtes : 8

    Maintenant, en appliquant la formule d'Euler, nous obtenons

    \[F+V-E=5+5-8=2\]

    La formule d'Euler est donc valable pour une pyramide à base carrée.

    Faces, arêtes et sommets d'un cuboïde

    Un cuboïde est une figure tridimensionnelle délimitée par six faces rectangulaires. Un autre nom pour un cuboïde est un hexaèdre. La figure 8 illustre un cuboïde.

    Cuboïde

    Fig. 8 - Cuboïde

    Il existe deux cas particuliers de cuboïdes à considérer.

    1. Le cuboïde carré : ce type de cuboïde a deux (ou plus) faces carrées opposées.
    2. Le cube : ce type de cuboïde n'a que des faces carrées.

    Voici un exemple.

    Vérifie que la formule d'Euler est satisfaite pour un cuboïde.

    Solution

    D'après notre tableau ci-dessus, un cuboïde présente les caractéristiques suivantes :

    Nombre de faces : 6

    Nombre de sommets : 8

    Nombre d'arêtes : 12

    En appliquant la formule d'Euler, nous obtenons maintenant

    \[F+V-E=6+8-12=2\]

    La formule d'Euler est donc valable pour un cuboïde.

    Faces, arêtes et sommets d'un prisme triangulaire

    Un prisme triangulaire est un type de prisme composé de deux bases triangulaires et de trois côtés rectangulaires. La figure 9 montre l'image d'un prisme triangulaire.

    Prisme triangulaire

    Fig. 9 - Prisme triangulaire

    Voyons maintenant un exemple.

    Vérifie que la formule d'Euler est satisfaite pour un prisme triangulaire.

    Solution

    D'après notre tableau ci-dessus, un prisme triangulaire présente les caractéristiques suivantes :

    Nombre de faces : 5

    Nombre de sommets : 6

    Nombre d'arêtes : 9

    Maintenant, en appliquant la formule d'Euler, nous obtenons

    \[F+V-E=5+6-9=2\]

    La formule d'Euler est donc valable pour un prisme triangulaire.

    Faces, arêtes et sommets du prisme hexagonal

    Un prisme hexagonal est untype de prisme composé de deux bases hexagonales et six côtés rectangulaires. Il est parfois appelé octaèdre. La figure 10 illustre un prisme hexagonal.

    Prisme hexagonal

    Fig. 10 - Prisme hexagonal

    Rappelle qu'un hexagone a six côtés.

    Voici un exemple.

    Vérifie que la formule d'Euler est satisfaite pour un prisme hexagonal.

    Solution

    D'après notre tableau ci-dessus, un prisme hexagonal présente les caractéristiques suivantes :

    Nombre de faces : 8

    Nombre de sommets : 12

    Nombre d'arêtes : 18

    En appliquant la formule d'Euler, nous obtenons maintenant

    \[F+V-E=8+12-18=2\]

    La formule d'Euler est donc valable pour un prisme hexagonal.

    Faces, arêtes et sommets d'un cylindre

    Un cylindre est un type de prisme composé de deux bases circulaires et d'une face incurvée.Il est considéré comme une forme géométrique curviligne. La figure 11 montre un cylindre.

    Cylindre

    Fig. 11 - Cylindre

    Maintenant, remarque qu'uncylindre n'a qu'une seule face incurvée . Il ne s'agit donc pas d'un polyèdre. Cela signifie que la formule d'Euler ne s'applique pas ici.

    Vérifions si cela est vrai.

    La formule d'Euler s'applique-t-elle à un cylindre ?

    Solution

    D'après notre tableau ci-dessus, un cylindre présente les caractéristiques suivantes :

    Nombre de faces planes : 2

    Nombre de faces courbes : 1

    Nombre de sommets : 0

    Nombre d'arêtes : 2

    Tout d'abord, remarque que nous ne pouvons pas insérer le nombre de faces incurvées dans la formule d'Euler car il n'y a pas de variable qui l'indique. Même si nous ne prenions pas en compte cette face courbe et que nous ne tenions compte que des faces planes et des arêtes du cylindre, nous obtiendrions

    \[F+V-E=2+0-2=0\]

    ce qui n'est certainement pas conforme à la formule d'Euler.

    Faces, arêtes et sommets - Points clés à retenir

    • La face désigne une surface plane sur un solide.
    • Une arête est un segment de ligne sur lequel deux faces se rencontrent.
    • Un sommet (ou coin) est un point où deux arêtes se rencontrent.
    • La surface est l'aire totale couverte par toutes les faces d'un solide donné.
    • Le volume est l'espace occupé par un solide donné.
    • La formule d'Euler est donnée par \(F+V-E=2\)
    Questions fréquemment posées en Faces Edges and Vertices
    Qu'est-ce qu'un sommet en géométrie?
    Un sommet est un point où se rencontrent deux arêtes ou plus d'une figure géométrique.
    Combien d'arêtes a un cube?
    Un cube a 12 arêtes.
    Comment calculer le nombre de faces d'un polyèdre?
    Pour calculer le nombre de faces, on dénombre les surfaces plates du polyèdre.
    Quelle est la différence entre une arête et un sommet?
    Une arête est le segment de ligne entre deux sommets, tandis qu'un sommet est le point d'intersection de deux arêtes.

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