Convexité et Concavité

Comment trouver la concavité dans une équation ?

Pour représenter algébriquement qu'une fonction est concave, on utilise l'équation suivante :

$\lambda x+(1-\lambda )y⩽\lambda f\left(x\right)+(1-\lambda )f\left(y\right)$

En d'autres termes, supposons que$x$et$y$sont deux points quelconques de l'axe des x sur lesquels la fonction est représentée.

Avant d'exprimer cela en mots, il est important de comprendre que$\lambda x+(1-\lambda )y$sélectionne n'importe quel point entre les points$x$et$y$. De même, $\lambda f\left(x\right)+(1-\lambda )f\left(y\right)$ sélectionne n'importe quel point entre$f\left(x\right)$et$f\left(y\right)$.

La première partie de l'inégalité permet de trouver la valeur de la fonction pour tout point situé entre$x$et$y$. La deuxième partie sélectionne n'importe quel point entre les fonctions de $x$ et $y$. Ainsi, cette équation représente que la fonction de n'importe quel point entre$x$et$y$est supérieure ou égale à tout point situé entre les points$x$et$y$.

En observant le graphique ci-dessus, il est clair que cela est vrai pour ce graphique car les fonctions des points entre les coordonnées d'intersection sont supérieures aux fonctions entre les deux fonctions, représentées par l'équation linéaire bleue.

Qu'est-ce qu'une fonction convexe ?

Un exemple peut être vu ci-dessous :

Exemple de fonction convexe- StudySmarter Originals

Il est clair que ce type de fonction s'oppose à une fonction concave. Une ligne entre deux points (représentant toutes les fonctions entre les deux fonctions) est toujours au-dessus ou au même niveau que la fonction elle-même.

Comment trouver la convexité dans une équation ?

Comme les deux types de fonctions ont des paramètres similaires, leurs équations se ressemblent. Elles n'ont qu'une seule différence essentielle :

$\lambda x+(1-\lambda )y⩾\lambda f\left(x\right)+(1-\lambda )f\left(y\right)$

Remarque que le signe d'inégalité est inversé. Puisque toutes les autres composantes sont identiques, cette fonction représente que tout point situé entre les coordonnées sélectionnées est supérieur ou égal à tout point de la fonction situé entre les deux coordonnées.

Une fonction peut-elle être à la fois concave et convexe ?

Oui, c'est possible. En effet, les deux fonctions ont un signe égal dans l'inégalité. L'exemple le plus courant est celui d'une ligne droite, car la fonction d'un point situé entre deux points correspondra à la fonction équivalente entre les deux fonctions.

Qu'est-ce qu'un polygone concave ?

Un exemple de ce type de forme peut être vu ci-dessous :

Exemple de polygone concave- StudySmarter Originals

Dans la forme ci-dessus, l'angle EDC dépasse 180 degrés. Il s'agit donc d'une fonction concave.

Il existe un test visuel qui permet de vérifier si un polygone est concave : si une ligne droite entre deux points quelconques à l'intérieur d'un polygone sort de la forme, il s'agit d'un polygone concave. Par exemple, ci-dessous, nous pouvons voir que si nous traçons le segment de droite $EC$la ligne sort de la forme. Par conséquent, le polygone est concave.

Test visuel pour le polygone concave- StudySmarter Originals

Qu'est-ce qu'un polygone convexe ?

Un exemple serait la forme suivante :

Exemple de polygone convexe - StudySmarter Originals

Le test visuel pour les polygones concaves peut être inversé pour tester un polygone convexe. Comme ce polygone n'a pas deux points qui créent un segment qui se croise à l'extérieur de lui, cette forme géométrique est un polygone convexe.

Différences entre concavité et convexité

La principale différence entre la concavité et la convexité réside dans le fait que les angles sous-tendus dans les formes convexes s'incurvent vers l'extérieur alors que les angles sous-tendus dans les formes concaves s'incurvent vers l'intérieur. Tout repose sur le fait qu'il y a ou non un angle qui dépasse 180 degrés.

Tu trouveras ci-dessous d'autres exemples de polygones concaves et convexes. Vois si tu peux déterminer s'ils sont concaves ou convexes.

Tu trouveras ci-dessous d'autres exemples de fonctions concaves et convexes. Vois si tu peux déterminer si elles sont concaves ou convexes.