Hyperboles

Détermine l'équation de l'hyperbole représentée par le graphique ci-dessous.

Solution

L'hyperbole ci-dessous a pour foyers (0 , -5) et (0, 5) tandis que les sommets sont situés à (0, -4) et (0, 4). La distance entre ces deux coordonnées est de 8 unités.

Ainsi, la différence entre la distance entre n'importe quel point (x, y) de l'hyperbole et les foyers est de 8 ou -8 unités, selon l'ordre dans lequel tu fais la soustraction.

En utilisant la formule de la distance, nous obtenons l'équation de l'hyperbole comme suit.

Soit ,

_d1 = distance de (0, 5) à (x, y)

_d2 = distance de (0, -5) à (x, y)

$$\begin{gathered} d_2-d_1=\pm 8 \\ \Rightarrow \sqrt{{(y-5)}^2+x^2}-\sqrt{{(y+5)}^2+x^2}=\pm 8 \\ \Rightarrow \sqrt{{(y-5)}^2+x^2}=\pm 8+\sqrt{{(y+5)}^2+x^2} \\ \Rightarrow {(y-5)}^2+x^2={\left(\pm 8+\sqrt{{(y+5)}^2+x^2}\right)}^2 \\ \Rightarrow y^2-10y+25+x^2=64+16\sqrt{{(y+5)}^2+x^2}+{(y+5)}^2+x^2 \\ \Rightarrow \cancel{y^2}-10y+\cancel{25}+\cancel{x^2}=64\pm 16\sqrt{{(y+5)}^2+x^2}+\cancel{y^2}+10y+\cancel{25}+\cancel{x^2} \\ \Rightarrow -20y-64=\pm 16\sqrt{{(y+5)}^2+x^2} \\ \Rightarrow 5y+16=\pm 4\sqrt{{(y+5)}^2+x^2} \\ \Rightarrow {\left(5y+16\right)}^2=16{\left(\sqrt{{(y+5)}^2+x^2}\right)}^2 \\ \Rightarrow 25y^2+160y+256=16(y^2+10y+25+x^2) \\ \Rightarrow 25y^2+\cancel{160y}+256=16y^2+\cancel{160y}+400+16x^2 \\ \Rightarrow 9y^2-16x^2=144 \end{gathered}$$

En divisant l'expression par $9\times 16,$ notre résultat final devient

$\Rightarrow \frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{9}=1$

Identifie les foyers et les sommets de l'hyperbole $\frac{y^2}{49}-\frac{x^2}{32}=1$.

Solution

L'équation est de la forme

$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

Ainsi, l'axe transversal se trouve sur l'axe des y. Le centre est à l'origine, donc les ordonnées sont les sommets du graphique. Nous pouvons donc trouver les sommets en fixant x = 0 et en résolvant pour y comme ci-dessous.

$$\begin{gathered} \frac{y^2}{49}-\frac{{\left(0\right)}^2}{32}=1 \\ \Rightarrow \frac{y^2}{49}=1 \\ \Rightarrow y^2=49 \\ \Rightarrow y=\pm \sqrt{49}=\pm 7 \end{gathered}$$

Les foyers sont situés à $(0,\pm c)$ et par la relation entre a, b et c établie précédemment, nous obtenons

$c^2=a^2+b^2\Rightarrow c=\pm \sqrt{a^2+b^2}=\pm \sqrt{49+32}=\pm \sqrt{81}=\pm 9$

Ainsi, les sommets sont (0, -7) et (0, 7) tandis que les foyers sont (0, -9) et (0, 9). Le graphique est représenté ci-dessous.

Identifie les foyers et les sommets de l'hyperbole $\frac{{(y-2)}^2}{9}-\frac{{(x-3)}^2}{25}=1$.

Solution

L'équation est de la forme

$\frac{{(y-k)}^2}{a^2}-\frac{{(x-h)}^2}{b^2}=1$

Ainsi, l'axe transversal se trouve sur l'axe des y. Ici, h = 3 et k = 2, le centre se trouve donc à (3, 2). Pour trouver les sommets, nous allons utiliser la formule ci-dessous.

$(h,k\pm a)\Rightarrow (3,2\pm \sqrt{9})=(3,2\pm 3)$

Les foyers sont situés à $(0,\pm c)$ et en utilisant $c^2=a^2+b^2$ comme précédemment, nous obtenons

$c=\pm \sqrt{9+25}=\pm \sqrt{34}\approx \pm 5.83(correcttotwodecimalplaces)$

Ainsi, les sommets sont (3, -1) et (3, 5) tandis que les foyers sont (0, -5,83) et (0, 5,83). Le graphique est représenté ci-dessous.

Exprime l'hyperbole suivante sous forme standard étant donné les foyers et les sommets suivants.

$$\begin{gathered} Vertices:(\pm 6,0) \\ Foci:(\pm 2\sqrt{10},0) \end{gathered}$$

Solution

Remarque que les sommets et les foyers sont situés sur l'axe des x. Par conséquent, l'équation de l'hyperbole prendra la forme suivante

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Puisque les sommets sont $(\pm 6,0),$alors

$a=6\Rightarrow a^2=36$

Puisque les foyers sont $(\pm 2\sqrt{10},0),$alors

En résolvant pour ^b2, nous obtenons

$$\begin{gathered} b^2=c^2-a^2=40-36 \\ \Rightarrow b^2=4 \end{gathered}$$

Maintenant que nous avons trouvé ^a2 et ^b2, nous pouvons substituer ce résultat dans la forme standard comme suit

$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1$

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exprime l'hyperbole suivante sous forme standard étant donné les foyers et les sommets suivants.

$$\begin{gathered} Vertices:(1,-2)and(1,8) \\ Foci:(1,-10)and(1,16) \end{gathered}$$

Solution

Les sommets et les foyers ont les mêmes coordonnées x, l'axe transversal est donc parallèle à l'axe y. L'équation de l'hyperbole prendra donc la forme suivante

$\frac{{(y-k)}^2}{a^2}-\frac{{(x-h)}^2}{b^2}=1$

Nous devons d'abord identifier le centre à l'aide de la formule du point médian. Le centre se trouve entre les sommets (1, -2) et (1, 8), donc

$(h,k)=\left(\frac{1+1}{2},\frac{-2+8}{2}\right)=(1,3)$

La longueur de l'axe transversal, 2a, est limitée par les sommets. Pour trouver ^a2, nous devons évaluer la distance entre les coordonnées y des sommets.

$$\begin{gathered} 2a=\left|-2-8\right|=\left|-10\right|=10 \\ \Rightarrow a=5 \\ \Rightarrow a^2=25 \end{gathered}$$

Les coordonnées des foyers sont

$(h,k\pm c)\Rightarrow (h,k-c)=(1,-10)and(h,k+c)=(1,16)$

En utilisant k + 3 = 16 et en remplaçant k = 3, nous obtenons

$c=13\Rightarrow c^2=169$

Ainsi, nous pouvons résoudre ^b2 par

$b^2=c^2-a^2\Rightarrow b^2=169-25=144$

Enfin, en substituant ces valeurs dans la forme standard, nous obtenons

$\frac{{(y-3)}^2}{25}-\frac{{(x-1)}^2}{144}=1$

Le graphique est illustré ci-dessous.

Trace le graphique de l'hyperbole $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1$

Solution

Comme tu peux le voir, l'hyperbole est déjà sous la forme standard.

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Cela signifie que nous avons une paire de courbes qui s'ouvrent à gauche et à droite. Les sommets sont $(\pm 6,0)$ et les foyers sont $(\pm 2\sqrt{10},0)$. Le centre de l'hyperbole est l'origine, (0, 0). Ici ,

$$\begin{gathered} a^2=36\Rightarrow a=6 \\ and{b}^2=4\Rightarrow b=2 \end{gathered}$$

L'équation des asymptotes est

$y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{2}{6}x=\pm \frac{1}{3}x$

Il faut toujours esquisser les asymptotes lorsque l'on fait un graphique d'hyperboles. De cette façon, nous pouvons dessiner avec précision les courbes associées à l'équation.

Le graphique de $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1$ est illustré ci-dessous.

Trace le graphique de l'hyperbole ci-dessous.

Solution

Pour résoudre cette expression, nous devons essayer de la réarranger sous la forme standard d'une hyperbole. Pour ce faire, nous complétons le carré comme suit.

$$\begin{gathered} 9x^2-36x-25y^2-50y=214 \\ 9(x^2-4x+\mathit{A})-25(y^2+2y+\mathit{B})=214+9\left(\mathit{A}\right)-25\left(\mathit{B}\right) \end{gathered}$$

Nous devons identifier A et B. Ce faisant, nous obtenons

$$\begin{gathered} 9(x^2-4x+\mathbf{4})-25(y^2+2y+\mathbf{1})=214+9\left(\mathbf{4}\right)-25\left(\mathbf{1}\right) \\ \Rightarrow 9{(x-2)}^2-25{(y+1)}^2=225 \end{gathered}$$

En divisant les deux côtés par 225, nous obtenons l'équation suivante

$\Rightarrow \frac{{(x-2)}^2}{25}-\frac{{(y+1)}^2}{9}=1$

Le centre est (2, -1). Nous avons également les valeurs $h=2,k=-1,a=5,b=3andc=\sqrt{34}$. Nous obtenons donc les valeurs suivantes pour les sommets, les foyers et les asymptotes.

Les sommets

$$\begin{gathered} (h\pm a,k)=(2\pm 5,-1) \\ \Rightarrow (-3,-1)and(7,-1) \end{gathered}$$

Les foyers

$$\begin{gathered} (h\pm c,k)=(2\pm \sqrt{34},-1) \\ \Rightarrow (2-\sqrt{34},-1)and(2-\sqrt{34},-1) \end{gathered}$$

Les asymptotes

$$\begin{gathered} y=k\pm \frac{b}{a}(x-h)=-1\pm \frac{3}{5}(x-2) \\ \Rightarrow y+1=-\frac{3}{5}(x-2)andy+1=\frac{3}{5}(x-2) \end{gathered}$$

Le graphique de $\frac{{(x-2)}^2}{25}-\frac{{(y+1)}^2}{9}=1$ est illustré ci-dessous.

Trouve l'excentricité de l'hyperbole. $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$

Solution

Ici, ^a2 = 25 et ^b2 = 9. Ainsi, l'excentricité de cette hyperbole est donnée par

$$\begin{gathered} a=\sqrt{25}=5 \\ \Rightarrow e=\frac{\sqrt{25+9}}{5} \\ \Rightarrow e=\frac{\sqrt{34}}{5}\approx 1.17(correcttotwodecimalplaces) \end{gathered}$$