Permutations et Combinaisons

Qu'est-ce qu'une permutation ?

Permutation linéaire

Lorsqu'un arrangement avec ordre se fait sur une ligne droite, on parle de permutation linéaire . Par exemple, lorsque tu dois trouver le nombre de façons de disposer les 6 boules suivantes dans l'ordre. Une telle disposition d'objets en ligne droite est illustrée dans l'image ci-dessous.

Permutation circulaire

Cependant, lorsqu'une disposition avec ordre est faite de manière circulaire ou incurvée, on parle de permutation circulaire. On peut en voir un exemple lorsqu'il s'agit de disposer des pierres de différentes couleurs sur une perle. La figure ci-dessous donne un aperçu des arrangements circulaires.

Contrairement aux permutations linéaires où les éléments sont organisés sur une ligne droite, les permutations circulaires sont disposées de manière circulaire, comme nous l'avons vu ci-dessus. Ci-après, tu auras plus de détails et d'exemples concernant les permutations circulaires.

Qu'est-ce que le signe de permutation ?

Plusieurs signes sont utilisés pour représenter la permutation ; ce sont :

$$\begin{gathered} P(n,r) \\ or \\ {}_{n}P_r \end{gathered}$$

Types de permutation linéaire et formules correspondantes

Il existe deux types de permutation, la permutation avec réplétion et la permutation sans répétition.

Permutation avec répétition

Dans un tel cas d'arrangement ou de sélection, l'objet peut être réutilisé dans toutes les étapes de la sélection. Cela signifie que chaque composant d'un groupe peut être utilisé à chaque fois que la sélection est effectuée.

Par exemple, si trois lettres des alphabets A à Z devaient être sélectionnées, alors la lettre A peut être sélectionnée dans ces 3 fois comme AAA. Le même argument vaut pour B et C, et ainsi de suite, etc. Comme nous avons 26 alphabets, nous avons 26 choix à chaque fois ! Par conséquent, le nombre de fois où les trois lettres seront sélectionnées est de ,

${26}^3=17576times$

où la base 26 signifie qu'il y a 26 alphabets et l'exposant 3 représente le nombre d'alphabets à sélectionner. Cela signifie que pour la sélection avec répétition en utilisant la formule,

$Thenumberofpossibleways=n^r$

où n est le nombre d'objets dans un ensemble et r le nombre de fois que la sélection est effectuée.

Permutation sans répétition

Dans ce cas, il n'y a pas de répétition d'un membre d'un ensemble utilisé lors des sélections. Une fois qu'un membre est utilisé, il ne peut pas être réutilisé, ce qui réduit les chances disponibles.

Par exemple, si un alphabet doit être choisi et que Z est choisi, une fois que Z est utilisé, il ne peut pas être réutilisé, ce qui réduit nos chances de 26 à 25. De même, si deux alphabets doivent être choisis et que tu choisis Z et Y, une fois que Z et Y sont utilisés, cela réduit encore nos possibilités de 26 à 24 et ainsi de suite. Il ne nous reste donc plus qu'à choisir :

$$\begin{gathered} 26\times 25\times 24\times 23\times 22\times 21...\times 1=26! \\ 26!=403291461126605635584000000 \end{gathered}$$

Par conséquent, contrairement à la permutation avec répétition qui permet de remplacer et de réutiliser un élément parmi les ensembles, la permutation sans répétition ne permet pas le remplacement et l'utilisation ultérieure d'un élément une fois qu'il a été utilisé.

Dans l'exemple précédent, tous les membres des nombres sont sélectionnés et disposés. Maintenant, que se passe-t-il si l'on en sélectionne quelques-uns parmi tous les autres ? Par exemple, on te donne les nombres 1 à 10 et tu dois en choisir 6.

Rappelle-toi que nous pouvons ranger les nombres 1 à 10 en

$10!=10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1ways$.

Cependant, comme nous ne sélectionnons que 6 nombres, cela signifie que nous avons

$10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5ways=\frac{10!}{4!}ways$

Mais$4!=(10-6)!$. Nous pouvons donc en déduire la formule de permutation :

$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$

où n est le nombre d'objets, r est le nombre d'objets parmi lesquels il faut choisir.

Par conséquent, pour résoudre à nouveau la question, nous avons

$$\begin{gathered} P(10,6)=\frac{10!}{(10-6)!} \\ P(10,6)=\frac{10!}{4!} \\ P(10,6)=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{4\times 3\times 2\times 1} \\ P(10,6)=10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5 \\ P(10,6)=151,200 \end{gathered}$$

Utilisation des permutations pour arranger les lettres

Nous nous souvenons que pour faire un arrangement ordonné sans répétition impliquant tous les membres d'un ensemble de n membres, nous avons P(n,n) = n ! façons.

Par ailleurs, si certains membres, r, d'un ensemble, n, devaient être sélectionnés et arrangés, nous aurions,

$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$façons

Cependant, il existe des cas où un membre d'un ensemble est répété à l'intérieur d'un autre ensemble. Par exemple, dans le mot GAGNANT, N est répété deux fois. Par conséquent, pour tenir compte du double N, il devient :

$\frac{P(6,6)}{P(2,2)}=\frac{6!}{2!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=360$

Note que la permutation de tous les membres est divisée par la permutation du nombre de répétitions (dans ce cas 2). Ainsi, si N était répété trois fois, la permutation aurait été divisée par P(3,3) qui est 3 !

De même, si plusieurs membres d'un ensemble sont répétés, la permutation de tous les membres est divisée par le produit de la permutation de chaque membre répété. Par exemple, dans le mot MOINS, nous avons deux E et trois S, avec un total de six alphabets. Pour arranger cela, nous utilisons :

$\frac{P(6,6)}{P(2,2)\times P(3,3)}=\frac{6!}{2!\times 3!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(2\times 1)\times (3\times 2\times 1)}=60$

En se basant sur ces connaissances, pour ranger des lettres avec le même alphabet, cela devient

$\frac{n!}{p!q!}$

où, n est le nombre total de lettres, p et q sont les nombres de fois où un alphabet est répété.

Formule de permutation circulaire

Nous avons envisagé la permutation d'objets de manière linéaire, mais il arrive que l'arrangement se fasse de manière circulaire ou rotative, comme nous l'avons mentionné plus haut dans cette étude. Cela nécessite une approche différente car, contrairement à une ligne droite qui part d'un point et se termine à un autre point, un cercle part d'un point et se termine au même point. Cela signifie que pour un ensemble de n nombres, n est répété de sorte que nous avons :

$$\begin{gathered} \frac{P(n,n)}{n}=\frac{n!}{n}=\frac{n\times (n-1)!}{n} \\ \frac{n\times (n-1)!}{n}=(n-1)! \end{gathered}$$

Ainsi, la permutation, dans ce cas, suit l'utilisation de $(n-1)!$.

Qu'est-ce que la combinaison ?

La combinaison est une méthode de sélection qui ne suit pas d'ordre. Contrairement à la permutation, si trois lettres devaient être choisies parmi les lettres A à E, ABC, ACB, BAC, BCA, CAB et CBA seraient tous des résultats parce que l'ordre est impliqué. Mais dans la combinaison où l'ordre n'est pas nécessaire, un seul ABC représente le reste parce que ce sont tous des répétitions si l'ordre n'est pas impliqué.

Les résultats de la combinaison sont inférieurs à ceux de la permutation car, avec la suppression de l'ordre, un seul résultat remplace les ordres qui sont similaires. Par exemple, au lieu d'écrire les six résultats suivants : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB et CBA, tu écris un seul ABC, ce qui réduit l'option de cette combinaison de 6 à 1.

Pour calculer les combinaisons, nous utilisons :

$C(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}$

Où

n représente le nombre total d'éléments parmi lesquels il faut choisir

r représente le nombre d'éléments choisis.

Quel est le signe de la combinaison ?

Plusieurs signes sont utilisés pour représenter la permutation ; ce sont :

$$\begin{gathered} C(n,r) \\ or \\ {}_{n}C_r \end{gathered}$$

Combinaison de plusieurs événements

En combinaison avec des événements multiples, plus d'un type de choix est fait à partir d'un ensemble contenant plus d'un groupe.

Par exemple, si une classe de 14 élèves contient 8 filles et 6 garçons et que tu dois choisir 4 garçons et 5 filles, tu devras alors considérer ton choix par sexe. Par conséquent, il s'agit de choisir 4 garçons sur 6 et 5 filles sur 8, ce qui signifie que :

$$\begin{gathered} C(6,4)\times C(8,5) \\ C(6,4)=\frac{6!}{(6-4)!4!} \\ C(6,4)=\frac{6\times 5\times 4!}{2!\times 4!} \\ C(6,4)=\frac{30}{2} \\ C(6,4)=15 \end{gathered}$$

et

$$\begin{gathered} C(8,5)=\frac{8!}{(8-5)!5!} \\ C(8,5)=\frac{8\times 7\times 6\times 5!}{3!\times 5!} \\ C(8,5)=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2} \\ C(8,5)=56 \end{gathered}$$

donc ,

$$\begin{gathered} C(6,4)\times C(8,5)=15\times 56 \\ \mathit{C}\mathbf{(}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{\times }\mathit{C}\mathbf{(}\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{840} \end{gathered}$$

Combinaison avec la répétition

Parfois, les sélections sont faites sans ordre mais avec répétition. Une telle opération est une combinaison avec répétition et tu appliques la formule,

$\frac{(r+n-1)!}{(n-1)!r!}$

où n est le nombre total de choses à choisir, r est le nombre de choses que nous devons choisir parmi n et la répétition est autorisée sans qu'aucun ordre ne soit impliqué.

Quelle est la différence entre la permutation et la combinaison ?

Il arrive que l'on confonde les questions de permutation avec celles de combinaisons. Elles sont en effet très similaires en ce sens qu'elles traitent toutes deux d'éléments susceptibles de se produire. Cependant, elles diffèrent principalement sur les points suivants :

Ordre

Dans la permutation, l'arrangement implique des éléments qui sont disposés dans l'ordre. Cela signifie que la position des éléments est très importante. Mais dans la combinaison, la sélection des éléments se fait sans ordre. Par conséquent, l'ordre n'est pas pertinent dans la combinaison.

Par exemple, si les lettres A, B et C doivent être permutées sans répétition, nous avons AB, BA, AC, CA, BC et CB. En revanche, si les lettres A, B et C doivent être combinées sans répétition, nous avons AB, AC et BC. Notez que dans la permutation, AB et BA ne sont pas identiques parce que, dans AB, A vient avant B ; la même chose s'applique à BA et au reste des résultats. C'est pourquoi les résultats de la permutation sont plus importants que ceux de la combinaison.

Terminologie

Plusieurs personnes se trompent lorsqu'elles utilisent les bons termes concernant la permutation et la combinaison. Dans la permutation, tu arranges ou organises, mais dans la combinaison, tu choisis ou sélectionnes. Ne commets jamais l'erreur d'intervertir ces termes lorsque tu parles de permutation ou de combinaison.

La formule

Très important et clairement observé, la formule de la permutation diffère de celle de la combinaison. la formule de la permutation est :

$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$

cependant, la combinaison est calculée avec :

$C(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}$

La différence dans la formule est le r !, nous pouvons donc créer une relation mathématique entre la permutation et la combinaison comme :

$Permutation=Combination\times r!$

Cela confirme à nouveau pourquoi les résultats de la permutation sont plus grands que ceux de la combinaison par un facteur multiplicatif de r !

Autres exemples de permutation et de combinaison

Tu devrais essayer beaucoup plus de problèmes afin d'avoir une idée des différentes façons dont tu peux être sollicité lors d'un examen. Quelques exemples t'aideront.