Graphiques quadratiques

As-tu déjà lancé une balle en l'air et observé son mouvement ? Le mouvement de haut en bas du lancer prend la forme d'une parabole - la même forme que celle d'un graphique quadratique.

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    Cela signifie que tu pourrais avoir une fonction quadratique qui modélise le lancer et la trajectoire de la balle et que le graphique de cette fonction modèlerait le mouvement.

    Cet article explore et explique la forme standard d'une fonction quadratique et détermine l'effet de la variation des coefficients sur le graphique de ce polynôme. Il explorera également les inégalités sous la forme de fonctions quadratiques.

    Qu'est-ce qu'un graphique quadratique ?

    Un graphique quadratique est une parabole tracée à partir d'un polynôme d'ordre deux, c'est-à-dire un polynôme dont la puissance la plus élevée de \(x\) est 2.

    Dans la figure 1, tu peux voir deux graphiques quadratiques. Comme tu peux le voir dans les étiquettes, la puissance la plus élevée du polynôme est celle de \(x^2\). Lis la suite pour savoir pourquoi.

    Graphiques quadratiques Qu'est-ce qu'un graphique quadratique ? StudySmarter

    Fig. 1 - Types de polynômes quadratiques et leurs graphiques.

    Pour comprendre les graphiques quadratiques, nous allons présenter la forme standard d'une fonction quadratique.

    Forme standard d'une fonction quadratique

    La forme standard d'une fonction quadratique (ou d'un polynôme d'ordre 2) est donnée par \[f(x)=a(x-h)^2+k,\] où \(a,h\) et \(k\) sont des nombres réels.

    La modification de l'une de ces constantes aura un effet visible sur le graphique de la fonction. La raison pour laquelle cette version est utilisée dans la représentation graphique par rapport à la forme générale [f(x)=ax^2+bx+c] est que, bien que la constante \N(a\N) ait le même effet dans les deux formes, dans la forme standard, le déplacement de l'une ou l'autre des constantes a un effet visible sur le graphique de la fonction,

    • dans la forme standard, le déplacement de l'une des constantes \(h\) ou \(k\) a un effet unidimensionnel, c'est-à-dire que le graphique se déplace vers la droite ou vers la gauche, vers le haut ou vers le bas (comme tu le verras plus loin dans l'article) ;

    • alors que le déplacement de la constante \(b\) dans la forme générale a un effet bidimensionnel, c'est-à-dire que le graphique se déplace vers le haut et la droite ou vers le bas et la gauche, ce qui complique la représentation graphique manuelle de cette forme.

    Maintenant que tu en sais plus sur la forme standard des fonctions quadratiques, voyons comment cette forme peut nous aider à représenter graphiquement les quadratiques.

    Représentation graphique des quadratiques sous forme standard

    Avant de parcourir les graphiques des fonctions quadratiques sous forme standard, tu en apprendras davantage sur des concepts cruciaux qui sont essentiels pour tracer parfaitement le graphique de nos quadratiques.

    Commençons par l'ouverture d'une parabole.

    Ouverture d'une parabole

    En nous référant à la forme standard d'une fonction quadratique, nous allons maintenant explorer les effets de la variation de chacune des constantes, \(a\), \(h\) et \(k\), individuellement.

    La constante \(a\) a deux effets sur la parabole d'une fonction quadratique, le premier étant la dilatation, c'est-à-dire l'expansion ou la contraction de la parabole en fonction de sa valeur absolue. Tu en sauras plus à ce sujet dans la section Dilatation.

    Le deuxième effet porte sur la définition du sens d'ouverture de la parabole en fonction de son signe :

    • Si \(a\) est positif, \(a>0\), la parabole s'ouvre vers le haut ;

    • Si \(a\) est négatif, \(a>0\), la parabole s'ouvre vers le bas.

    Les effets du signe de \(a\) sur l'ouverture d'une parabole sont illustrés dans la figure 2.

    Graphiques quadratiques Graphique quadratique sous forme standard StudySmarterFig. 2 - Effets du signe de \(a\). À gauche : une valeur positive de \(a\) ouvre vers le haut. À droite : \a négative s'ouvre vers le bas.

    Remarque qu'une valeur de \(a\N) de \N(0\N) donne une ligne droite et horizontale :

    \[\N- f(x)&=0(x-h)^2+k \N- f(x)&=k \N- end{align}\N].

    Si l'on considère la fonction quadratique [f(x)=(x-3)^2+4,\N], sa parabole s'ouvrira vers le haut car la valeur de \N(a) est positive ((a=1)\N).

    Maintenant que tu as appris l'effet de la valeur de \(a\) sur l'ouverture d'une parabole, passons à la traduction.

    Traduction

    Examinons maintenant les effets de translation des constantes \(h\) et \(k\) sur les paraboles.

    Tout d'abord, présentons un composant important des paraboles. La connaissance de ce composant t'aidera à mieux surveiller les translations effectuées par ces constantes.

    Le sommet d'une parabole est son point le plus bas ou le plus haut, situé à \((h,k)\).

    Ce point est également appelé point d'inflexion.

    Voici un exemple rapide pour te familiariser avec ce terme.

    Si l'on considère la même fonction que ci-dessus [f(x)=(x-3)^2+4,\N], son sommet serait maintenant situé à \N((3,4)\N).

    Nous pouvons maintenant passer à l'effet de \(h\) et \(k\) sur les graphiques quadratiques, ou paraboles.

    Commençons par examiner comment la valeur de \(h\), dans le terme \((x-h)\) de la forme standard, représente une translation horizontale (ou un décalage) d'une parabole.

    • Une valeur positive de \(h\), \(h>0\) déplacera le graphique de \(h\) unités vers la droite à partir de l'origine ;

    • Une valeur négative de \(h\), \(h<0\) déplacera le graphique de \(h\) unités vers la gauche à partir de l'origine.

    Examinons la figure 3 pour voir comment cela fonctionne.

    Graphiques quadratiques Graphique quadratique sous forme standard StudySmarter

    Fig. 3 - Effets de translation horizontale de \(h\) sur \(x^2\).

    Tout d'abord, note que la forme standard contient \N((x-h)\N), et non \N((x+h)\N).

    Cela signifie que \N((x+5)\N) sera en fait un décalage de la parabole bleue de 5 unités vers la gauche de la parabole rouge, car cela équivaut à \N(((x-(-5))\N).

    De même, \N((x-5)\N) décalera la parabole bleue de 5 unités vers la droite, vers la parabole verte.

    Ensuite, remarque que ces translations n'ont pas affecté la forme de la parabole bleue ; elles ont simplement déplacé tous ses points vers la gauche (vert) ou vers la droite (rouge).

    Tu peux donc te concentrer sur la translation du sommet de la parabole bleue, \n-(0,0)\n-, de 5 unités vers la gauche, \n-(-5,0)\n-, ou de 5 unités vers la droite, \n-(5,0)\n-, puis dessiner la parabole comme la parabole initiale.

    Maintenant, de la même façon que \(h\) représente une translation horizontale, \ (k\) représente une translation verticale.

    • Un \(k\) positif, \(k>0\), déplacera le graphique de \(k\) unités vers le haut à partir de l'origine ;

    • Un \(k\) négatif, \(k<0\), décale le graphique de \(k\) unités vers le bas à partir de l'origine.

    Ce principe est illustré dans la figure 4.

    Graphiques quadratiques Graphique quadratique sous forme standard StudySmarterFig. 4 - Translations verticales de \(k\) sur \(x^2\).

    Essaie un logiciel comme desmos et expérimente les graphiques quadratiques en changeant leurs constantes pour mieux comprendre leur fonctionnement.

    Ici, le signe de \(k\) t'indique exactement où déplacer la parabole.

    Pour \(k=5\), la parabole bleue est déplacée de 5 unités vers la parabole verte, et pour \(k=-5\), la parabole bleue est déplacée de 5 unités vers la parabole rouge.

    Encore une fois, tu peux simplement te concentrer sur la translation du sommet de la parabole bleue, \((0,0)\), de 5 unités vers le haut, \((0,)\), ou de 5 unités vers le bas, \((0,-5)\), et ensuite dessiner la parabole tout comme la parabole initiale.

    Maintenant que nous en savons plus sur l'effet de la valeur de \(h\) et \(k\) sur le déplacement horizontal et vertical de la parabole à partir de l'origine, nous sommes prêts à explorer le dernier concept de la dilatation.

    La dilatation

    Examinons maintenant l'effet de dilatation que peut avoir \(a\) sur les paraboles.

    • Une valeur absolue de \(a\) supérieure à \(1\), \(|a|>1\), contracte une parabole, la rapprochant de l'axe \(y-\) ;

    • Une valeur absolue de \(a\) inférieure à \(1\), \(0<|a|<1\), dilate (ou étend) une parabole, en l'éloignant de l'axe \(y-\).

    Une fois de plus, examinons cette transformation à l'aide de la figure 5.

    Graphiques quadratiques Graphique quadratique sous forme standard StudySmarter

    Fig. 5 - Les effets de la valeur du coefficient \(a's\) sur la contraction et la dilatation de \(x^2\).

    Pour une valeur de \(a's) de \(10) (valeur absolue supérieure à 1), la parabole bleue est contractée à la parabole verte, ce qui la rapproche de l'axe \(y-\). En revanche, pour une valeur de \(a\) de \(0,1\) (valeur absolue supérieure à 0 et inférieure à 1), la parabole bleue est dilatée sur la parabole rouge, ce qui l'éloigne de l'axe \(y-\).

    Après avoir compris les transformations que les constantes \(a\), \(h\) et \(k\) ont sur les graphiques quadratiques, tu es maintenant prêt à tracer un graphique quadratique à partir de zéro !

    Représentation graphique des fonctions quadratiques

    Nous allons résumer la procédure de représentation graphique à l'aide des étapes ci-dessous.

    Étape 1. Trouver les coordonnées du sommet.

    Pour passer d'une équation sous forme standard à un graphique, tu peux commencer par trouver les coordonnées du sommet.

    Comme tu l'as vu précédemment, puisque les traductions déplacent l'ensemble du graphique à partir de sa position de départ, tu peux utiliser le sommet comme point de référence pour contrôler le déplacement de l'ensemble du graphique. Et ce, parce que la forme du graphique reste la même.

    Ainsi, pour une fonction [f(x)=a(x-h)^2+k,\N], la coordonnée \N(x)du sommet est \N(h) et la coordonnée \N(y) est \N(k).

    Les coordonnées du sommet sont donc \N((h,k)\N).

    Étape 2. Détermine l'ouverture du graphique et s'il y a dilatation (ou contraction).

    L'étape suivante consiste à déterminer si le graphique s'ouvre vers le haut ou vers le bas. Ceci est déterminé par la valeur de \(a\) :

    • Si \(a>0\), le graphique s'ouvre vers le haut ;
    • Si \(a<0\), le graphique s'ouvre vers le bas.

    Examine également s'il y a dilatation ou contraction :

    • Une valeur absolue de \(a\) supérieure à \(1\), \(|a|>1\), le graphique se contracte ;

    • Une valeur absolue de \(a\) inférieure à \(1\), \(0<|a|<1\), le graphique se dilate (ou s'étend).

    Étape 3. Détermine les ordonnées \(x-\) et \(y-\).

    La dernière étape avant d'esquisser le graphique consiste à déterminer les ordonnées \(x-\N) et \N(y-\N).

    • Lesordonnées à l'origine sont déterminées en mettant à zéro \N(y\N), ou \N(f(x)\N), et en résolvant \N(x\N), c'est-à-dire \N[y=0 \N{ or } f(x)=0.\N] La solution de cette équation (ou les solutions, s'il y en a) seront les coordonnées \N(x\N)des ordonnées à l'origine ;
    • L'ordonnée à l 'origine peut être trouvée en fixant \N(x) à zéro et en résolvant \N(y), c'est-à-dire \N [f(0)=a(0-h)^2+k.\N] La réponse sera la coordonnée \N(y) de l'ordonnée à l'origine \N(y).

    Enfin, lorsque tu fais un croquis, assure-toi de passer par toutes les ordonnées du graphique et le sommet. Indique ces coordonnées sur ton graphique.

    Maintenant, nous passons à la partie pratique de cette explication, considérons un exemple !

    Exemples de graphiques quadratiques

    Comment esquisser des équations quadratiques ?

    Nous traitons d'abord un exemple qui nous montre comment esquisser des graphiques d'équations quadratiques.

    Esquisse le graphique de la quadratique suivante,\N[y=(x-2)^2-3.\N].

    Solution

    Étape 1. Détermine les coordonnées du sommet.

    Nous savons que le sommet est \N((h,k)\N) qui est, par conséquent, \N((2,-3)\N).

    Étape 2. Détermine l'ouverture de la parabole, et s'il y a dilatation.

    Nous remarquons ici que \(a=1\) et comme ce chiffre est positif, le graphique s'ouvrira vers le haut. De plus, comme \(a=1\), il n'y a ni contraction ni dilatation.

    Étape 3. Détermine les ordonnées.

    Nous résolvons notre ordonnée à l'origine en réglant \N(x=0\N):\N[\Nbegin{align}y&=(x-2)^2-3\N \N&=(-2)^2-3\N \N&=4-3\N \N&=1\Nend{align}\N]Par conséquent, notre ordonnée à l'origine est située à \N((0,1)\N).

    Nos ordonnées à l'origine (x-\N) peuvent être trouvées en fixant l'ordonnée à l'origine (y) à 0. Cela conduit aux ordonnées à l'origine (x-\N) comme suit : [\N- Début{align}0&=(x-2)^2-3\N- \Npm \Nsqrt{3}+2&=x \N- \N- \Ndonc x&= 3.73 \mbox{ and } 0.27\end{align}\] Cela signifie que nos ordonnées \(x-\)sont situées à \((0.27,0)\N et \N((3.73,0)\N). Si nous faisions un croquis de tous ces points, nous obtiendrions le graphique suivant.

    Graphiques quadratiques Graphiques quadratiques Exemples StudySmarterFig.6 - Graphique montrant l'esquisse de la quadratique \(y=(x-2)^2-3\)

    Tu peux te demander maintenant si les inégalités quadratiques existent et, si la réponse est oui, comment les représenter graphiquement ?

    Eh bien, les inégalités quadratiques sont définies comme toutes les inégalités, avec les signes de l'inégalité \(>, \ge, <, \le\).

    Dans la prochaine section, nous en apprendrons plus sur elles et sur leurs graphiques.

    Représentation graphique des inégalités quadratiques

    Elles ont les mêmes expressions quadratiques que les paraboles, sauf qu'elles ont un signe d'inégalité au lieu d'un signe d'égalité. Cela signifie que les translations et les contractions/dilatations fonctionnent de la même manière qu'avec les fonctions quadratiques ci-dessus.

    Il y a quelques éléments à apprendre qui sont propres aux inégalités.

    Le premier concerne la ligne du graphique, qui peut être pointillée ou continue, selon la direction du signe de l'inégalité :

    • pour les inégalités \(\ge\) et \(\le\), la ligne de la parabole sera continue;

    • pour les inégalités \(>\) et \(<\), la ligne sera en pointillés.

    Ensuite, tu dois déterminer si la zone ombrée (où l'inégalité est vraie) sera au-dessus ou au-dessous de la fonction. Une fois de plus, cela dépend de la direction du signe de l'inégalité :

    • pour les signes \(>\) et \(\ge\), la zone ombrée sera au-dessus de la courbe tracée par la parabole ;

    • pour les signes \N(<\N) et \N(\Nle\N), la zone sera en dessous de la courbe.

    Ces informations peuvent être résumées dans le tableau ci-dessous.

    Surface au-dessus de la courbeSurface sous la courbe
    Ligne pointillée\(>\)\(<\)
    Ligne continue\N- (\N-ge\N)(\N-) \N(\N-) \N(\N-) \N(\N-)

    Bien que la méthode utilisée dans cette explication soit celle où l'inégalité est vraie, tu pourrais ombrer la zone de l'autre côté à condition de préciser (ce que tu dois toujours faire) ce que représente la zone ombrée.

    Les graphiques suivants en donnent quelques exemples.

    Dans la figure 7, nous voyons l'aire et les lignes pour les inégalités \(y >x^2\) et \(y\ge x^2\).

    Graphiques quadratiques Graphique des inégalités quadratiques StudySmarter

    Fig. 7 - Graphique montrant les conditions où la gauche : \N(y >x^2\N) et à droite : \N(y >x^2\N) et à droite : \N(y >x^2\N).

    La figure 8 montre l'aire et les lignes pour les inégalités \N(y<x^2\N) et \N(y\Nle x^2\N).

    Graphiques quadratiques Graphique des inégalités quadratiques StudySmarterFig. 8 - Graphique montrant les conditions où la gauche : \N(y <x^2\N) et à droite : \N(y <x^2\N) et à droite : \N(y <x^2\N).

    Les images contiennent des graphiques où la zone ombrée représente l'endroit où l'équation est vraie.

    Bien que ces graphiques ne comportent pas de contractions ou de translations verticales et/ou horizontales, ils fonctionnent exactement de la même manière que les graphiques quadratiques.

    Passons maintenant à un exemple de graphique d'inégalités quadratiques.

    Comment esquisser des inéquations quadratiques ?

    Nous allons maintenant nouspencher sur un exemple qui nous montre comment dessiner des graphiques d'inégalités quadratiques.

    Esquisse le graphique de l'inégalité suivante : [y<3(x+5)^2.\N-]

    Solution

    La première étape consiste à écrire l'équation quadratique,

    \[y=3(x+5)^2.\]

    Ensuite, nous procédons comme pour les graphiques quadratiques pour les équations. Nous pouvons déterminer le sommet, l'ouverture et les intercepts.

    Détermine le sommet.

    Le sommet de cette quadratique sera \N((-5,0)\N).

    Détermine l'ouverture.

    Puisque \(a=3\) est positif, le graphique s'ouvrira vers le haut.

    Détermine les ordonnées.

    Comme il n'y a pas de translation verticale pour cette fonction, son sommet sera son unique ordonnée à l'origine \(x-\).

    En résolvant l'ordonnée à l'origine en laissant \N(x=0\N):\N[\Ncommencer{align}y&=3(5)^2\N \N&=75\Nfin{align}\N].

    L'ordonnée à l'origine est donc \N((0,75).\N).

    Si nous laissons la zone ombrée être la zone où l'équation est vraie, la partie ombrée sera en dessous de la courbe. Nous pouvons maintenant représenter graphiquement l'inégalité par une ligne pointillée, en incluant tous les points connus.

    Graphiques quadratiques Exemples de graphiques quadratiques StudySmarterFig. 9 - Graphique montrant une esquisse de l'inégalité \(y<3(x+5)^2\).

    Comment déterminer la fonction d'un graphique quadratique ?

    Pour passer d'un graphique à une équation sous forme standard, tu auras besoin du sommet et de tout autre point de la courbe.

    • La première étape consiste à trouver les valeurs de \(h\) et \(k\) du sommet, en substituant simplement ces coordonnées à l'équation du sommet.

    • Ensuite, la valeur de \(a\) peut être résolue en substituant n'importe quel autre point connu de la courbe.

    Si la fonction est une inégalité, le signe peut être déterminé par l'emplacement de la zone ombrée et le type de ligne.

    Détermine l'équation du graphique suivant,

    Graphiques quadratiques Exemples de graphiques quadratiques StudySmarterFig. 10 - Un graphique à partir duquel tu peux calculer la fonction.

    Solution

    D'après le graphique, le sommet est \N((3,-5)\N). En substituant ces valeurs dans l'équation de forme standard : \[f(x)=a(x-3)^2-5].

    Pour résoudre \N(a\N), nous pouvons substituer les coordonnées \N((0,13)\N):\N[\Nbgin{align}13&=a(0-3)^2-5\N \N18&=9a\N \N2&=a\Nend{align}\N].

    Par conséquent, l'équation du graphique est:\Nf(x)=2(x-3)^2-5.\N]

    Graphiques quadratiques - Principaux enseignements

    • Dans la forme standard, il y a trois constantes qui affectent l'aspect d'une parabole.
    • En déterminant les ordonnées et le sommet, nous pouvons passer d'une équation à un graphique d'une quadratique.
    • Avec le sommet et un autre point d'une quadratique, nous pouvons résoudre l'équation d'un graphique.
    • Le signe d'une inégalité détermine où se trouve la zone ombrée.
    Questions fréquemment posées en Graphiques quadratiques
    Qu'est-ce qu'un graphique quadratique ?
    Un graphique quadratique est la représentation graphique d'une équation du second degré sous la forme y = ax^2 + bx + c.
    Comment tracer un graphique quadratique ?
    Pour tracer un graphique quadratique, identifiez les coefficients a, b, et c, trouvez le sommet, et tracez la courbe en forme de parabole.
    Qu'est-ce que le sommet d'une parabole ?
    Le sommet est le point le plus élevé ou le plus bas d'une parabole. Il se trouve en x = -b/(2a).
    Quelle est l'importance du coefficient a dans une équation quadratique ?
    Le coefficient a détermine l'ouverture et la direction de la parabole. Si a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut; si a < 0, elle s'ouvre vers le bas.

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