Règles de Sinus et Cosinus

La règle du sinus

Pour un triangle de la forme ci-dessus, la formule de la règle du sinus est définie comme suit :

$\frac{\sin \left(A\right)}{a}=\frac{\sin \left(B\right)}{b}=\frac{\sin \left(C\right)}{c}$On peut aussi l'écrire comme suit :

$\frac{a}{\sin \left(A\right)}=\frac{b}{\sin \left(C\right)}=\frac{c}{\sin \left(C\right)}$

• Lorsqu'il y a deux angles et un côté donné, et que nous devons trouver la longueur d'un autre côté.
• Lorsqu'il y a deux longueurs et un angle donné, et que nous devons trouver un autre angle.

La règle du cosinus

En utilisant le même exemple, la formule de la règle du cosinus est définie comme suit : a² = b² + c²-2bc - cos (A)

Si nous réarrangeons cela pour obtenir A, nous obtenons : $A=arc\cos \left(\frac{c²+b²-a²}{2bc}\right)$Nous utilisons la règle du cosinus lorsqu'il s'agit de trois longueurs et d'un angle. Les questions donneront soit trois côtés et nous devrons trouver un angle, soit deux côtés et un angle, et nous devrons trouver la longueur du côté.

Comment les règles du sinus et du cosinus sont-elles dérivées ?

Maintenant que nous avons vu ce qu'est chaque règle et comment elles fonctionnent, nous allons voir comment nous arrivons à chacune d'entre elles en les dérivant des premiers principes. Cela peut sembler compliqué à première vue, mais nous utiliserons un peu de trigonométrie et le théorème de Pythagore.

Dérivation de la règle du sinus

Commençons par un triangle comme ci-dessus, mais traçons une ligne à partir de l'angle supérieur de sorte que nous ayons maintenant deux triangles rectangles, et appelons cette ligne h, comme indiqué ci-dessous.

En utilisant la trigonométrie, nous avons sin (A) = h / c, et sin (C) = h / a. Nous pouvons maintenant réarranger ces valeurs pour h pour obtenir h = c sin (A ) et h = a sin (C). En les mettant à égalité, on obtient c sin (A) = a sin (C ) . Ces valeurs sont maintenant réarrangées en $\frac{\sin \left(A\right)}{a}=\frac{\sin \left(C\right)}{c}$ou de façon équivalente $\frac{a}{\sin \left(A\right)}=\frac{c}{\sin \left(C\right)}$. Nous pouvons ensuite répéter cette méthode avec les deux autres angles pour obtenir les résultats. Nous obtenons alors le résultat souhaité, à savoir$\frac{\sin \left(A\right)}{a}=\frac{\sin \left(B\right)}{b}=\frac{\sin \left(C\right)}{c}$

Dérivation de la règle du cosinus

Nous allons maintenant faire la même chose avec la règle du cosinus. Nous commençons par le même triangle, nous traçons la même ligne vers le bas pour créer deux triangles rectangles, et nous appelons cette ligne h. Nous appelons le point que cette ligne touche le bas D et nous déclarons qu'un côté de la ligne a une longueur x, et l'autre $b-x$comme indiqué ci-dessous.

Par le théorème de Pythagore sur le triangle de gauche, on obtient x² + h² = c², que l'on réarrangera en

x² = c²-h²......... (1) En faisant de même avec le triangle droit, nous obtenons $(b-x)²+h²=a²$... ( 2 ) Si nous prenons le cosinus de l'angle A, nous obtenons cos (A) = x / c, ce qui se réarrange comme suit

$c\times \cos \left(A\right)=x$..........(3). Nous allons maintenant substituer (1) et (3) dans (2), en utilisant (1) pour éliminer le x², et (3) pour remplacer le x dans 2bx. Substitution dans : b² -2b (c - cos (A)) + c²-h² + h² = a². Nous pouvons alors simplifier ce résultat en a² = b² + c²-2bc - cos (A), ce qui est le résultat souhaité.