Accélération Variant Avec La Vitesse

Relation entre l'accélération et la vitesse

L'une des grandes questions que l'on se pose à propos de l'accélération est de savoir quel est son rapport avec la vitesse. La réponse est que l'accélération est la dérivée de la vitesse - ce qui signifie que l'accélération est le taux de changement de la vitesse.

Inversement, si tu intègres l'expression de l'accélération, tu obtiendras l'expression de la vitesse.

L'accélération et la vitesse sont toutes deux des quantités vectorielles, ce qui signifie qu'elles ont une taille et une direction. Cela signifie que lorsque l'on considère les valeurs de l'accélération et de la vitesse, des signes leur sont attachés pour indiquer la direction.

Mais alors, quelles sont les différences entre l'accélération et la vitesse ?

Différences entre l'accélération et la vitesse

Bien que nous ayons examiné la relation et les similitudes entre la vitesse et l'accélération, il n'en reste pas moins qu'il s'agit de variables différentes et, en tant que telles, la question se pose de savoir en quoi elles sont différentes.

L'accélération suit le changement de la vitesse; en tant que telles, elles ont des valeurs différentes mais peuvent aussi avoir des signes différents.

Maintenant que nous savons comment l'accélération et la vitesse sont liées et en quoi elles sont différentes, nous passons aux dérivés de l'accélération et de la vitesse.

Dérivés de l'accélération et de la vitesse

Nous savons que l' accélération est le taux de variation de la vitesse, mais nous connaissons également la relation entre la vitesse et le déplacement : la vitesse est le taux de variation du déplacement. Cela signifie que l 'accélération est la dérivée seconde du déplacement.

Cette relation fonctionne également dans l'autre sens - si tu as une expression pour l'accélération et que tu l'intègres, tu auras une expression pour la vitesse, et si tu as une expression pour la vitesse et que tu l'intègres, tu auras une expression pour le déplacement. Le graphique ci-dessous illustre ces relations.

Fig. 1. Graphique illustrant les relations entre le déplacement, la vitesse et l'accélération.

En examinant le graphique, nous voyons comment le déplacement, la vitesse et l'accélération sont liés, mais comment l'écrire mathématiquement ?

Si nous avons une expression pour la position d'un objet donnée sous la forme \(r,\N), nous pouvons voir que la vitesse sera la façon dont cette position change avec le temps,\N[v=\frac{dr}{dt}.\N] Nous savons également que l'accélération est mesurée par la façon dont la vitesse change avec le temps et est donc donnée par:\N[a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2r}{dt^2}.\N] Ce sont les relations dérivées que nous utilisons pour évaluer la vitesse et l'accélération. Comme le montre le graphique ci-dessus, si nous voulions travailler dans l'autre sens, il nous suffirait d'intégrer,\N[v=\int a\quad dt\]\N[r=\int v\quad dt.\N].

Nous allons maintenant interpréter les graphiques de l'accélération et de la vitesse.

Graphique de l'accélération et de la vitesse

Nous avons vu comment le déplacement, la vitesse et l'accélération sont liés les uns aux autres. Nous pouvons mieux visualiser cela en examinant les graphiques de la vitesse et de l'accélération en fonction du temps.

Fig. 2. Graphique montrant les graphiques d'accélération et de vitesse en fonction du temps à des fins de comparaison.

À partir de ce que nous avons vu précédemment avec la relation entre la vitesse et l'accélération, nous pouvons la visualiser sur les graphiques ci-dessus.

Lorsque nous faisons la différence, nous trouvons le gradient de la ligne de vitesse. En examinant la figure ci-dessus, tu peux voir ceci - regarde entre \N(4\N) et \N(5\N) secondes sur le graphique du haut et tu verras la vitesse passer de \N(1 m/s\N) à \N(4 m/s\N) en l'espace d'une seconde. Cela donne une pente de \(3\) que tu peux voir au point correspondant sur le graphique du temps d'accélération.

Inversement, si nous regardons entre \(0\) et \(1\) secondes sur le graphique du temps d'accélération et que nous calculons la surface délimitée par la ligne, nous obtiendrons notre profil de vitesse. Il s'agit de la technique d'intégration - si nous intégrons l'accélération (la surface au-dessus de la ligne dans ce cas), nous obtiendrons la vitesse. La réponse de l'intégrale est \(-3\) car elle se trouve sur la partie inférieure des axes et si nous examinons le graphique de la vitesse, nous pouvons voir qu'au cours de cette période, la vitesse a diminué de \(3 m/s.\N).

Ces relations devraient t'aider à comprendre comment nous pouvons différencier et intégrer le déplacement, la vitesse et l'accélération comme tu l'as vu précédemment.

Formule de l'accélération et de la vitesse

Lorsque l'on considère l'accélération qui varie en fonction de la vitesse, on nous donne généralement une expression qui utilise une fonction de la vitesse.

Nous savons que notre formule pour l'accélération et la vitesse est donnée par : \[a=\frac{dv}{dt},\N] et si on nous donne une fonction de vitesse à résoudre, nous aurons une question sous la forme : \[\frac{dv}{dt}=f(v).\N] Ce type de question indique que l'accélération pour la question est gouvernée par une fonction de la vitesse. Comment résoudre cette question ?

La question comporte un terme \(f(v)\) qui est égal à notre accélération \((a)\). Nous pouvons donc nous attendre à résoudre cette question par la méthode de la séparation des variables. Cela signifie que nous rassemblons les termes similaires de part et d'autre du signe égal, nous les intégrons et nous résolvons ensuite pour \(v\) afin d'obtenir une expression de la vitesse \((v)\) en fonction du temps \((t)\) et des constantes. Examinons la logique qui sous-tend cette démarche.

Nous savons que l'accélération est le taux de changement de la vitesse, \N[\Npar conséquent a=\Nfrac{dv}{dt}.\N]Nous savons également que nous avons une fonction \N(f(v)\N) qui est égale à l'accélération. Cela nous amène à l'expression suivante : [\frac{dv}{dt}=f(v).\N- A partir delà, nous rassemblerons les termes \N(v) avec le terme \N(dv\N) et nous rassemblerons tous les termes \N(t\N) avec notre terme \N(dt\N) de l'autre côté du signe d'égalité.

For example if \(f(v)=\frac{t}{v}\) where \(t\) is a time variable, our separation of variables would look like, \[\begin{align}a&=f(v)\\ \frac{dv}{dt}&=\frac{t}{v} \\ v dv&= tdt. \N- [end{align}\N] À partir de là, nous intégrons et obtenons une expression de la variation de la vitesse en fonction du temps à partir d'une expression de l'accélération. Voyons à quoi cela pourrait ressembler dans un exemple.

Vitesse terminale ou vitesse limite

Nous pouvons également calculer la vitesse termin ale d'un objet en utilisant le même format d'expression que celui vu ci-dessus.

Si nous considérons que la vitesse terminale est la vitesse maximale que l'objet peut atteindre, cela signifie que le taux de variation de la vitesse sera de 0. L'objet a atteint sa vitesse maximale et la vitesse ne peut donc plus augmenter.

Un exemple de ceci pourrait être un objet en chute libre. À un moment donné, le poids de l'objet limitera la vitesse à laquelle il tombe et cette vitesse ne pourra pas être dépassée. Nous aurons toujours l'accélération \(a\) exprimée en fonction de la vitesse \(v\), ce qui donne la forme générale,\[\frac{dv}{dt}=f(v)\]\N-[0=f(v).\N]Si nous réarrangeons ensuite la fonction pour \(v\N), nous aurons la vitesse limite. Prenons un exemple.

Equations d'accélération et de vitesse

Nous disposons également d'une autre méthodologie que nous pouvons utiliser lorsque nous suivons l'accélération avec une vitesse variable. Nous pouvons appliquer les équations SUVAT à un problème d'accélération constante et de vitesse variable. En termes de notation, nous avons,\[\begin{align} s&=\mbox{Displacement}\u&=\mbox{Vélocité initiale}\v&=\mbox{Vélocité finale}\a&=\mbox{Accélération}\t&=\mbox{Temps}\end{align}\]Nous avons alors les cinq équations pour les calculs SUVAT : \[\N-(1)\Nquad s= ut+\frac{at^2}{2}\N-(2)\Nquad s= vt-\frac{at^2}{2}\N-(3)\Nquad s=\Nfrac{v+u}{2}t\N-(4)\Nquad v^2=u^2+2as\N-(5)\Nquad v=u+at\Nend{align}\nbsp;\N]

Nous pouvons voir que les équations (1), (2), (4) et (5) contiennent un terme d'accélération et, en tant que telles, les équations pertinentes réarrangées pour l'accélération sont les suivantes,\N[\i1][\i1][\i1][\i1][\i1][\i1][\i1][\i1]&(1)\quad a= \frac{2s-2ut}{t^2}\\(2)\quad a= - \left[\frac{2s-2vt}{t^2}\right]\(4)\quad a=\frac{v^2-u^2}{2s}\(5)\quad a=\frac{v-u}{t}.\N-END{align}\N-]