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Loi des sinus : formule
Fig 1. Les côtés et les angles d'un triangle
Pour le triangle ci-dessous la loi des sinus s'écrit : \[\frac{sin\widehat{BAC}}{BC} = \frac{sin\widehat{ABC}}{AC} = \frac{sin\widehat{ACB}}{AB} \] Nous pouvons prendre l'inverse, donc la loi des sinus est également écrite sous la forme suivante : \[\frac{BC}{sin\widehat{BAC}} = \frac{AC}{sin\widehat{ABC}} = \frac{AB}{sin\widehat{ACB}} \]
Concernant la notation, garde à l'esprit que nous pouvons aussi noter les mesures des angles avec des lettres majuscules et les longueurs des côtés avec des lettres minuscules. Ainsi, nous pouvons écrire : \[\frac{sinA}{a} = \frac{sinB}{b} = \frac{sinC}{c} \] En d'autres termes, la loi des sinus dit que la proportion entre le sinus d'un angle et la longeur du côté opposé est la même pour tous les angles dans un triangle.
Loi des sinus : démonstration
Connaître la loi des sinus, c'est une chose, mais il est aussi une bonne idée de connaître sa démonstration. Pourquoi ? C'est un peu comme apprendre comment marche son ordinateur, en cas de dépannage. De plus, suivre le raisonnement dans une démonstration nous permet d'appliquer ce même raisonnement à des problèmes similaires.
Fig. 2. Une démonstration de la loi des sinus
Le triangle ABC contient deux triangles rectangles. En appliquant les règles de trigonométrie, nous trouvons que \(sin\widehat{BAC} = \frac{h}{c} \) et \(sin\widehat{BCA} = \frac{h}{a} \).
Ainsi, \(h = c \times sin \widehat{BAC} = a \times sin \widehat{BCA} \)
En manipulant cette dernière égalité, nous obtenons \[\frac{sin\widehat{BAC}}{a} = \frac{sin\widehat{ABC}}{b}\]
En constatant que \(a = BC\), \(b = AC\) et \(c = AB\), nous n'avons qu'à répéter ces étapes avec un autre pair d'angles pour obtenir le résultat souhaité : \[\frac{sin\widehat{BAC}}{BC} = \frac{sin\widehat{ABC}}{AC} = \frac{sin\widehat{ACB}}{AB} \]
Loi des sinus : exemples
Nous pouvons appliquer la loi des sinus quand :
nous connaissons deux longueurs et la mesure d'un angle, afin de trouver la mesure d'un angle inconnue ;
nous connaissons une longueur et les mesure de deux angles, afin de trouver une longueur inconnue.
Trouvons la longueur \(x\) dans le triangle ci-dessous.
Fig. 3. Exemple de comment utiliser la loi des sinusNous allons appliquer la loi des sinus. Le côté opposé de l'angle de \(80°\) est de longueur \(x\), et le côté opposé de l'angle de \(30°\) est de longueur \(12 cm\). Donc, \(\frac{sin(80°)}{x} = \frac{sin(30°)}{12} \). En manipulant l'équation, nous obtenons : \(x = \frac{12sin(80°)}{sin(30°)} = 23{,}6cm\)
Trouvons la valeur de \(y\) dans le triangle ci-dessous.
Fig. 4. Exemple de comment utiliser la loi des sinusLe côté opposé de l'angle de \(40°\) est de longueur \(15 cm\), et le côté opposé de l'angle de \(y°\) est de longueur \(19 cm\). Donc, la loi des sinus nous donne : \(\frac{sin(40°)}{15} = \frac{sin(y°)}{19} \). En manipulant l'équation, nous obtenons \(sin(y°) = \frac{12sin(80°)}{sin(30°)} \). Enfin, \(y° = arcsin(\frac{12sin(80°)}{sin(30°)}) = 54,5°\)
Loi des sinus - Points clés
- Nous pouvons utiliser la loi des sinus afin de trouver les longueurs des côtés ou les mesures d'angles inconnues dans tout type de triangle.
- La loi des sinus dit que la proportion entre le sinus d'un angle et la longueur du côté opposé est la même pour tous les angles dans un triangle.
- Nous pouvons appliquer la loi des sinus quand :
- nous connaissons deux longueurs et la mesure d'un angle, afin de trouver la mesure d'un angle inconnue ;
- nous connaissons une longueur et les mesures de deux angles, pour trouver une longueur inconnue.
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Questions fréquemment posées en Loi des sinus
Comment utiliser la loi des sinus ?
Nous pouvons utiliser la loi des sinus pour trouver des longueurs et des mesures d'angles inconnues. Pour trouver une longueur inconnue, il nous faut deux longueurs et la mesure d'un angle. Pour trouver une mesure d'angle inconnue, il nous faut les mesures de deux angles et une longueur.
Quelle est la loi des sinus ?
La loi des sinus dit que, pour un triangle quelconque, la proportion entre les longueurs et les sinus des angles opposés est constante.
Comment prouver la loi des sinus ?
Pour prouver la loi des sinus, nous devons d'abord construire une des hauteurs dans un triangle quelconque. Il faut ensuite déterminer des expressions pour cette hauteur en fonction des sinus des angles dans le triangle. Enfin, en faisant une égalité de ces deux expressions, nous pouvons déterminer une partie de la loi des sinus. Pour prouver l'intégralité de la loi, il faut suivre ces mêmes étapes avec une autre hauteur du triangle.
Comment calculer un angle à partir d'un sinus ?
Pour calculer un angle à partir de son sinus, il faut utiliser la fonction arcsin ou sin-1 sur le sinus de l'angle.
Quel est l'intérêt de la loi des sinus ?
Nous pouvons utiliser la loi des sinus pour calculer des longueurs et des mesures d'angles inconnues dans un triangle.
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