Les règles de trigonométrie ne s'appliquent pas qu'aux triangles rectangles. En effet, nous pouvons utiliser la loi des sinus, ainsi que la loi des cosinus afin de trouver les longueurs des côtés ou les mesures d'angles inconnues dans tout type de triangle. Dans cet article, nous expliquons la formule de la loi des sinus. Ensuite, nous donnons une explication et quelques exemples.
Loi des sinus : formule
Fig 1. Les côtés et les angles d'un triangle
Pour le triangle ci-dessous la loi des sinus s'écrit : \[\frac{sin\widehat{BAC}}{BC} = \frac{sin\widehat{ABC}}{AC} = \frac{sin\widehat{ACB}}{AB} \] Nous pouvons prendre l'inverse, donc la loi des sinus est également écrite sous la forme suivante : \[\frac{BC}{sin\widehat{BAC}} = \frac{AC}{sin\widehat{ABC}} = \frac{AB}{sin\widehat{ACB}} \]
Concernant la notation, garde à l'esprit que nous pouvons aussi noter les mesures des angles avec des lettres majuscules et les longueurs des côtés avec des lettres minuscules. Ainsi, nous pouvons écrire : \[\frac{sinA}{a} = \frac{sinB}{b} = \frac{sinC}{c} \] En d'autres termes, la loi des sinus dit que la proportion entre le sinus d'un angle et la longeur du côté opposé est la même pour tous les angles dans un triangle.
Loi des sinus : démonstration
Connaître la loi des sinus, c'est une chose, mais il est aussi une bonne idée de connaître sa démonstration. Pourquoi ? C'est un peu comme apprendre comment marche son ordinateur, en cas de dépannage. De plus, suivre le raisonnement dans une démonstration nous permet d'appliquer ce même raisonnement à des problèmes similaires.
Fig. 2. Une démonstration de la loi des sinus
Le triangle ABC contient deux triangles rectangles. En appliquant les règles de trigonométrie, nous trouvons que \(sin\widehat{BAC} = \frac{h}{c} \) et \(sin\widehat{BCA} = \frac{h}{a} \).
Ainsi, \(h = c \times sin \widehat{BAC} = a \times sin \widehat{BCA} \)
En manipulant cette dernière égalité, nous obtenons \[\frac{sin\widehat{BAC}}{a} = \frac{sin\widehat{ABC}}{b}\]
En constatant que \(a = BC\), \(b = AC\) et \(c = AB\), nous n'avons qu'à répéter ces étapes avec un autre pair d'angles pour obtenir le résultat souhaité : \[\frac{sin\widehat{BAC}}{BC} = \frac{sin\widehat{ABC}}{AC} = \frac{sin\widehat{ACB}}{AB} \]
Loi des sinus : exemples
Nous pouvons appliquer la loi des sinus quand :
nous connaissons deux longueurs et la mesure d'un angle, afin de trouver la mesure d'un angle inconnue ;
nous connaissons une longueur et les mesure de deux angles, afin de trouver une longueur inconnue.
Trouvons la longueur \(x\) dans le triangle ci-dessous.
Fig. 3. Exemple de comment utiliser la loi des sinusNous allons appliquer la loi des sinus. Le côté opposé de l'angle de \(80°\) est de longueur \(x\), et le côté opposé de l'angle de \(30°\) est de longueur \(12 cm\). Donc, \(\frac{sin(80°)}{x} = \frac{sin(30°)}{12} \). En manipulant l'équation, nous obtenons : \(x = \frac{12sin(80°)}{sin(30°)} = 23{,}6cm\)
Trouvons la valeur de \(y\) dans le triangle ci-dessous.
Fig. 4. Exemple de comment utiliser la loi des sinusLe côté opposé de l'angle de \(40°\) est de longueur \(15 cm\), et le côté opposé de l'angle de \(y°\) est de longueur \(19 cm\). Donc, la loi des sinus nous donne : \(\frac{sin(40°)}{15} = \frac{sin(y°)}{19} \). En manipulant l'équation, nous obtenons \(sin(y°) = \frac{12sin(80°)}{sin(30°)} \). Enfin, \(y° = arcsin(\frac{12sin(80°)}{sin(30°)}) = 54,5°\)
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