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Loi des sinus

Les règles de trigonométrie ne s'appliquent pas qu'aux triangles rectangles. En effet, nous pouvons utiliser la loi des sinus, ainsi que la loi des cosinus afin de trouver les longueurs des côtés ou les mesures d'angles inconnues dans tout type de triangle. Dans cet article, nous expliquons la formule de la loi des sinus. Ensuite, nous donnons une explication et quelques exemples.

Loi des sinus : formule

Loi des sinus Côtés et angles d'un triangle StudySmarterFig 1. Les côtés et les angles d'un triangle

Pour le triangle ci-dessous la loi des sinus s'écrit : \[\frac{sin\widehat{BAC}}{BC} = \frac{sin\widehat{ABC}}{AC} = \frac{sin\widehat{ACB}}{AB} \] Nous pouvons prendre l'inverse, donc la loi des sinus est également écrite sous la forme suivante : \[\frac{BC}{sin\widehat{BAC}} = \frac{AC}{sin\widehat{ABC}} = \frac{AB}{sin\widehat{ACB}} \]

Concernant la notation, garde à l'esprit que nous pouvons aussi noter les mesures des angles avec des lettres majuscules et les longueurs des côtés avec des lettres minuscules. Ainsi, nous pouvons écrire : \[\frac{sinA}{a} = \frac{sinB}{b} = \frac{sinC}{c} \] En d'autres termes, la loi des sinus dit que la proportion entre le sinus d'un angle et la longeur du côté opposé est la même pour tous les angles dans un triangle.

Loi des sinus : démonstration

Connaître la loi des sinus, c'est une chose, mais il est aussi une bonne idée de connaître sa démonstration. Pourquoi ? C'est un peu comme apprendre comment marche son ordinateur, en cas de dépannage. De plus, suivre le raisonnement dans une démonstration nous permet d'appliquer ce même raisonnement à des problèmes similaires.

Loi des sinus Démonstration loi des sinus StudySmarterFig. 2. Une démonstration de la loi des sinus

Le triangle ABC contient deux triangles rectangles. En appliquant les règles de trigonométrie, nous trouvons que \(sin\widehat{BAC} = \frac{h}{c} \) et \(sin\widehat{BCA} = \frac{h}{a} \).

Ainsi, \(h = c \times sin \widehat{BAC} = a \times sin \widehat{BCA} \)

En manipulant cette dernière égalité, nous obtenons \[\frac{sin\widehat{BAC}}{a} = \frac{sin\widehat{ABC}}{b}\]

En constatant que \(a = BC\), \(b = AC\) et \(c = AB\), nous n'avons qu'à répéter ces étapes avec un autre pair d'angles pour obtenir le résultat souhaité : \[\frac{sin\widehat{BAC}}{BC} = \frac{sin\widehat{ABC}}{AC} = \frac{sin\widehat{ACB}}{AB} \]

Loi des sinus : exemples

Nous pouvons appliquer la loi des sinus quand :

  • nous connaissons deux longueurs et la mesure d'un angle, afin de trouver la mesure d'un angle inconnue ;

  • nous connaissons une longueur et les mesure de deux angles, afin de trouver une longueur inconnue.

Trouvons la longueur \(x\) dans le triangle ci-dessous.

Loi des sinus Exemple loi des sinus StudySmarterFig. 3. Exemple de comment utiliser la loi des sinus

Nous allons appliquer la loi des sinus. Le côté opposé de l'angle de \(80°\) est de longueur \(x\), et le côté opposé de l'angle de \(30°\) est de longueur \(12 cm\). Donc, \(\frac{sin(80°)}{x} = \frac{sin(30°)}{12} \). En manipulant l'équation, nous obtenons : \(x = \frac{12sin(80°)}{sin(30°)} = 23{,}6cm\)

Trouvons la valeur de \(y\) dans le triangle ci-dessous.

Loi des sinus Exemple loi des sinus StudySmarterFig. 4. Exemple de comment utiliser la loi des sinus

Le côté opposé de l'angle de \(40°\) est de longueur \(15 cm\), et le côté opposé de l'angle de \(y°\) est de longueur \(19 cm\). Donc, la loi des sinus nous donne : \(\frac{sin(40°)}{15} = \frac{sin(y°)}{19} \). En manipulant l'équation, nous obtenons \(sin(y°) = \frac{12sin(80°)}{sin(30°)} \). Enfin, \(y° = arcsin(\frac{12sin(80°)}{sin(30°)}) = 54,5°\)

Loi des sinus - Points clés

  • Nous pouvons utiliser la loi des sinus afin de trouver les longueurs des côtés ou les mesures d'angles inconnues dans tout type de triangle.
  • La loi des sinus dit que la proportion entre le sinus d'un angle et la longueur du côté opposé est la même pour tous les angles dans un triangle.
  • Nous pouvons appliquer la loi des sinus quand :
    • nous connaissons deux longueurs et la mesure d'un angle, afin de trouver la mesure d'un angle inconnue ;
    • nous connaissons une longueur et les mesures de deux angles, pour trouver une longueur inconnue.

Questions fréquemment posées en Loi des sinus

Nous pouvons utiliser la loi des sinus pour trouver des longueurs et des mesures d'angles inconnues. Pour trouver une longueur inconnue, il nous faut deux longueurs et la mesure d'un angle. Pour trouver une mesure d'angle inconnue, il nous faut les mesures de deux angles et une longueur.

La loi des sinus dit que, pour un triangle quelconque, la proportion entre les longueurs et les sinus des angles opposés est constante. 

Pour prouver la loi des sinus, nous devons d'abord construire une des hauteurs dans un triangle quelconque. Il faut ensuite déterminer des expressions pour cette hauteur en fonction des sinus des angles dans le triangle. Enfin, en faisant une égalité de ces deux expressions, nous pouvons déterminer une partie de la loi des sinus. Pour prouver l'intégralité de la loi, il faut suivre ces mêmes étapes avec une autre hauteur du triangle. 

Pour calculer un angle à partir de son sinus, il faut utiliser la fonction arcsin ou sin-1 sur le sinus de l'angle.

Nous pouvons utiliser la loi des sinus pour calculer des longueurs et des mesures d'angles inconnues dans un triangle. 

Questionnaire final de Loi des sinus

Question

Les côtés d'un triangle sont de longueur 10 cm, 4 cm et x cm. La mesure de l'angle opposé du côté de longueur x est 100°. Quelle est la valeur de x ?

Montrer la réponse

Réponse

11,4 cm

Montrer la question

Question

Les côtés d'un triangle sont de longueur 2 cm, 8 cm et z cm. La mesure de l'angle opposé du côté de longueur z est 18°. Quelle est la valeur de z ?

Montrer la réponse

Réponse

6,13 cm

Montrer la question

Question

Les côtés d'un triangle sont de longueur 10 cm, x cm et y cm. Les mesures des angles opposés sont respectivement 30°, 85° et 65°. Détermine x et y. 

Montrer la réponse

Réponse

x = 19,9 et y = 16,1

Montrer la question

Question

Deux côtés d'un triangle sont de longueur 6 cm et 7 cm. La mesure de l'angle opposé du côté de longueur 7 cm est 72°. Quelle est la mesure de l'angle opposé du côté de 6 cm ? 

Montrer la réponse

Réponse

54,6° 

Montrer la question

Question

Deux angles d'un triangle sont de mesure 67° et 33°. La mesure du côté opposé de l'angle de 67° est 9 cm. Quelle est la longueur du côté opposé de l'angle de mesure 33° ?

Montrer la réponse

Réponse

5,33 cm

Montrer la question

Question

Deux côtés d'un triangle sont de longueur 13 cm et 7 cm. La mesure de l'angle opposé du côté de longueur 13 cm est 144°. Quelle est la mesure de l'angle opposé du côté de 7 cm ?

Montrer la réponse

Réponse

18,5°

Montrer la question

Question

Deux angles d'un triangle sont de mesure 58° et 23°. La longueur du côté opposé de l'angle de mesure 58° est 15 cm. Quelle est la longueur du côté opposé de l'angle de mesure 23° ?

Montrer la réponse

Réponse

6,91 cm

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Question

La loi des sinus ne s'applique qu'aux triangles rectangles.

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

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Question

La loi des sinus dit que la proportion entre le sinus d'un angle et la longeur du côté opposé est la même pour tous les angles dans un triangle.

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

Montrer la question

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