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Calcul vectoriel

Nous pouvons additionner les nombres « habituels », mais savais-tu que nous pouvons également additionner les vecteurs ? Il s'agit d'un des aspects clés du calcul vectoriel. Dans ce résumé de cours, nous montrerons d'abord comment faire la somme de vecteurs et comment utiliser la relation de Chasles. Par la suite, nous détaillerons ce qu'il faut savoir sur la norme…

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Calcul vectoriel

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Nous pouvons additionner les nombres « habituels », mais savais-tu que nous pouvons également additionner les vecteurs ? Il s'agit d'un des aspects clés du calcul vectoriel. Dans ce résumé de cours, nous montrerons d'abord comment faire la somme de vecteurs et comment utiliser la relation de Chasles. Par la suite, nous détaillerons ce qu'il faut savoir sur la norme d'un vecteur, ainsi que comment calculer les coordonnées d'un vecteur. Enfin, tu pourras t'entraîner avec quelques exercices.

Somme de vecteurs

Pour faire la somme de deux vecteurs, nous additionnons les composantes respectives des vecteurs. Géométriquement, cela correspond à faire les deux déplacements que ces vecteurs représentent. Naturellement, c'est plus clair avec un exemple.

Peux-tu calculer la somme des vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) ?

\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 + 3 \\ -2 + 0 \end{pmatrix}\)

\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\)

Calcul vectoriel Somme de vecteurs StudySmarterFig. 1 - La somme des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) correspond à la somme des déplacements représentés par les deux vecteurs

Pour faire la différence de deux vecteurs, il faut plutôt soustraire les composantes respectives.

Un résultat important en lien avec l'addition de vecteurs est la relation de Chasles.

Relation de Chasles pour vecteurs

La relation de Chasles est la propriété suivante : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\). Cette relation évoque le fait que voyager du point A au point B et ensuite, du point B au point C est le même que voyager de A à C directement. La relation de Chasles permet de simplifier des expressions vectorielles.

Peux-tu simplifier l'expression \(\overrightarrow{HF} + \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{FG}\) à l'aide de la relation de Chasles ?

\(\overrightarrow{HF} + \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{FG}\)

\(= \overrightarrow{HF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{HG} \)

\(= \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{HG} \)

\(= 2 \overrightarrow{HG}\)

Dans ce résumé de cours, nous évoquons la relation de Chasles pour les vecteurs. Or, la relation de Chasles est présente dans d'autres domaines mathématiques, notamment pour les intégrales et les séries numériques.

Norme d'un vecteur

La norme d'un vecteur est sa « longueur ». Pour calculer la norme d'un vecteur en deux dimensions, nous utilisons le théorème de Pythagore. Étant donné le vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}\), la norme de ce vecteur se calcule grâce à la formule \( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\).

Peux-tu calculer la norme du vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) ?

\( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{(-3)^2 +(4) ^2}\)

\( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{25} = 5\)

Il est également possible de calculer la norme d'un vecteur grâce à la formule du produit scalaire. Pour en savoir plus, consulte notre résumé de cours sur le produit scalaire.

La norme vectorielle habituellement utilisée est appelée la norme euclidienne. Il existe également d'autres façons de définir la norme d'un vecteur, notamment la distance de Manhattan. Cette appellation est due au fait que cette norme correspond à la distance parcourue lorsque quelqu'un se déplace dans une ville où les rues sont organisées en forme de quadrillage, comme à Manhattan.

Calculer les coordonnées d'un vecteur

Pour calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points, nous devons soustraire les coordonnées du point de départ des coordonnées du point d'arrivée. Autrement dit, si nous disposons des points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\), alors nous avons le vecteur \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).

Peux-tu calculer les coordonnées du vecteur qui va de \(C(-2, 1)\) à \(D(3, 5)\) ?

\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 - (-2) \\ 5 - 1 \end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Exercices de vecteurs : seconde

Les corrigés des exercices de vecteurs suivants sont fournis dans les flashcards en bas de cette page.

Pour bien assimiler les concepts du calcul vectoriel, il faut faire de nombreux exercices pour s'entraîner.

1. Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Détermine \( \vec{u} +\vec{v}\).

2. Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Détermine \( \vec{v} - \vec{u}\).

3. Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}\). Détermine \( \vec{v} + \vec{u} - \vec{w}\).

4. Simplifie l'expression suivante : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CA}\).

5. Quelle est la norme du vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -8 \\ -15 \end{pmatrix}\) ?

6. Détermine tout \(x\) tel que la norme du vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ 12 \end{pmatrix}\) soit \(13\).

7. Calculer les coordonnées du vecteur qui va de \(A(2, 0)\) à \(D(-1, 10)\).

Calcul vectoriel - Points clés

  • Pour faire la somme de deux vecteurs, il faut additionner les composantes respectives des vecteurs.
  • La relation de Chasles peut s'énoncer de la façon suivante : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\).
  • Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule \( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\).
  • Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, nous utilisons la formule \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).

  • Pour maîtriser le calcul vectoriel, il convient de faire de nombreux exercices.

Questions fréquemment posées en Calcul vectoriel

Pour additionner les vecteurs, il faut additionner les composantes respectives des deux vecteurs.

Nous utilisons la relation de Chasles quand nous voulons simplifier une somme de vecteurs en fonction de leurs points de départ et d'arrivée.

Nous calculons la norme d'un vecteur grâce à la formule suivante : \( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\), où \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}\).

Pour normaliser un vecteur, il faut diviser chacun de ses composantes par la norme du vecteur.

Évaluation finale de Calcul vectoriel

Calcul vectoriel Quiz - Teste dein Wissen

Question

Une façon d'énoncer ____ est \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\).

Montrer la réponse

Réponse

la relation de Chasles

Montrer la question

Question

La relation de Chasles ne s'applique qu'aux vecteurs.

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

Montrer la question

Question

La norme d'un vecteur correspond à ___.

Montrer la réponse

Réponse

sa direction

Montrer la question

Question

Quelles formules permettent de calculer la norme d'un vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}\) ?

Montrer la réponse

Réponse

\( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)

Montrer la question

Question

La norme vectorielle habituellement utilisée est appelée _____ .

Montrer la réponse

Réponse

la norme euclidienne

Montrer la question

Question

Il y a plusieurs façons de définir la norme d'un vecteur.

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

Montrer la question

Question

Si nous disposons des points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\), alors \(\overrightarrow{AB} = \)

Montrer la réponse

Réponse

\(\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\)

Montrer la question

Question

Quel théorème est utilisé pour le calcul de la norme d'un vecteur ?

Montrer la réponse

Réponse

Le théorème de Pythagore

Montrer la question

Question

Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Détermine \( \vec{u} +\vec{v}\).

Montrer la réponse

Réponse

\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\)


\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 + (-3) \\ -2 + 3 \\ 3 + (-2) \end{pmatrix}\)


\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Montrer la question

Question

Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Détermine \(\vec{v} - \vec{u}\).

Montrer la réponse

Réponse

\(\vec{v} - \vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\)


\(\vec{v} - \vec{u} = \begin{pmatrix} -2 - 0 \\ 3 -(-1) \end{pmatrix}\)


\(\vec{v} - \vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Montrer la question

Question

Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}\). Détermine \( \vec{v} + \vec{u} - \vec{w}\).

Montrer la réponse

Réponse

\( \vec{v} + \vec{u} - \vec{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}\)


\( \vec{v} + \vec{u} - \vec{w} = \begin{pmatrix} -2 + 1 - (-4) \\ 3 + (-1) - (-2) \end{pmatrix}\)


\( \vec{v} + \vec{u} - \vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Montrer la question

Question

Simplifie l'expression suivante : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CA}\).

Montrer la réponse

Réponse

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CA}\)

\(= \overrightarrow{AC}  + 2\overrightarrow{CA}\)

\( = \overrightarrow{CA}\)

Montrer la question

Question

Quelle est la norme du vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -8 \\ -15 \end{pmatrix}\) ?

Montrer la réponse

Réponse

\( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{(-8)^2 +(-15) ^2}\)


\( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{289} = 17\)

Montrer la question

Question

Détermine tout \(x\) tel que la norme du vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ 12 \end{pmatrix}\) soit \(13\).

Montrer la réponse

Réponse

\(13 = \sqrt{x^2 + (12)^2}\)

\(13^2 = x^2 + (12)^2\)

\(x^2 = 169 - 144\)

\(x = \pm 5 \)

Montrer la question

Question

Calculer les coordonnées du vecteur qui va de \(A(2, 0)\) à \(D(-1, 10)\).

Montrer la réponse

Réponse

\(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} x_D - x_A \\ y_D - y_A \end{pmatrix}\)


\(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} -1 - 2 \\ 10 - 0 \end{pmatrix}\)


\(\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} -3 \\ 10 \end{pmatrix}\)

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