Nous pouvons additionner les nombres « habituels », mais savais-tu que nous pouvons également additionner les vecteurs ? Il s'agit d'un des aspects clés du calcul vectoriel. Dans ce résumé de cours, nous montrerons d'abord comment faire la somme de vecteurs et comment utiliser la relation de Chasles. Par la suite, nous détaillerons ce qu'il faut savoir sur la norme d'un vecteur, ainsi que comment calculer les coordonnées d'un vecteur. Enfin, tu pourras t'entraîner avec quelques exercices.
Somme de vecteurs
Pour faire la somme de deux vecteurs, nous additionnons les composantes respectives des vecteurs. Géométriquement, cela correspond à faire les deux déplacements que ces vecteurs représentent. Naturellement, c'est plus clair avec un exemple.
Peux-tu calculer la somme des vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) ?
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 + 3 \\ -2 + 0 \end{pmatrix}\)
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\)
Fig. 1 - La somme des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) correspond à la somme des déplacements représentés par les deux vecteurs
Pour faire la différence de deux vecteurs, il faut plutôt soustraire les composantes respectives.
Un résultat important en lien avec l'addition de vecteurs est la relation de Chasles.
Relation de Chasles pour vecteurs
La relation de Chasles est la propriété suivante : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\). Cette relation évoque le fait que voyager du point A au point B et ensuite, du point B au point C est le même que voyager de A à C directement. La relation de Chasles permet de simplifier des expressions vectorielles.
Peux-tu simplifier l'expression \(\overrightarrow{HF} + \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{FG}\) à l'aide de la relation de Chasles ?
\(\overrightarrow{HF} + \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{FG}\)
\(= \overrightarrow{HF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{HG} \)
\(= \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{HG} \)
\(= 2 \overrightarrow{HG}\)
Dans ce résumé de cours, nous évoquons la relation de Chasles pour les vecteurs. Or, la relation de Chasles est présente dans d'autres domaines mathématiques, notamment pour les intégrales et les séries numériques.
Norme d'un vecteur
La norme d'un vecteur est sa « longueur ». Pour calculer la norme d'un vecteur en deux dimensions, nous utilisons le théorème de Pythagore. Étant donné le vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}\), la norme de ce vecteur se calcule grâce à la formule \( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\).
Peux-tu calculer la norme du vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) ?
\( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{(-3)^2 +(4) ^2}\)
\( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{25} = 5\)
Il est également possible de calculer la norme d'un vecteur grâce à la formule du produit scalaire. Pour en savoir plus, consulte notre résumé de cours sur le produit scalaire.
La norme vectorielle habituellement utilisée est appelée la norme euclidienne. Il existe également d'autres façons de définir la norme d'un vecteur, notamment la distance de Manhattan. Cette appellation est due au fait que cette norme correspond à la distance parcourue lorsque quelqu'un se déplace dans une ville où les rues sont organisées en forme de quadrillage, comme à Manhattan.
Calculer les coordonnées d'un vecteur
Pour calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points, nous devons soustraire les coordonnées du point de départ des coordonnées du point d'arrivée. Autrement dit, si nous disposons des points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\), alors nous avons le vecteur \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).
Peux-tu calculer les coordonnées du vecteur qui va de \(C(-2, 1)\) à \(D(3, 5)\) ?
\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 - (-2) \\ 5 - 1 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\)
Exercices de vecteurs : seconde
Les corrigés des exercices de vecteurs suivants sont fournis dans les flashcards en bas de cette page.
Pour bien assimiler les concepts du calcul vectoriel, il faut faire de nombreux exercices pour s'entraîner.
1. Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Détermine \( \vec{u} +\vec{v}\).
2. Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Détermine \( \vec{v} - \vec{u}\).
3. Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}\). Détermine \( \vec{v} + \vec{u} - \vec{w}\).
4. Simplifie l'expression suivante : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CA}\).
5. Quelle est la norme du vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -8 \\ -15 \end{pmatrix}\) ?
6. Détermine tout \(x\) tel que la norme du vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ 12 \end{pmatrix}\) soit \(13\).
7. Calculer les coordonnées du vecteur qui va de \(A(2, 0)\) à \(D(-1, 10)\).
Calcul vectoriel - Points clés
- Pour faire la somme de deux vecteurs, il faut additionner les composantes respectives des vecteurs.
- La relation de Chasles peut s'énoncer de la façon suivante : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\).
- Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule \( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\).
Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, nous utilisons la formule \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).
Pour maîtriser le calcul vectoriel, il convient de faire de nombreux exercices.
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