Les cercles sont partout autour de nous, mais connais-tu vraiment cette forme géométrique ? Savais-tu que tous les cercles peuvent être représentés par une équation mathématique simple ? Dans ce résumé de cours, nous expliquons tout ce que tu dois savoir sur les cercles et comment les utiliser.
Qu'est-ce qu'un cercle ?
Les cercles peuvent être représentés sur un plan où nous pouvons les représenter avec des équations.
Les cercles sont une forme bidimensionnelle dans laquelle une seule ligne est tracée autour d'un point à 360° ou \(2\pi\) si en radians.
Formules d'un cercle
Voici quelques équations de cercle bien connues :
Diamètre d'un cercle = rayon x 2
Aire d'un cercle = \(\pi\) x (rayon)2
Circonférence d'un cercle = 2 x \(\pi\) x rayon = \(\pi\) x diamètre
Terminologie d'un cercle
Pour comprendre les cercles, tu dois être familiarisé avec le découpage des cercles en différentes parties.
Fig. 1 - Diagramme d'un cercle
Circonférence (C) : le périmètre du cercle.
Rayon (r) : la distance entre un point quelconque de la circonférence et le centre du cercle.
Diamètre (d) : la distance d'un côté à l'autre de la circonférence qui passe par le centre du cercle.
Secteur circulaire : la surface délimitée par deux rayons.
Corde : la distance d'un côté de la circonférence sans passer par le centre du cercle.
Segment circulaire : l'aire comprise entre une corde et la circonférence.
Tangente : la ligne extérieure qui touche la circonférence du cercle en un point.
Arc : une proportion de la circonférence du cercle.
Théorèmes relatifs aux cercles
Il existe plusieurs théorèmes qui décrivent les propriétés des angles des cercles.
Un quadrilatère inscriptible est l'ensemble des points d'un quadrilatère qui se trouvent sur la circonférence du cercle.
Si une droite est coupée par une sécante, alors les angles formés entre la droite et la sécante sont appelés angles alternes-internes. Si les deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes seront de la même mesure.
L'équation d'un cercle dans le plan
Tous les cercles peuvent être représentés par la formule : \((x-a)^2 + (y-b)^2 \) \(= r^2 \), où (a, b) sont les coordonnées du centre de ce cercle et r est le rayon du cercle.
Un cercle dont le centre est situé à (5, 9) et le rayon de 10 aura l'équation \((x-5)^2 + (y-9)^2 = 10^2 \) qui est également égale à \( (x-5)^2 + (y-9)^2 = 100 \).
Lorsque le centre du cercle est à l'origine, aucune constante n'est attachée aux coordonnées x ou y : \(x^2+y^2=r^2\)
Pour savoir si une coordonnée se trouve sur la circonférence du cercle, il faut substituer les coordonnées x et y dans l'équation du cercle. Si les deux membres de l’équation sont égaux, alors le point se trouve sur la circonférence du cercle.
Démontre que (4, 12) se trouve sur la circonférence du cercle.
\(x^2+(y-10)^2=20\).
\(4^2 + (12-10)^2\)
\(16+4=20\)
L'équation du cercle est satisfaite lorsque x = 4 et y = 12. Par conséquent, le point (4, 12) doit se trouver sur la circonférence du cercle.
Équations de cercle à partir d'un graphique
Pour trouver l'équation d'un cercle à partir de son graphique nous aurons besoin de deux informations : le centre du cercle et le rayon du cercle.
Pour trouver le rayon du cercle, tu dois :
Tracer une ligne du centre à la circonférence (qui sera le rayon), puis une autre ligne de l'intersection du rayon jusqu'à une ligne horizontale partant du centre.
Afin de calculer le rayon du cercle, tu dois trouver les deux autres côtés du triangle, et tu peux le faire en comptant les carreaux.
Comme il s'agit d'un triangle rectangle, tu peux utiliser le théorème de Pythagore pour trouver le rayon du cercle.
Le théorème de Pythagore est une formule permettant de calculer les côtés d'un triangle rectangle :
a2 + b2 = c2 où c est l'hypoténuse.
Pour la première étape essaie de placer le rayon sur des points du graphique. Cela t'aidera plus tard, car tu travailleras avec des nombres entiers.
Trouve le rayon du cercle de centre (4, 1) représenté sur le graphique ci-dessous.
Fig. 2 - Cercle de centre (4, 1)
Dessine le rayon : le point de coordonnées (7, 5) se trouve sur la circonférence. Le rayon est la ligne entre le centre (4, 1) et le point sur la circonférence (7, 5).
Fig. 3 - Rayon de cercle sur le plan
Trouve les valeurs des côtés du triangle : en comptant les carreaux, la ligne horizontale vaut 3, et la ligne verticale 4.
Fig. 4 - Trouver le rayon à l'aide d'un triangle rectangle
Trouve la valeur du rayon à l'aide du théorème de Pythagore :
\(a^2+b^2=c^2\)
\(3^2+4^2=r^2\)
\(r=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\)
\(r=\pm5\)
Cependant, le rayon du cercle est une distance et, par conséquent, ne peut être que positif, donc r = 5.
La forme développée de l'équation du cercle
Une autre façon d'écrire l'équation d'un cercle est l'expression \(x^2+y^2+2ax+2bx+c=0\), où le centre du cercle est (-a, -b) et le rayon du cercle est \(\sqrt{a^2+b^2-c}\).
L'équation du cercle B est \(x^2+y^2+16x-10x+8=0\). Quel est le centre du cercle B ? Quel est le rayon du cercle B ?
- Le centre du cercle est égal à \((\frac{-16}{2},\frac{--10}{2}) = (-8,5)\), où a = - 8 et b = 5.
- Le rayon du cercle est \(\sqrt{(-8)^2+5^2-8} = \sqrt{81} = 9\).
Déterminer la forme développée de l'équation du cercle
La forme développée de l'équation du cercle \(x^2+y^2+2ax+2bx+c=0\) peut être trouvée depuis l'équation de base du cercle \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
1. Distribue les parenthèses de l'équation de cercle originale pour obtenir \(x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2\).
2. Réorganise-la de manière que la forme ressemble à la forme développée : \( x^2+y^2-2ax+a^2-2by+b^2-r^2=0\)
3. Soit \(c=a^2+b^2-r^2\) donc l'équation devient \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\).
La dernière étape peut t'aider à te souvenir de la formule du rayon. Comme \(c=a^2+b^2-r^2\), tu peux l'écrire comme suit \(r^2=a^2+b^2-c\). Par conséquent, \(r=\sqrt{a^2+b^2-c}\)
Réarrangement pour revenir à l'équation de base du cercle
On peut te demander de mettre \(x^2+y^2+2ax+2by+c=0\) en \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) et pour ce faire, tu dois compléter le carré.
Il est utile de regrouper les x et les y pour faciliter la complétion du carré.
Mets \(x^2+y^2+12x+4y+20=0\) sous la forme \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
1. Organise l'équation de façon à ce que les x et les y soient regroupées \(x^2+12x+y^2+4y+20=0\).
2. Complète le carré pour chaque variable
Pour l'axe des x : \((x+6)^2-36\)
Pour l'axe des y : \(y^2+4y=(y+2)^2-4\)
3. Combine ces équations : \((x+6)^2-36+(y+2)^2-4+20=0\)
4. Réarrange pour obtenir la forme \((x-a)^2+(y-2)^2=r^2\) :
\((x-a)^2+(y+2)^2-20=0\)
\((x+6)^2+(y+2)^2=20\)
Cercle - Points clés
- Les cercles peuvent être décrits de nombreuses façons et tu devras être en mesure de les reconnaître et de les comprendre.
- Les cercles peuvent être décrits sous la forme d'une équation où le centre du cercle est (a, b) et le rayon du cercle est r.
- L'équation d'un cercle peut également s'écrire sous la forme \(x^2+y^2+2ax+2bx+c=0\) où le centre du cercle est (-a, -b) et le rayon du cercle est \(\sqrt{a^2+b^2-c}\).
- Pour trouver le rayon d'un cercle à partir d'un graphique, il faut créer un triangle rectangle en utilisant le rayon du cercle et calculer le rayon en utilisant le théorème de Pythagore.
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