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Géométrie analytique

La Géométrie analytique décrit les formes à l'aide des équations et du calcul littéral. Pour cela, on dispose souvent d'un repère où chaque point a des coordonnées qui spécifie son emplacement par rapport à un origine. On peut utiliser la Géométrie analytique pour résoudre des problèmes Mathématiques dans le plan…

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Géométrie analytique

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La Géométrie analytique décrit les formes à l'aide des équations et du calcul littéral. Pour cela, on dispose souvent d'un repère où chaque point a des coordonnées qui spécifie son emplacement par rapport à un origine. On peut utiliser la Géométrie analytique pour résoudre des problèmes Mathématiques dans le plan (c'est-à-dire en deux dimensions) et dans l'espace (en trois dimensions).

Dans ce cours de géométrie analytique, on commence par un peu d'Histoire sur le créateur de la géométrie analytique : René Descartes. Ensuite, on donne des informations sur la géométrie analytique en général, avant de poursuivre sur les questions de géométrie analytique dans l'espace. Enfin, on donne quelques formules utiles pour les calculs habituels en géométrie analytique.

La géométrie analytique de Descartes

René Descartes (1596 - 1650) est un mathématicien, physicien et philosophe français. Avec son œuvre intitulé La Géométrie, il établit les bases de la géométrie analytique. Il a comparé les opérations arithmétiques et la géométrie de l'époque. De plus, il a avancé l'idée d'utiliser le calcul littéral, notamment les équations, afin de résoudre des problèmes de géométrie. C'est pour cela qu'il y a encore des objets Mathématiques qui portent son nom de nos jours, comme l'Équation cartésienne d'une droite et le système de coordonnées cartésiennes.

Cours de géométrie analytique

La base dans un cours de géométrie analytique est la compréhension d'un repère et des coordonnées. Dans un repère, il y a plusieurs axes. On utilise ces axes pour savoir l'emplacement de certains points via leurs coordonnées. Sur un plan, dans le système de coordonnées cartésiennes, on dispose de l'axe des abscisses (ou l'axe des x) et l'axe des ordonnés (ou l'axe des y). Dans l'espace 3D, on dispose également d'un axe des z.

Cela veut dire qu'un point dans un repère du plan aura deux coordonnées et pour un repère de l'espace, il y aura trois coordonnées. On peut ensuite utiliser les coordonnées de ces points pour déterminer les équations de certaines formes dans le repère, que ce soit dans le plan ou dans l'espace. Attention : il y a plusieurs types de systèmes de coordonnées et il ne s'agit pas toujours d'un repère.

Il y a deux formes principales qu'on étudie dans un cours de géométrie analytique : les droites et les cercles. Ils ont des équations générales qui les définissent. Pour une droite, les informations importantes sont sa pente et son ordonnée à l'origine.

Un Cercle est l'ensemble des points qui sont équidistants (à la même distance) d'un point donné, appelé centre. La distance entre le centre est un des points du Cercle s'appelle le rayon.

Pour un cercle, on considère plutôt son rayon et les coordonnées de son centre. On peut ensuite appliquer le calcul littéral à ces équations afin de résoudre des problèmes géométriques, par exemple trouver des coordonnées d'intersection dans le plan ou dans l'espace.

Les Vecteurs sont un autre concept important dans un cours de géométrie analytique. On peut désigner ces objets mathématiques de façons différentes.

Un vecteur est un objet mathématique qui possède à la fois une magnitude et une direction. Les Vecteurs peuvent être additionnés pour former de nouveaux Vecteurs, et multipliés par des scalaires pour former des Vecteurs à l'échelle. Ils sont souvent utilisés en physique et en ingénierie pour modéliser des éléments tels que la vitesse, la force et d'autres quantités physiques qui peuvent être mesurées à l'aide d'une échelle.

Graphiquement, on représente un vecteur par une flèche dans un repère dans le plan ou dans l'espace.

Les vecteurs nous aident en particulier à définir les équations de droites.

Géométrie analytique dans l'espace

La géométrie analytique dans l'espace est une extension de la géométrie analytique en deux dimensions. La particularité de la géométrie analytique dans l'espace est que les repères utilisés disposent de trois axes, pour les trois dimensions de l'espace. Cela veut dire qu'on considère une troisième coordonnée qui nécessite une troisième variable dans nos équations. Plus il y a de coordonnées, plus les calculs sont complexes, mais pas impossibles !

On va souvent considérer les droites comme avec la géométrie analytique dans le plan. Or, vu qu'il y a trois dimensions, les problèmes de géométrie analytique dans l'espace concernent l'étude des plans également. Comme dans le plan, les vecteurs sont des objets centraux dans la géométrie analytique dans l'espace.

Formules en géométrie analytique

Comme dans tous les domaines de mathématiques, il y a plusieurs formules de géométrie analytique. Il est donc difficile de donner une liste exhaustive de toutes ces formules. Le tableau ci-dessous donne quelques formules de géométrie analytique et de courtes descriptions.

FormuleDescription
\( (\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}) \)Cette formule donne les coordonnés du milieu de deux points (xA ; yA) et (xB ; yB) dans un repère du plan. Dans l'espace, le calcul est légèrement différent.
\( \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} \)Cette formule donne la distance entre deux points (xA ; yA) et (xB ; yB) dans un repère du plan. Comme pour la formule précédente, le calcul est un petit peu différent pour des points dans l'espace.
\( y = mx + p \)Il s'agit de l'Équation réduite d'une droite dans le plan, où m est le coefficient directeur (ou la pente) et p est l'ordonnée à l'origine. L'équation d'une droite dans l'espace comporte quelques différences.
\( ax + by + c = 0 \)Il s'agit de la forme générale d'une équation cartésienne d'une droite dans le plan. On peut obtenir une équation cartésienne à partir de l'équation réduite et vice-versa via des calculs simples.
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)C'est l'équation d'un cercle avec un centre de coordonnées (a ; b) et de rayon r.
\( \sqrt{x^2 + y^2} \)Il s'agit de la formule pour la norme d'un vecteur, dont les coordonnées (ou composantes) sont x et y.
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert u \rVert \lVert v \rVert cos\theta \)Cette formule permet de calculer le Produit scalaire de deux vecteurs. \( \theta \) est l'angle entre les deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \). \( \lVert u \rVert \) désigne la norme du vecteur \( \vec{u} \)
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_{x}u_{y} + v_{x}v_{y} \)Cette formule permet de calculer le Produit scalaire de deux vecteurs avec leurs coordonnées.

Géométrie analytique - Points clés

  • La géométrie analytique décrit les formes à l'aide des équations et du calcul littéral. On utilise souvent un repère pour désigner l'emplacement des points via leurs coordonnées.

  • La géométrie analytique a été créée par le mathématicien français René Descartes.

  • On peut étudier la géométrie analytique sur le plan ou dans l'espace.

  • Comme tout domaine de mathématiques, il y a plusieurs formules à apprendre.

Questions fréquemment posées en Géométrie analytique

René Descartes a inventé la géométrie analytique 

La géométrique analytique est importante dans la modélisation numérique des formes et pour les représentations géométriques des fonctions.

Pour déterminer l'équation d'une droite dans un repère dans le plan, il faut son coefficient directeur, m, et son ordonnée à l'origine, c. L'équation de la droite sera donc y = mx + c.

Évaluation finale de Géométrie analytique

Géométrie analytique Quiz - Teste dein Wissen

Question

Qui a créé la géométrie analytique ?

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Réponse

René Descartes

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Question

Quelles sont les informations importantes pour déterminer l'équation réduite d'une droite ?

Montrer la réponse

Réponse

la pente

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Question

Lequel n'est pas une définition d'un vecteur ?

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Réponse

un objet mathématique qui contient plusieurs valeurs

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Question

Quelle est la formule pour les coordonnées du milieu de deux points 

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Réponse

((x+ xB)/2 ; (yA + yB)/2)

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Question

Laquelle est l'équation réduite d'une droite du plan ?

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Réponse

y = 3x + 5

Montrer la question

Question

Laquelle est une équation cartésienne d'une droite du plan ?

Montrer la réponse

Réponse

3x + 6y + 9 = 0

Montrer la question

Question

Laquelle est l'équation d'un cercle ?

Montrer la réponse

Réponse

3x + 6y + 9 = 0

Montrer la question

Question

Calcule le produit scalaire des vecteurs (2 ; 4) et (1 ; 5).

Montrer la réponse

Réponse

Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, on fait les produits des coordonnées correspondantes (2*1 = 2 et 4*5 = 20) et on calcule leur somme (2 + 20 = 22). Donc, le produit scalaire des deux vecteurs est 22.

Montrer la question

Question

Si la pente d'un vecteur est 3 est son ordonnée à l'origine est 5, quelle son équation réduite ?

Montrer la réponse

Réponse

y = 3x + 5

Montrer la question

Question

Pour déterminer l'équation d'un cercle, il faut:

Montrer la réponse

Réponse

son rayon

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Question

Déterminer le milieu des points (2 ; 5) et (4 ; -1).

Montrer la réponse

Réponse

Pour l'abscisse du milieu : (2 + 4) / 2 = 3

Pour l'ordonnée : (5 + (-1)) / 2 = 2

Donc, le milieu est (3 ; 2)

Montrer la question

Question

L'équation d'un cercle est (x-1)2 + y2 = 16. Quels sont les coordonnées de son centre ?

Montrer la réponse

Réponse

Le centre de cercle est (1 ; 0)

Montrer la question

Question

Quelle est la pente de la droite y = 3x + 2 ?

Montrer la réponse

Réponse

Sa pente est 3.

Montrer la question

Question

L'équation d'un cercle est (x-9)2 + y2 = 1. Quel est son rayon ?

Montrer la réponse

Réponse

Son rayon est 1.

Montrer la question

Question

Si une équation cartésienne d'une droite est 3x + 6y - 12 = 0, quelle est sont équation réduite ?

Montrer la réponse

Réponse

Son équation réduite est y = 2 - 0,5x.


3x + 6y - 12 = 0

6y = 12 - 3x

y = 2 - 0,5x




Montrer la question

Question

Quelle équation est l'équation cartésienne d'un plan ?

Montrer la réponse

Réponse

\(2x + y  + z  - 1 = 0\)

Montrer la question

Question

Quelle équation est l'équation cartésienne d'une droite ? 

Montrer la réponse

Réponse

\(2x + y  + z  - 1 = 0\)

Montrer la question

Question

Une représentation paramétrique prend la forme d'un système d'équations.

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

Montrer la question

Question

Quelle est la représentation paramétrique d'une droite passant par le point \((x_0, y_0, z_ 0)\) et dont un vecteur directeur est \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\) ?

Montrer la réponse

Réponse

\[\begin{cases} x = x_ 0 + ut \\ y = y_0 + vt \\ z = z_0 + wt \end{cases}\]

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Question

Considère un plan dont deux vecteurs directeurs sont \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} u' \\ v' \\ w' \end{pmatrix}\). Si \((x_0, y_0, z_0)\) est un point du plan, quelle est une représentation paramétrique de ce plan ?

Montrer la réponse

Réponse

\[\begin{cases} x = x_0 + ut + u't' \\ y = y_0 + vt + v't'  \\ z = z_0 + wt + w't' \end{cases}\] 

Montrer la question

Question

Si nous disposons de trois points non-colinéaires d'un plan \((x_A, y_A, z_A)\), \((x_B, y_B, z_B)\) et \((x_C, y_C, z_C)\), quelle représentation paramétrique pouvons-nous obtenir ?

Montrer la réponse

Réponse

\[\begin{cases} x - x_A = t(x_B - x_A) + t'(x_C - x_A) \\ y - y_A = t(y_B - y_A) + t'(y_C - y_A) \\ z - z_A = t(z_B - z_A) + t'(z_C - z_A) \end{cases}\] 

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Question

\(\begin{cases} x = sin(t) \\ y = cos(t) \end{cases}\) est une représentation paramétrique. 

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

Montrer la question

Question

Une droite passe par le point \((1, 0, -1)\) et son vecteur directeur est \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Quelle est sa représentation paramétrique ? 

Montrer la réponse

Réponse

\(\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2t \\ z = -1 +t \end{cases}\), pour \(t \in \mathbb{R}\)

Montrer la question

Question

Une droite passe par le point \((2, 2, -1)\) et son vecteur directeur est \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Quelle est son équation cartésienne ? 

Montrer la réponse

Réponse

\[\frac{x - 2}{4} = \frac{y - 2}{2} = z +1\]

Montrer la question

Question

Quelles sont les représentations paramétriques de la droite qui passe par les points \((0, 1, 3)\) et \((-1,-1,-1)\) ? 

Montrer la réponse

Réponse

\(\begin{cases} x = t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + 4t \end{cases}\)

Montrer la question

Question

Si un plan a pour équation \(x +y + z +1 = 0\), alors \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) est ___ au plan. 

Montrer la réponse

Réponse

un vecteur normal

Montrer la question

Question

Quelle est une représentation paramétrique de la droite \(2x = \frac{y-1}{2}  = z -1\) ? 

Montrer la réponse

Réponse

\(\begin{cases} x =\frac{t}{2} \\ y = 1 + 2t \\ z = 1 + t \end{cases}\)

Montrer la question

Question

Il peut y avoir plus qu'une représentation paramétrique. 

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

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Question

Une représentation paramétrique est aussi appelée ___.

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Réponse

paramétrage

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Question

Pour déterminer la représentation paramétrique d'un plan, nous pouvons utiliser _____.

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Réponse

un point du plan et deux vecteurs directeurs non-colinéaires

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Question

Il y a deux façons de définir des formes dans l'espace.

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Réponse

Vrai

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Question

Quelle est la forme générale de l'équation cartésienne d'une droite ?

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Réponse

Soit une droite dont un point est \((x_0, y_0, z_ 0)\) et dont un vecteur directeur est \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\). Ce vecteur directeur ne contient aucun coefficient nul. Cette droite aura pour équation cartésienne : \[\frac{x - x_0}{u} = \frac{y - y_0}{v} = \frac{z - z_0}{w}\] 

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Question

Quelle est la forme générale de l'équation cartésienne d'un plan ?

Montrer la réponse

Réponse

Une équation cartésienne d'un plan prend la forme \(ax +by + cz + d = 0 \), où \(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan.

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Question

Qu'est-ce qu'un vecteur normal à un plan ?

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Réponse

Un vecteur normal à un plan est un vecteur qui est perpendiculaire au plan.

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Question

Trois points quelconques appartiendront toujours à un même plan.

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Réponse

Vrai 

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Question

Des droites coplanaires sont soit ____ soit _____.

Montrer la réponse

Réponse

sécantes

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Question

Deux plans peuvent

Montrer la réponse

Réponse

être confondus

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Question

Quel est un vecteur normal du plan \(x - y + 3z + 5 = 0 \) ? 

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Réponse

\(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) 

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Question

Considère un plan dont un vecteur normal est \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\). Si \((1, 1, 1)\) est un point du plan, donne une équation du plan

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Réponse

Comme \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal, le plan aura pour équation \(x - z + d = 0 \). 


Nous devrons alors déterminer la constante \(d\). Pour cela, nous pouvons exploiter les coordonnées du point donné.


Comme \((1, 1, 1)\) est un point du plan, ses coordonnées satisfont l'équation du plan :


\(1 - 1 + d = 0 \)

\(d = 0 \) 


Enfin, une équation du plan est \(x - z = 0 \).

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Question

Le point \((1,-1,1)\) se trouve sur le plan \(x + 2y + z = 3\).

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Réponse

Vrai

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Question

Quel est un vecteur directeur de la droite \(\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{-4} = \frac{z - 3}{-1}\) ?

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Réponse

\(\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}\)

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Question

Les plans représentés par les équations \(x - 2y + \frac{1}{2}z = -4 \) et ____ sont confondus. 

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Réponse

\(-x + 2y - \frac{1}{2}z = 4 \) 

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Question

Les plans représentés par les équations \(kx - 2ky + \frac{k}{2}z = -1 \) et \(-2kx + 4ky -kz = 10 \) sont parallèles, pour tout \(k\) non-nul.

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Réponse

Vrai

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Question

Quelle est la droite d'intersection des plans \(2x - 2y + z = 1 \) et  \(x + 2y -z = 2 \) ?

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Réponse

Additionnons les deux équations : 


\(2x - 2y + z + x + 2y -z = 1 +2 \)

\(3x = 3 \) 

\(x = 1\)


Substituons cette valeur de \(x\) dans une des équations des plans.


\(1 + 2y -z = 2 \)

\(2y -z = 1 \)


La droite d'intersection de deux plans est donc donnée par les équations \(\begin{cases} 2y -z = 1 \\ x = 1 \end{cases}\).

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Question

Quel est le point d'intersection du plan \(x - 2y + z = 1 \) et de la droite \(2x = -y = z\)  ?

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Réponse

D'après l'équation de la droite, nous pouvons remplacer \(x\) par \(\frac{-y}{2}\) et \(z\) par \(-y\) dans l'équation du plan. 


\( \frac{-y}{2} - 2y + -y  = 1\)

\(\frac{-7y}{2} = 1 \) 

\( y = -\frac{2}{7} \) 


Substituons cette valeur de \(y\) dans l'équation de la droite pour obtenir les autres coordonnées du point d'intersection.


\(x = \frac{\frac{-2}{7}}{2}= -\frac{1}{7}\) 

\(z = - (-\frac{2}{7}) = \frac{2}{7}\)


Enfin, le point d'intersection de la droite et du plan est \((-\frac{1}{7}, -\frac{2}{7}, \frac{2}{7})\)

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Question

Quelle est la différence entre un vecteur et un scalaire ? 

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Réponse

La différence entre un vecteur et un scalaire est qu'un vecteur possède une direction, alors qu'un scalaire n'a pas de direction. 

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Question

La magnitude (ou longueur) d'un vecteur est appelée ____.

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Réponse

la norme

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Question

Nous pouvons spécifier un vecteur à l'aide d'une base de vecteurs.

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Réponse

Vrai

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Question

Comment savoir si deux vecteurs sont égaux ?

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Réponse

Deux vecteurs sont égaux :

  • s'ils ont la même norme et la même direction ;
  • ou si leurs composantes sont identiques.

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Question

Donne la définition des vecteurs colinéaires.

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Réponse

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un des vecteurs est un multiple de l'autre. Autrement dit, les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel non-nul \(k\) tel que \(\vec{u} = k \vec{v}\).

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((x+ xB)/2 ; (yA + yB)/2)

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y = 3x + 5

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3x + 6y + 9 = 0

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