La géométrie analytique décrit les formes à l'aide des équations et du calcul littéral. Pour cela, on dispose souvent d'un repère où chaque point a des coordonnées qui spécifie son emplacement par rapport à un origine. On peut utiliser la géométrie analytique pour résoudre des problèmes mathématiques dans le plan (c'est-à-dire en deux dimensions) et dans l'espace (en trois dimensions).
Dans ce cours de géométrie analytique, on commence par un peu d'Histoire sur le créateur de la géométrie analytique : René Descartes. Ensuite, on donne des informations sur la géométrie analytique en général, avant de poursuivre sur les questions de géométrie analytique dans l'espace. Enfin, on donne quelques formules utiles pour les calculs habituels en géométrie analytique.
La géométrie analytique de Descartes
René Descartes (1596 - 1650) est un mathématicien, physicien et philosophe français. Avec son œuvre intitulé La Géométrie, il établit les bases de la géométrie analytique. Il a comparé les opérations arithmétiques et la géométrie de l'époque. De plus, il a avancé l'idée d'utiliser le calcul littéral, notamment les équations, afin de résoudre des problèmes de géométrie. C'est pour cela qu'il y a encore des objets mathématiques qui portent son nom de nos jours, comme l'équation cartésienne d'une droite et le système de coordonnées cartésiennes.
Cours de géométrie analytique
La base dans un cours de géométrie analytique est la compréhension d'un repère et des coordonnées. Dans un repère, il y a plusieurs axes. On utilise ces axes pour savoir l'emplacement de certains points via leurs coordonnées. Sur un plan, dans le système de coordonnées cartésiennes, on dispose de l'axe des abscisses (ou l'axe des x) et l'axe des ordonnés (ou l'axe des y). Dans l'espace 3D, on dispose également d'un axe des z.
Cela veut dire qu'un point dans un repère du plan aura deux coordonnées et pour un repère de l'espace, il y aura trois coordonnées. On peut ensuite utiliser les coordonnées de ces points pour déterminer les équations de certaines formes dans le repère, que ce soit dans le plan ou dans l'espace. Attention : il y a plusieurs types de systèmes de coordonnées et il ne s'agit pas toujours d'un repère.
Il y a deux formes principales qu'on étudie dans un cours de géométrie analytique : les droites et les cercles. Ils ont des équations générales qui les définissent. Pour une droite, les informations importantes sont sa pente et son ordonnée à l'origine.
Un cercle est l'ensemble des points qui sont équidistants (à la même distance) d'un point donné, appelé centre. La distance entre le centre est un des points du cercle s'appelle le rayon.
Pour un cercle, on considère plutôt son rayon et les coordonnées de son centre. On peut ensuite appliquer le calcul littéral à ces équations afin de résoudre des problèmes géométriques, par exemple trouver des coordonnées d'intersection dans le plan ou dans l'espace.
Les vecteurs sont un autre concept important dans un cours de géométrie analytique. On peut désigner ces objets mathématiques de façons différentes.
Un vecteur est un objet mathématique qui possède à la fois une magnitude et une direction. Les vecteurs peuvent être additionnés pour former de nouveaux vecteurs, et multipliés par des scalaires pour former des vecteurs à l'échelle. Ils sont souvent utilisés en physique et en ingénierie pour modéliser des éléments tels que la vitesse, la force et d'autres quantités physiques qui peuvent être mesurées à l'aide d'une échelle.
Graphiquement, on représente un vecteur par une flèche dans un repère dans le plan ou dans l'espace.
Les vecteurs nous aident en particulier à définir les équations de droites.
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