Distribution de probabilité

Exemple d'expression d'une distribution de probabilités 1

Considère une expérience dans laquelle la variable aléatoire X = le score obtenu en lançant un dé juste.

Puisqu'il y a six résultats également probables, la probabilité de chaque résultat est \(\frac{1}{6}\).

Solution 1

La distribution de probabilité correspondante peut être décrite :

• Comme une fonction de masse de probabilité :

\(P (X = x) = \frac{1}{6}\), x = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

• Sous la forme d'un tableau :

Exemple d'expression de la distribution de probabilités 2

On lance une pièce de monnaie deux fois de suite. X est défini comme le nombre de têtes obtenues. Écris tous les résultats possibles et exprime la distribution de probabilité sous forme de tableau et de fonction de masse de probabilité.

Solution 2

Avec H pour pile et T pour face, il y a 4 résultats possibles :

(T, T), (H, T), (T, H) et (H, H).

Par conséquent, la probabilité d'obtenir \((X = x = \text{nombre de face} = 0) = \frac{\text{nombre d'issues avec 0 face}} {\text{nombre total de résultats}} = \frac{1}{4}\)

\((x = 1) = \frac{\text{nombre de résultats avec 1 tête}} {\text{nombre total de résultats}} = \frac{2}{4}\)

\((x = 2) = \frac{\text{nombre de résultats avec 2 têtes}} {\text{nombre total de résultats}} = \frac{1}{4}\)

Exprimons maintenant la distribution de probabilité

• Sous la forme d'une fonction de masse de probabilité :

\(P (X = x) = 0,25, espace x = 0, 2 = 0,5, espace x = 1).

• Sous forme de tableau :

Exemple d'expression de la distribution de probabilité 3

La variable aléatoire X possède une fonction de distribution de probabilité

\(P (X = x) = kx, espace x = 1, 2, 3, 4, 5\)

Quelle est la valeur de k ?

Solution 3

Nous savons que la somme des probabilités de la fonction de distribution de probabilité doit être égale à 1.

Pour x = 1, kx = k.

Pour x = 2, kx = 2k.

Et ainsi de suite.

On a donc \N(k + 2k + 3k + 4k + 5k = 1 \NFlèche droite k = \Nfrac{1}{15}\N).

Distribution de probabilité discrète et continue

Les fonctions de distribution de probabilité peuvent être classées comme discrètes ou continues selon que le domaine prend un ensemble de valeurs discrètes ou continues.

Fonction de distribution de probabilité discrète

Mathématiquement, une fonction de distribution de probabilité discrète peut être définie comme une fonction p (x) qui satisfait aux propriétés suivantes :

1. La probabilité que x puisse prendre une valeur spécifique est p (x). C'est-à-dire \(P (X = x) = p (x) = px\)
2. p (x) est non négatif pour tout x réel.
3. La somme de p (x) sur toutes les valeurs possibles de x est de 1, c'est-à-dire \(\sum_jp_j = 1\).

Une fonction de distribution de probabilité discrète peut prendre un ensemble discret de valeurs - elles ne doivent pas nécessairement être finies. Les exemples que nous avons étudiés jusqu'à présent sont tous des fonctions de probabilité discrètes. En effet, les instances de la fonction sont toutes discrètes - par exemple, le nombre de têtes obtenues lors d'un certain nombre de lancers de pièces. Ce sera toujours 0 ou 1 ou 2 ou... Tu n'auras jamais (disons) 1,25685246 face et cela ne fait pas partie du domaine de cette fonction. Puisque la fonction est censée couvrir tous les résultats possibles de la variable aléatoire, la somme des probabilités doit toujours être égale à 1.

Voici d'autres exemples de distributions de probabilités discrètes :

• X = le nombre de buts marqués par une équipe de football lors d'un match donné.

• X = le nombre d'étudiants qui ont réussi l'examen de mathématiques.

• X = le nombre de personnes nées au Royaume-Uni en une seule journée.

Les fonctions de distribution de probabilité discrètes sont appelées fonctions de masse de probabilité.

Fonction de distribution de probabilité continue

Mathématiquement, une fonction de distribution de probabilité continue peut être définie comme une fonction f (x) qui satisfait aux propriétés suivantes :

1. La probabilité que x soit compris entre deux points a et b est \(p (a \leq x \leq b) = \int^b_a {f(x) dx}\).
2. Elle est non négative pour tous les réels x.
3. L'intégrale de la fonction de probabilité est une fonction qui est \N(\Nint^{-\infty}_{\infty} f(x) dx = 1\N).

Une fonction de distribution de probabilité continue peut prendre un ensemble infini de valeurs sur un intervalle continu. Les probabilités sont également mesurées sur des intervalles, et non en un point donné. Ainsi, l'aire sous la courbe entre deux points distincts définit la probabilité pour cet intervalle. La propriété selon laquelle l'intégrale doit être égale à un est équivalente à la propriété des distributions discrètes selon laquelle la somme de toutes les probabilités doit être égale à un.

Voici des exemples de distributions de probabilités continues :

• X = la quantité de pluie en pouces à Londres pour le mois de mars.
• X = la durée de vie d'un être humain donné.
• X = la taille d'un être humain adulte pris au hasard.

Les fonctions de distribution de probabilité continues sont appelées fonctions de densité de probabilité.

Distribution de probabilité cumulative

Une fonction de distribution de probabilité cumulative pour une variable aléatoire X te donne la somme de toutes les probabilités individuelles jusqu'au point x inclus pour le calcul de P (X ≤ x).

Cela implique que la fonction de probabilité cumulative nous aide à trouver la probabilité que le résultat d'une variable aléatoire se situe dans et jusqu'à une plage spécifiée.

Exemple de distribution de probabilités cumulées 1

Considérons l'expérience où la variable aléatoire X = le nombre de têtes obtenues lorsqu'on lance deux fois un dé juste.

Solution 1

La distribution cumulative des probabilités serait la suivante :

La distribution de probabilité cumulative nous donne la probabilité que le nombre de têtes obtenues soit inférieur ou égal à x. Ainsi, si nous voulons répondre à la question "quelle est la probabilité que je n'obtienne pas plus de têtes", la fonction de probabilité cumulative nous indique que la réponse à cette question est 0,75.

Exemple de distribution de probabilités cumulées 2

On lance une pièce de monnaie équitable trois fois de suite. Une variable aléatoire X est définie comme le nombre de têtes obtenues. Représente la distribution cumulative des probabilités à l'aide d'un tableau.

Solution 2

Si l'on représente l'obtention de face par H et de pile par T, il y a 8 résultats possibles :

(T, T, T), (H, T, T), (T, H, T), (T, T, H), (H, H, T), (H, T, H), (T, H, H) et (H, H, H).

La distribution des probabilités cumulées est exprimée dans le tableau suivant.

Exemple de distribution de probabilités cumulées 3

À l'aide du tableau de distribution des probabilités cumulées obtenu ci-dessus, réponds à la question suivante.

1. Quelle est la probabilité d'obtenir au plus une tête ?

2. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins 1 tête ?

Solution 3

1. La probabilité cumulative P (X ≤ x) représente la probabilité d'obtenir au plus x têtes. Par conséquent, la probabilité d'obtenir au plus 1 tête est P (X ≤ 1) = 0,5.
2. La probabilité d'obtenir au moins 1 tête est \(1 - P (X ≤ 0) = 1 - 0,125 = 0,875\).

Distribution de probabilité uniforme

Une distribution de probabilités où tous les résultats possibles se produisent avec la même probabilité est connue sous le nom de distribution de probabilités uniforme.

Ainsi, dans une distribution uniforme, si tu sais que le nombre de résultats possibles est de n probabilités, la probabilité que chaque résultat se produise est \(\frac{1}{n}\).

Exemple de distribution de probabilité uniforme 1

Revenons à l'expérience où la variable aléatoire X = le score obtenu lorsqu'on lance un dé juste.

Solution 1

Nous savons que la probabilité de chaque résultat possible est la même dans ce scénario, et que le nombre de résultats possibles est de 6.

Ainsi, la probabilité de chaque résultat est \(\frac{1}{6}\).

La fonction de masse de probabilité sera donc : \(P (X = x) = \frac{1}{6}, \space x = 1, 2, 3, 4, 5, 6\).

Distribution de probabilité binomiale

La distribution binomiale est une fonction de distribution de probabilité qui est utilisée lorsqu'il y a exactement deux résultats possibles mutuellement exclusifs d'un essai. Les résultats sont classés comme "succès" et "échec", et la distribution binomiale est utilisée pour obtenir la probabilité d'observer x succès en n essais.

Intuitivement, il s'ensuit que dans le cas d'une distribution binomiale, la variable aléatoire X peut être définie comme étant le nombre de succès obtenus lors des essais.

Tu peux modéliser X par une distribution binomiale, B (n, p), si :

• il y a un nombre fixe d'essais, n

• il y a 2 résultats possibles, le succès et l'échec

• il y a une probabilité fixe de succès, p, pour tous les essais

• les essais sont indépendants