Probabilités des événements combinés

Un couple a deux enfants. Quelle est la probabilité que les deux soient des garçons ?

Solution

Étant donné qu'il y a une probabilité égale d'avoir un garçon ou une fille, la probabilité que l'un des enfants soit un garçon est la suivante $P("Boy")=0.5$.

Puisque le résultat du premier enfant (qu'il soit un garçon ou une fille) n'a pas d'effet sur le résultat du second, on peut dire que le sexe de chaque enfant est indépendant. Par conséquent :

$P("Twoboys")=P("Boy")\times P("Boy")=0.5\times 0.5=0.25$

Tu lances un dé standard à 6 faces. Quelle est la probabilité que tu obtiennes un 3 ou un 5 ?

Solution

Comme tu ne peux pas obtenir un 3 et un 5 en même temps, ces deux événements s'excluent mutuellement. Cela signifie que nous pouvons appliquer la règle de la "somme" :

$P("rolling3"\cup "rolling5")=P("rolling3")+P("rolling5")=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$

Il y a 4 pommes rouges identiques. Deux d'entre elles sont empoisonnées et les deux autres sont inoffensives. Le poison n'est cependant pas très fort. Tu ne mourras que si tu manges les deux pommes empoisonnées consécutivement.

Tu manges trois des pommes. Quelle est la probabilité que tu vives ?

Solution

Désignons les pommes empoisonnées par "P" et les pommes normales par "A". La combinaison de tous les résultats possibles est la suivante :

AAP, APA, PAA, PAP, PPA, APP.

Tu ne mourras que si tu consommes deux pommes empoisonnées consécutivement. Par conséquent, tu survivras si le résultat est AAP, APA, PAA ou PAP. En utilisant la formule de base des probabilités :

$P("Surviving")=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

La probabilité de survie est donc de $\frac{2}{3}$

45 % des propriétaires d'animaux de compagnie possèdent des chiens, et 4 % possèdent à la fois des chats et des chiens. Si une personne possède un chien, quelle est la probabilité qu'elle possède également un chat ?

Solution

Utilise d'abord la formule de probabilité conditionnelle pour exprimer mathématiquement la question :

Ensuite, saisis les chiffres de la question et calcule la réponse :

$P("Cat"|"Dog")=\frac{P("Cat"\cap "Dog")}{P("Dog")}=\frac{0.04}{0.45}=\frac{4}{45}=0.0889$ à 3 s.f.

Le taux d'infection d'une maladie particulière dans une population est de 1 %. Le test de dépistage de cette maladie est précis dans 99 % des cas. Démontre ces informations à l'aide d'un arbre de probabilité.

Solution

Si le test est précis à 99 %, cela signifie que :

• si le test est positif, il y a 99 % de chances que tu sois atteint de la maladie
• si le test est négatif, il y a 99 % de chances que tu n'aies pas la maladie.

Nous pouvons illustrer ceci comme suit :

Diagramme 1

La deuxième colonne de branches, intitulée "infecté" et "sain", indique les probabilités conditionnelles.

Par exemple, les branches extérieures indiquent la probabilité qu'une personne soit infectée si son test est positif:

Diagramme 2

Nous pouvons utiliser ce diagramme pour, par exemple, trouver la probabilité qu'une personne soit infectée si son test est négatif. Lis le diagramme comme suit :

Diagramme 3

Nous constatons que $P\left(Infected\right|Negative)=0.01$.

Une autre interprétation est que les informations à gauche du symbole "étant donné que" indiquent le résultat de la première branche. Les informations situées à droite du symbole "étant donné que" indiquent le résultat de la deuxième série de branches.

Prends le scénario de l'exemple ci-dessus. Quelle est la probabilité qu'une personne soit à la fois infectée et que son test soit négatif ?

Solution

Tout d'abord, reformule la question à l'aide de la formule de probabilité conditionnelle :

D'après notre diagramme en arbre ci-dessus, nous savons que la probabilité qu'une personne soit infectée étant donné que son test est négatif est de 0,01. Nous savons également que la probabilité globale d'un test négatif est de 0,99.

Introduis ces probabilités et réarrange-les :

$P\left(Infected\right|Negative)=0.01=\frac{P(Infected\cap Negative)}{0.99}$

Par conséquent, la probabilité d'avoir un test négatif et d' être infecté par la maladie est de 0,0099.