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Formule de l'écart-type
La formule de l'écart-type est la suivante :
\[ \sigma = \sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\mu)^2}{N}}\]
Où :
\(\sigma\) est l'écart type
\(\sum\) est la somme
\(x_i\) est un nombre individuel dans l'ensemble de données
\N( \Nmu\N) est la moyenne de l'ensemble des données
\N(N\N) est le nombre total de valeurs dans l'ensemble de données
En d'autres termes, l'écart type est la racine carrée de la somme de la distance entre chaque point de données et la moyenne au carré, divisée par le nombre total de points de données.
La variance d'un ensemble de données est égale à l'écart-type au carré, \(\sigma^2\).
Graphique de l'écart type
Le concept d'écart type est assez utile car il nous aide à prédire combien de valeurs d'un ensemble de données se trouveront à une certaine distance de la moyenne. Lorsque nous effectuons un écart type, nous supposons que les valeurs de notre ensemble de données suivent une distribution normale. Cela signifie qu'elles sont réparties autour de la moyenne selon une courbe en forme de cloche, comme ci-dessous.
Graphique de l'écart-type. Image : M W Toews, CC BY-2.5 i
L'axe \(x\) représente les écarts types autour de la moyenne, qui dans ce cas est \(0\). L'axe \(y\) indique la densité de probabilité, c'est-à-dire le nombre de valeurs de l'ensemble des données qui se situent entre les écarts types de la moyenne. Ce graphique nous indique donc que \N(68,2\N%) des points d'un ensemble de données normalement distribuées se situent entre \N(-1\N) d'écart type et \N(+1\N%) d'écart type de la moyenne, \N(\Nmu\N).
Comment calculer l'écart-type ?
Dans cette section, nous allons voir un exemple de calcul de l'écart type d'un échantillon de données. Disons que tu as mesuré la taille de tes camarades de classe en cm et que tu as enregistré les résultats. Voici tes données :
165, 187, 172, 166, 178, 175, 185, 163, 176, 183, 186, 179
À partir de ces données, nous pouvons déjà déterminer \(N\), le nombre de points de données. Dans ce cas, \(N = 12\). Nous devons maintenant calculer la moyenne, \(\mu\). Pour cela, il suffit d'additionner toutes les valeurs et de les diviser par le nombre total de points de données, \N(N\N).
\[ \begin{align} \mu &= \frac{165 + 187+172+166+178+175+185+163+176+183+186+179}{12} \\ &= 176.25. \Nend{align} \]
Il nous faut maintenant trouver
\N[ \Nsomme(x_i-\Nmu)^2.\N]
Pour cela, nous pouvons construire un tableau :
\N-(x_i\N) | \N- (x_i - \Nmu) | \N- (x_i-\mu)^2\N) |
165 | -11.25 | 126.5625 |
187 | 10.75 | 115.5625 |
172 | -4.25 | 18.0625 |
166 | -10.25 | 105.0625 |
178 | 1.75 | 3.0625 |
175 | -1.25 | 1.5625 |
185 | 8.75 | 76.5625 |
163 | -13.25 | 175.5625 |
176 | -0.25 | 0.0625 |
183 | 6.75 | 45.5625 |
186 | 9.75 | 95.0625 |
179 | 2.75 | 7.5625 |
Pour l'équation de l'écart type, nous avons besoin de la somme en ajoutant toutes les valeurs de la dernière colonne. Cela donne \(770.25\).
\N- \NSomme(x_i-\Nmu)^2 = 770,25.\N]
Nous avons maintenant toutes les valeurs dont nous avons besoin pour les insérer dans l'équation et obtenir l'écart-type pour cet ensemble de données.
\[ \begin{align} \sigma &= \sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\mu)^2}{N}} \N- &= \sqrt{\frac{770.25}{12}} \\ &= 8.012. \N- [end{align}\N]
Cela signifie qu'en moyenne, les valeurs de l'ensemble des données s'éloignent de la moyenne de 8,012 cm. Comme le montre le graphique de la distribution normale ci-dessus, nous savons que \N(68,2\N%) des points de données se situent entre \N(-1\N) d'écart type et \N(+1\N%) d'écart type par rapport à la moyenne. Dans ce cas, la moyenne est de 176,25 cm et l'écart type de 8,012 cm. Par conséquent, \N( \mu - \sigma = 168,24\N, cm\N) et \N( \mu - \sigma = 184,26\N, cm\N), ce qui signifie que \N (68,2\N% ) des valeurs sont comprises entre \N(168,24\N, cm\N) et \N(184,26\N, cm\N).
L'âge de cinq travailleurs (en années) dans un bureau a été enregistré. Trouve l'écart-type des âges : 44, 35, 27, 56, 52.
Nous avons 5 points de données, donc \(N=5\). Nous pouvons maintenant trouver la moyenne, \(\mu\).
\N[ \Nmu = \Nfrac{44+35+27+56+52}{5} = 42.8\N]
Nous devons maintenant trouver
\[ \sum(x_i-\mu)^2.\]
Pour cela, nous pouvons construire un tableau comme ci-dessus.
| \N-(x_i\N) | \N- (x_i - \Nmu) | \N- (x_i-\mu)^2\N- (x_i-\mu)^2\N- (x_i-\mu)^2\N) |
| 44 | 1.2 | 1.44 |
| 35 | -7.8 | 60.84 |
| 27 | -15.8 | 249.64 |
| 56 | 13.2 | 174.24 |
| 52 | 9.2 | 84.64 |
Pour trouver
\N[ \Nsomme(x_i-\Nmu)^2,\N]
il suffit d'additionner tous les nombres de la dernière colonne. Cela donne
\[ \sum(x_i-\mu)^2 = 570.8\]
Nous pouvons maintenant insérer le tout dans l'équation de l'écart type.
\[ \begin{align} \sigma &= \sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\mu)^2}{N}} \N- &= \sqrt{\frac{570.8}{5}} \\ &= 10.68. \N- [Fin{alignement}\N]
L'écart-type est donc de \(10,68\) ans.
Écart-type - Principaux enseignements
- L'écart type est une mesure de la dispersion, c'est-à-dire de la distance entre les valeurs d'un ensemble de données et la moyenne.
- Le symbole de l'écart type est sigma, \(\sigma\).
- L'équation de l'écart type est \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\mu)^2}{N} \].
- La variance est égale à \(\sigma^2\)
- L'écart-type est utilisé pour les ensembles de données qui suivent une distribution normale.
- Le graphique d'une distribution normale est en forme de cloche.
- Dans un ensemble de données qui suit une distribution normale, \N(68,2\N%) des valeurs sont comprises dans \N(\Npm \Nsigma\N) la moyenne.
Images
Graphique de l'écart-type : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standard_deviation_diagram.svg
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