Intervalles de confiance

Introduction aux intervalles de confiance

Commençons par examiner la terminologie qui sous-tend ce concept important en statistiquesa>.

La principale raison pour laquelle tu veux faire une estimation par intervalle de confiance plutôt qu'une estimation ponctuelle - une seule statistique - est que les résultats d'un échantillon varient d'un échantillon à l'autre.

Tu as donc besoin d'une mesure pour savoir de combien tu peux t'attendre à ce que ces résultats changent si tu devais répéter ton étude. Cette prévision des variations de tes statistiques d'un échantillon à l'autre est mesurée par la marge d'erreur.

Reprenons l'exemple précédent.

Ici, tu utilises ton échantillon pour estimer une plage de valeurs - un intervalle de confiance - où il y a une probabilité de trouver la vraie valeur du paramètre inconnu qui t'intéresse. Cette probabilité te donne une certaine confiance dans tes résultats, et elle est appelée niveau de confiance.

Sans plus attendre, voyons comment construire un intervalle de confiance.

Formule de l'intervalle de confiance

La terminologie présentée dans la section précédente te donne en fait un indice sur les éléments nécessaires pour construire un intervalle de confiance. Par exemple, la formule de l'intervalle de confiance pour la moyenne est la suivante :

\[CI=\overline{x}\pm z \frac{\sigma_s}{\sqrt{n}} \]

Ici, nous pouvons identifier :

\(\overline{x}\) : La moyenne de l'échantillon.

\(z\) : Le niveau de confiance.

\(\sigma_s\) : L'écart type de l'échantillon : L'écart type de l'échantillon.

\(n\) : La taille de l'échantillon.

Si tu veux en savoir plus sur les échantillons, la moyenne de l'échantillon et l'écart type de l'échantillon, consulte notre article intitulé Moyenne de l'échantillon.

Avec ces éléments, tu peux construire un intervalle de confiance.

Types d'intervalles de confiance

Cependant, les intervalles de confiance peuvent avoir plusieurs significations.

Les types d'intervalles de confiance que tu verras ci-dessous sont :

• L'intervalle de confiance pour la moyenne de la population.

• L'intervalle de confiance pour la différence de deux moyennes.

• L'intervalle de confiance pour la proportion de la population.

• L'intervalle de confiance pour la différence de deux proportions.

• L'intervalle de confiance pour la pente d'un modèle de régression.

Intervalle de confiance pour la moyenne de la population

Disons que tu prélèves un échantillon \(a\) d'une population entière \(A\). Cet échantillon \(a\N) a une moyenne \N(\Noverline{x_a}\N). Si l'échantillonnage comporte suffisamment de données et que le sondage est aléatoire, alors les paramètres de l'échantillon ressembleront à ceux de la grande population. Plus la méthode d'échantillonnage est bonne, plus la moyenne de l'échantillon ressemblera à la moyenne de la population entière.Dans ce cas, l'intervalle de confiance est la plage \([x_1 - x_2]\) dans l'échantillon original \(a\), sur laquelle nous avons une valeur de probabilité \(P\) pour trouver la moyenne de la population.

Cela a une autre implication : si tu prends un autre échantillon, il est très probable que la moyenne de cet échantillon se trouve également dans cette fourchette. Prenons un exemple numérique.

La taille de l'échantillon affectera l'intervalle de confiance dans l'exemple précédent. Si l'échantillon n'était que de 1 000, le résultat serait de 0,051.

Intervalle de confiance pour la différence de deux moyennes

Disons que tu as deux échantillons provenant de deux populations. Par exemple, les échantillons de poids d'une classe de 8e année en Angleterre et d'une classe de 9e année en Écosse. Tu veux trouver la différence entre les moyennes des deux échantillons.Cela pourrait être facile : calcule la moyenne du poids de la classe en Angleterre \(w_E\) et soustrais-la de la moyenne de la classe en Ecosse \(w_S\). Cependant, les échantillons sont aléatoires, leurs moyennes ne ressemblent pas à la moyenne de la classe \(8\) en Angleterre et à la moyenne de la classe \(9\) en Écosse. Nous avons des incertitudes sur le rusult possible.Dans ce cas, nous disposons d'une formule pour calculer l'intervalle de confiance. La moyenne de deux populations différentes est définie comme suit :

\[CI_p=(\overline{x_1} - \overline{x_2})+t\sqrt{\frac{sp^2}{n_1}+\frac{sp^2}{n_2}}\]

\(\overline{x_1}{,}\overline{x_2}\): Les moyennes de la population.

\(sp\) : La variance regroupée.

\(n_1, n_2\) : La population de l'échantillon \N1 et de l'échantillon \N2.

\(t\) : La valeur critique de \(t\).

La variance groupée est calculée comme suit :

\[sp=\sqrt{\dfrac{(n_1 - 1)\cdot s^2_1+n_2- 1)\cdot s_2^2 }{n_1 + n_2 -2}}\]

\(s_1{,}s_2\) : sont les variances des échantillons.

Intervalle de confiance pour une proportion de la population

Tu as vu ce qui se passe avec l'intervalle de confiance dans une distribution normale. Dans ce type de distribution, les valeurs sont continues. Cependant, il existe d'autres types de distributions, comme la distribution binomiale. Dans ce cas, les valeurs sont le résultat d'une expérience de type Bernoulli. Dans une distribution de type Bernoulli, les résultats n'ont que deux issues.Dans ces distributions, nous pouvons tester une question.

\[p=Z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

\(\hat{p}\) : c'est la proportion ou le pourcentage.

\(Z\) : est la valeur du niveau de confiance comme dans le tableau que tu as utilisé précédemment.

\N(n\N) : c'est la taille de l'échantillon.

Intervalle de confiance pour la différence de deux proportions

Tout comme lorsque tu as l'intervalle de confiance de deux moyennes de deux échantillons de deux populations, cela peut exister aussi pour les proportions. Dans ce cas, tu as deux proportions obtenues à partir d'échantillons.

Les deux échantillons étudient la même question dans les populations \N(A) et \N(B), mais leurs résultats sont différents \N(\Nqui{p_1}\N) et \N(\Nqui{p_2}\N). Dans ce cas, l'intervalle de confiance pour la différence de deux proportions est donné par l'équation suivante :

\[(\hat{p_1}-\hat{p_2})\pm Z \sqrt{\dfrac{\hat{p_1}(1-\hat{p_1})}{n_1}+\dfrac{\hat{p_2}(1-\hat{p_2})}{n_2} }\]

Intervalle de confiance pour la pente d'un modèle de régression

Si tu soupçonnes l'existence d'une relation linéaire entre deux variables, tu peux construire un intervalle de confiance pour la pente d'un modèle de régression. Rappelle-toi que tu peux utiliser la régression linéaire ou la technique de régression par les moindres carrés pour créer la ligne qui correspond le mieux aux données.

Pour en savoir plus sur cet intervalle de confiance, lis notre article sur les intervalles de confiance pour la pente d'un modèle de régression.

Pour savoir comment tirer des conclusions de ce type d'intervalle de confiance, lis notre article sur la justification des affirmations basées sur l'intervalle de confiance de la pente d'un modèle de régression.

Interprétation des intervalles de confiance

Encore une fois, un intervalle de confiance est un intervalle contenant les valeurs probables d'un paramètre de la population basé sur un ou plusieurs échantillons aléatoires, avec un niveau de confiance de \(c\%\).

Le niveau de confiance indique que la méthode utilisée pour créer un intervalle de confiance particulier réussit à capturer la valeur du paramètre réel de la population environ \(c\%\) du temps.

Attention : un niveau de confiance de \(X\%\) ne signifie pas que la probabilité que le paramètre se trouve entre les limites de l'intervalle de confiance est de \(X\%\).

Encore une fois, un niveau de confiance de \(c\N%\N) concerne la méthode utilisée pour produire l'intervalle de confiance.

Ainsi, l'interprétation que tu dois faire d'un intervalle de confiance est que tu peux être sûr(e) que la valeur réelle du paramètre est incluse dans l'intervalle calculé.

Les niveaux de confiance les plus courants sont \N(90\N%), \N(95\N%) et \N(99\N%).

Considérations sur la marge d'erreur, le niveau de confiance et la taille de l'échantillon

Tu pourrais penser qu'en visant un intervalle étroit pour estimer ton paramètre, tu te rapproches de la connaissance de sa vraie valeur puisqu'elle est plus précise. Il est plus pratique et plus précis pour toi de savoir que tu rencontres un ami dans le quartier \(X\), plutôt que dans la ville \(Y\).

Mais dans les intervalles de confiance, tu dois penser à l'inverse : plus la largeur de l'intervalle est petite, moins tu es sûr que la vraie valeur du paramètre se trouve dans cet intervalle. Bien que la précision diminue, il est beaucoup plus sûr de supposer que le paramètre se trouve dans la ville \(Y\), plutôt que dans le quartier \(X\) parce que la même ville peut contenir d'autres quartiers dans lesquels le paramètre peut être présent.

Cela signifie que

plus le niveau de confiance est élevé, plus l'intervalle de confiance est large.

Un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 99 % est plus large qu'un intervalle de confiance de 95 %, qui est plus large qu'un intervalle de confiance de 90 %, pour la même situation.

Une autre chose que tu pourrais remarquer dans les formules présentées est que la taille de l'échantillon affecte également la marge d'erreur. Dans toutes les situations présentées, la taille de l'échantillon \(n\) apparaît au dénominateur de l'erreur standard. Ainsi ,

plus la taille de l'échantillon est grande, plus l'intervalle de confiance est étroit

(car plus la valeur de l'erreur type est petite).

Exemple d'intervalles de confiance

Terminons cet article par deux exemples où l'on calcule l'intervalle de confiance d'une moyenne et l'intervalle de confiance de deux proportions.