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Calcul de probabilité

Pour toi, le vocabulaire des probabilités c'est facile, mais quand il s'agit de calculer la probabilité dans un contexte précis, tu bloques ? Appliquer les différentes formules de probabilité c'est vraiment un art en soi. Dans ce résumé de cours, nous te montrerons comment appliquer certaines formules pour effectuer des calculs de probabilités. Pour cela, nous présenterons d'abord les formules de probabilité fondamentales qu'il faut garder à l'esprit. Par la suite, nous rentrerons dans les détails avec des formules de probabilités conditionnelles. Nous expliquerons également certaines formules bien précises : la formule des probabilités totales et le théorème de Bayes. Enfin, nous te montrerons comment appliquer ces formules à quelques exercices de probabilités.

Formules de probabilité

Nous rappelons ici quelques formules de probabilité de base, qui te serviront dans n'importe quel contexte de calcul de probabilités.

La probabilité d'un événement est le nombre d'issues favorables divisé par le nombre d'issues au total. Même si nous pouvons appliquer des formules plus avancées, cette définition de probabilité nous servira de guide pour trouver le bon résultat.

Considérons maintenant quelques cas précis. D'abord, la probabilité d'un événement certain est \(1\), alors que la probabilité d'un événement impossible est \(0\). Quant aux événements contraires, nous pouvons utiliser la formule suivante : \[ \mathbb{P}(\bar{A}) = 1 - \mathbb{P}(A) \] Cette formule découle du fait que la somme des probabilités des événements élémentaires vaut \(1\). Cela dit, ne tombe pas dans le piège de penser que \(\mathbb{P}(A \ \text{ou} \ B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) \). Cette égalité n'est vraie que pour des événements incompatibles, qui ne peuvent pas arriver en même temps. Il faut plutôt utiliser la formule : \[\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \] Nous pouvons comprendre facilement cette formule en construisant un diagramme de Venn. Rappelle-toi que la probabilité que l'événement A ou l'événement B se produise (ou les deux) se note \( \mathbb{P}(A \cup B) \) et que la probabilité que tous les deux se produisent se note \( \mathbb{P}(A \cap B) \). Pour cette dernière probabilité, il y a une formule simple en termes de \(\mathbb{P}(A)\) et \(\mathbb{P}(B)\), mais il faut d'abord étudier la théorie des probabilités conditionnelles.

Formule de probabilités conditionnelles

La probabilité de A sachant B se note \(\mathbb{P}(A|B)\) ou \(\mathbb{P}_{B}(A)\). Il s'agit de la probabilité que A se réalise étant donné que B s'est déjà réalisé.

La formule de probabilités conditionnelles s'écrit : \[\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \] Nous pouvons utiliser cette formule, ou encore un arbre de probabilité (aussi appelé arbre pondéré) afin d'effectuer des calculs de probabiltés conditionnelles. Par ailleurs, si l'événement A est indépendant de l'événement B, alors il serait logique que \(\mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A)\). Si nous remplaçons \(\mathbb{P}(A|B)\) avec \(\mathbb{P}(A)\) dans la formule de probabilités conditionnelles, nous obtenons donc \(\mathbb{P}(A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \). La définition des événements indépendants découle de cette définition.

Deux événements, A et B, sont indépendants s'ils vérifient \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \)

Nous pouvons utiliser la relation ci-dessus pour calculer la probabilité que deux événements indépendants se produisent tous les deux. Nous pouvons également l'utiliser pour démontrer que deux événements sont effectivement indépendants. Plusieurs formules de probabilités exploitent la probabilité conditionnelle. Nous en expliciterons deux : la formule des probabilités totales et le théorème de Bayes.

Formule des probabilités totales

Avant d'énoncer la formule des probabilités totales, nous devons définir ce qu'est un système complet en probabilités.

Un système complet (aussi appelé système exhaustif) est une famille d'événements qui sont deux à deux incompatibles et dont la réunion est l'univers. En d'autres termes, il s'agit d'une partition de l'univers.

Considérons un lancer de dé. L'univers des issues possibles est \(\{1,2,3,4,5,6\}\). Les événements \(P = {\text{obtenir un chiffre pair}}\) et \(\bar{P} = {\text{obtenir un chiffre impair}}\) sont incompatibles et leur réunion est l'univers. \(P\) et \(\bar{P}\) forment donc un système complet. Un autre système complet est formé par les événements A, B et C, définis de la façon suivante :

  • \(A = \{1, 2, 5\}\) ;
  • \(B = \{4\}\) ;
  • \(C = \{3,6\}\).

Si nous disposons d'événements, \((B_i)\), qui forment un système complet, où les indexes \(i\) appartiennent à l'ensemble \(I\), nous pouvons utiliser la formule des probabilités totales : \[\mathbb{P}(A) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A|B_i) \mathbb{P}(B_i) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A \cap B_i) \] Autrement dit, il s'agit de déterminer la probabilité d'un événement en considérant plusieurs événements indépendants. Cette formule est particulièrement utile si nous souhaitons inverser un arbre pondéré. Inverser un arbre pondéré est le procédé de trouver les probabilités d'événements au début d'un arbre de probabilité.

Le symbole \( \Sigma \) te paraît bizarre ? N'hésite pas à jeter un œil à notre résumé de cours sur les séries numériques si tu as besoin d'un rappel !

Théorème de Bayes

À l'aide de la formule de probabilité conditionnelle, nous savons calculer la probabilité de A sachant B : \(\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \)

Il en découle que : \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A|B) \mathbb{P}(B) \)

De la même façon, nous calculons la probabilité de B sachant A : \(\mathbb{P}(B|A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)} \)

Nous obtenons une égalité similaire : \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B|A) \mathbb{P}(A) \)

En formant une égalité entre ces deux expressions pour \(\mathbb{P}(A \cap B)\), nous obtenons le théorème de Bayes : \[\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(B|A) \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)} \] Ce théorème s'applique à de nombreux et divers contextes. Nous pouvons citer la génétique, le dépistage des drogues et encore la traduction automatique à l'aide des logiciels.

Exercices de probabilités

Dans cette section, nous te montrerons comment résoudre quelques exercices de probabilités typiques, en appliquant les différentes formules de probabilité présentées dans ce résumé de cours.

Lis attentivement les informations données dans l'énoncé afin de bien comprendre le contexte et savoir précisément ce qui est demandé.

Une usine fabrique une pièce mécanique qui nécessite un interrupteur et un fusible. Vu que l'usine achète ces composants électriques en grande quantité, il arrive qu'une certaine quantité des interrupteurs et des fusibles achetés soient défectueux. Les ingénieurs qui travaillent dans l'usine ont récolté des données sur la défaillance de ces appareils, dont certaines sont résumées dans le tableau ci-dessous.

Interrupteur
Fusible
Total
Défectueux
6
?
?
Non-défectueux
182
?
?
Total
?
208
?
  1. Quelle est la probabilité qu'un interrupteur soit défectueux ?
  2. Si la probabilité qu'un fusible soit défectueux est de 0,0625, combien de fusibles sont non-défecteux ?
  3. Si les défaillances d'un interrupteur et d'un fusible sont indépendantes, quelle est la probabilité de choisir un interrupteur et un fusible défectueux au hasard ?
  4. En déduire la probabilité de choisir un interrupteur ou un fusible qui ne fonctionne pas.

1. Quelle est la probabilité qu'un interrupteur soit défectueux ?

Soit N l'événement qu'un interrupteur soit défectueux. Pour calculer la probabilité \( \mathbb{P}(N)\) nous devons diviser le nombre d'interrupteurs défectueux (le nombre de cas favorables) par le nombre total d'interrupteurs.

Le nombre total d'interrupteurs est la somme des nombres des interrupteurs défectueux et non-défectueux : \(6 + 182 = 188\).

Enfin, \(\mathbb{P}(N) = \frac{6}{188} = \frac{3}{94} = 0{,}0319\).

2. Si la probabilité qu'un fusible soit défectueux est de 0,0625, combien de fusibles sont non-défecteux ?

Soit F l'événement qu'un interrupteur soit défectueux. Ici, nous devons multiplier la probabilité qu'un fusible soit non-défectueux par le nombre total de fusibles.

La probabilité qu'un fusible soit non-défectueux, \( \mathbb{P}(\bar{F})\), est alors donnée par \( \mathbb{P}(\bar{F}) = 1 - \mathbb{P}(F) = 1 - 0{,}0625 = 0{,}9375\).

Enfin, pour déterminer le nombre de fusibles non-défectueux, il faut multiplier le nombre total de fusibles par cette probabilité : \(0{,}9375 \times 208 = 195\).

3. Si les défaillances d'un interrupteur et d'un fusible sont indépendantes, quelle est la probabilité de choisir un interrupteur et un fusible défectueux au hasard ?

La probabilité de choisir un interrupteur et un fusible défectueux est \( \mathbb{P}(F \cap N) \).

Comme les événements F et N sont indépendants, \( \mathbb{P}(F \cap N) = \mathbb{P}(F) \mathbb{P}(N) = 0{,}0625 \times 0{,}0319 = 0{,}0020\).

4. En déduire la probabilité de choisir un interrupteur ou un fusible qui ne fonctionne pas.

La probabilité de choisir un interrupteur ou un fusible qui ne fonctionne pas est \( \mathbb{P}(F \cup N) \).

Vu qu'il y a « en déduire » dans la question, il faut penser à utiliser le résultat préalable, dans ce cas, la valeur de \( \mathbb{P}(F \cap N) \).

La probabilité que nous souhaitons trouver et la probabilité que nous devons utiliser sont reliées par cette formule : \(\mathbb{P}(F \cup N) = \mathbb{P}(F) + \mathbb{P}(N) - \mathbb{P}(F \cap N) \)

Il en résulte que \(\mathbb{P}(A \cup B) = 0{,}0625 + 0{,}0319 - 0{,}0020 = 0{,}0924 \)

Dans cet exercice, nous avons effectué des calculs de probabilités d'un échantillon. En effet, étudier un échantillon nous permet de prendre des décisions sur la population statistique en question. Or, pour interpréter les probabilités calculées en profondeur, il faut prendre en compte d'autres valeurs. Tu pourras retrouver plus d'informations à ce sujet dans notre résumé de cours sur l'échantillonnage.

Parmi 40 élèves, 22 aiment les mathématiques, 28 aiment la physique-chimie et 15 aiment les deux matières. Déterminons la probabilité qu'un ou une élève aime les mathématiques, sachant qu'il ou elle aime bien la physique-chimie.

Notons M l'événement qu'un ou une élève aime les maths, et P l'événement qu'un ou une élève aime la physique-chimie.

La probabilité qu'un ou une élève aime les mathématiques, sachant qu'il ou elle aime bien la physique-chimie est \(\mathbb{P}(M|P) \).

La formule de probabilités conditionnelles s'écrit donc \(\mathbb{P}(M|P) = \frac{\mathbb{P}(M \cap P)}{\mathbb{P}(P)}\).

Ainsi, \(\mathbb{P}(M|P) = \frac{\frac{15}{40}}{\frac{28}{40}} = \frac{15}{28} = 0{,}54\)

Nous l'avons dit au départ : effectuer des calculs de probabilités est un art en soi. En effet, il y a une vraie panoplie de techniques et d'outils que nous pouvons appliquer afin de calculer une probabilité dans un contexte donné. Nous pouvons également utiliser une loi de probabilité, un arbre de probabilité ou encore appliquer les concepts de dénombrement et combinatoire.

Calculs de probabilités - Points clés

  • Les formules de probabilité suivantes sont les fondamentales et servent dans tout calcul de probabilité :
    • \( \mathbb{P}(\bar{A}) = 1 - \mathbb{P}(A) \)
    • \(\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \)
  • La formule de probabilités conditionnelles, \(\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \), peut également être utile.
  • Si deux événements sont indépendants, \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \).
  • Pour un système complet d'événements, \((B_i)\), la formule des probabilités totales s'écrit : \(\mathbb{P}(A) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A \cap B_i) \).
  • Le théorème de Bayes, \(\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(B|A) \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(A)} \), s'applique à de nombreuses situations de la vie réelle.

Questions fréquemment posées en Calcul de probabilité

Pour calculer la probabilité qu'un événement ou l'autre arrive, nous pouvons d'abord créer un diagramme de Venn pour visualiser le nombre de cas favorables. En fonction des informations que nous avons, nous pouvons également utiliser certaines formules de probabilités. 

Pour calculer la probabilité que les événements A et B arrivent tous les deux, nous pouvons utiliser un diagramme de Venn, une formule spécifique (selon si les événements sont indépendants ou pas) ou un arbre de probabilité. 

Si nous avons une probabilité en pourcentage, nous pouvons convertir ce même pourcentage en une fraction ou un nombre décimal. 

Nous pouvons utiliser la formule des probabilités totales si nous disposons d'un système complet d'événements, c'est-à-dire, une liste d'événements incompatibles dont la réunion est l'univers. 

Évaluation finale de Calcul de probabilité

Question

Si nous connaissons \(\mathbb{P}(A) \), comment pouvons-nous calculer la probabilité de l'événement contraire ?

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Réponse

\( \mathbb{P}(\bar{A}) = 1 - \mathbb{P}(A) \)

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Question

\(\mathbb{P}(A \cup \ B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) \) n'est vrai que si A et B sont des événements ____.

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Réponse

incompatibles

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Question

Quelle formule permet de calculer \(\mathbb{P}(A \ \text{ou} \ B)\) ? 

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Réponse

\[\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \]

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Question

Que signifie \(\mathbb{P}(A|B)\) ?

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Réponse

Il s'agit de la probabilité que A se réalise étant donné que B s'est déjà réalisé. Nous disons « la probabilité de A sachant B ». Elle se note \(\mathbb{P}_{B}(A)\) également.

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Question

Que sont les événements indépendants ?

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Réponse

Deux événements, A et B, sont indépendants s'ils vérifient \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \)

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Question

Considérons l'univers \( \{A, B, C, D\} \). Est-ce que \( \{A, B, D\} \) et \( \{C, D\} \) forment un système complet ?

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Réponse

Non, car \( \{A, B, D\} \) et \( \{C, D\} \) ne sont pas disjoints/incompatibles. 

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Question

La formule des probabilités totales est particulièrement utile si nous souhaitons inverser un arbre pondéré/arbre de probabilités. 

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Réponse

Vrai

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Question

Qu'est-ce que la formule des probabilités totales ?

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Réponse

\[\mathbb{P}(A) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A|B_i) \mathbb{P}(B_i) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A \cap B_i) \] 

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Question

Qu'est-ce que le théorème de Bayes ?

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Réponse

\[\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(B|A) \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)} \] 

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Question

Qu'est-ce que la formule des probabilités conditionnelles ?

Montrer la réponse

Réponse

\[\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \]

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Question

Nous lançons deux dés à la fois. Si les résultats obtenus sont indépendants, quelle est la probabilité d'obtenir deux fois 6 ?

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Réponse

La probabilité d'obtenir 6 avec un dé est \( \frac{1}{6}\). Comme il s'agit d'événements indépendants, la probabilité d'obtenir deux fois 6 est \( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}  \)

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Question

Parmi 30 élèves, 25 étudient l'espagnol et 11 étudient l'allemand. Si chaque élève étudie au moins une des deux langues, quelle est la probabilité qu'un ou une élève étudie les deux ?

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Réponse

Soit A l'événement qu'un ou une élève étudie l'allemand. Soit E l'événement qu'un ou une élève étudie l'espagnol. Comme chaque élève au moins une des deux langues, \(\mathbb{P}(A \cup E) = 1\). De plus, \(\mathbb{P}(A \cap E) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(E) - \mathbb{P}(A \cup E) \). Ainsi, \(\mathbb{P}(A \cap E) = \frac{25}{30} + \frac{11}{30} - 1 = \frac{1}{5} \)

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Question

Parmi 30 élèves, 15 aiment le français et 20 aiment la SVT. Si 11 élèves aiment les deux matières, quelle est la probabilité qu'un ou une élève aime la SVT sachant qu'il ou elle aime le français ?

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Réponse

Soit F l'événement qu'un ou une élève aime l'e français. Soit S l'événement qu'un ou une élève étudie la SVT. La formule de probabilités conditionnelles s'écrit donc \(\mathbb{P}(S|F) = \frac{\mathbb{P}(S \cap F)}{\mathbb{P}(F)}\). Ainsi, \(\mathbb{P}(S|F) = \frac{\frac{15}{30}}{\frac{20}{30}} = \frac{3}{4}\) 

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Question

Des événements incompatibles sont la même chose que des événements indépendants.

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Réponse

Faux

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Question

Pour calculer certaines des probabilités dans certains contextes, nous pouvons utiliser une loi de probabilité ou un arbre de probabilité. 

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Réponse

Vrai

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