Calcul de probabilité

Formules de probabilité

Nous rappelons ici quelques formules de probabilité de base, qui te serviront dans n'importe quel contexte de calcul de probabilités. D'abord, pour événements contraires, nous pouvons utiliser la formule suivante : \[ \mathbb{P}(\bar{A}) = 1 - \mathbb{P}(A) \] Cette formule découle du fait que la somme des probabilités des événements élémentaires vaut \(1\). Cela dit, ne tombe pas dans le piège de penser que \(\mathbb{P}(A \ \text{ou} \ B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) \). Cette égalité n'est vraie que pour des événements incompatibles, qui ne peuvent pas arriver en même temps. Il faut plutôt utiliser la formule : \[\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \] Nous pouvons comprendre facilement cette formule en construisant un diagramme de Venn. Rappelle-toi que la probabilité que l'événement A ou l'événement B se produise (ou les deux) se note \( \mathbb{P}(A \cup B) \) et que la probabilité que tous les deux se produisent se note \( \mathbb{P}(A \cap B) \). Pour cette dernière probabilité, il y a une formule simple en termes de \(\mathbb{P}(A)\) et \(\mathbb{P}(B)\), mais il faut d'abord étudier la théorie des probabilités conditionnelles.

Formule de probabilités conditionnelles

La formule de probabilités conditionnelles s'écrit : \[\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \] Nous pouvons utiliser cette formule, ou encore un arbre de probabilité (aussi appelé arbre pondéré) afin d'effectuer des calculs de probabiltés conditionnelles. Par ailleurs, si l'événement A est indépendant de l'événement B, alors il serait logique que \(\mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A)\). Si nous remplaçons \(\mathbb{P}(A|B)\) avec \(\mathbb{P}(A)\) dans la formule de probabilités conditionnelles, nous obtenons donc \(\mathbb{P}(A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \). La définition des événements indépendants découle de cette définition.

Nous pouvons utiliser la relation ci-dessus pour calculer la probabilité que deux événements indépendants se produisent tous les deux. Nous pouvons également l'utiliser pour démontrer que deux événements sont effectivement indépendants. Plusieurs formules de probabilités exploitent la probabilité conditionnelle. Nous en expliciterons deux : la formule des probabilités totales et le théorème de Bayes.

Formule des probabilités totales

Avant d'énoncer la formule des probabilités totales, nous devons définir ce qu'est un système complet en probabilités.

Si nous disposons d'événements, \((B_i)\), qui forment un système complet, où les indexes \(i\) appartiennent à l'ensemble \(I\), nous pouvons utiliser la formule des probabilités totales : \[\mathbb{P}(A) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A|B_i) \mathbb{P}(B_i) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A \cap B_i) \] Autrement dit, il s'agit de déterminer la probabilité d'un événement en considérant plusieurs événements indépendants. Cette formule est particulièrement utile si nous souhaitons inverser un arbre pondéré. Inverser un arbre pondéré est le procédé de trouver les probabilités d'événements au début d'un arbre de probabilité.

Théorème de Bayes

À l'aide de la formule de probabilité conditionnelle, nous savons calculer la probabilité de A sachant B : \(\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \)

Il en découle que : \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A|B) \mathbb{P}(B) \)

De la même façon, nous calculons la probabilité de B sachant A : \(\mathbb{P}(B|A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)} \)

Nous obtenons une égalité similaire : \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B|A) \mathbb{P}(A) \)

En formant une égalité entre ces deux expressions pour \(\mathbb{P}(A \cap B)\), nous obtenons le théorème de Bayes : \[\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(B|A) \mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)} \] Ce théorème s'applique à de nombreux et divers contextes. Nous pouvons citer la génétique, le dépistage des drogues et encore la traduction automatique à l'aide des logiciels.

Exercices de probabilités

Dans cette section, nous te montrerons comment résoudre quelques exercices de probabilités typiques, en appliquant les différentes formules de probabilité présentées dans ce résumé de cours.