Séries numériques

Imagine qu'une fourmi marche à une vitesse de 1 centimètre par seconde sur une corde de 1 kilomètre. Or, la fourmi étant fatiguée, après une seconde, sa vitesse ralentit à \( \frac{1}{2} cm/s\). Après une seconde de plus, sa vitesse ralentit à \( \frac{1}{3} cm/s \) et ainsi de suite. Tu penses que la fourmi arrivera à l'autre bout de la corde ?

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Table des mateères

    Nous pouvons résoudre ce puzzle en le considérant comme une série numérique. Cet article t'apprendra ce qu'est une série numérique, comment calculer une série numérique et d'autres informations essentielles.

    Séries numériques : cours

    Une série est la somme des termes d'une suite.

    La notation pour une série implique souvent la lettre grecque \( \Sigma \), prononcée « sigma ». Concrètement, la somme des termes \( u_n\) d'une suite indexés sur \( \mathbb{N} \) est notée comme suit :

    \[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} u_n \]

    ou de manière équivalente :

    \[ \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} u_n \]

    Plus formellement, étudier une suite revient à étudier la suite de ses sommes partielles. Comme son nom l'indique, une somme partielle d'une suite est la somme d'un nombre fini de ses termes. On note la somme partielle d'ordre \(k\) de la manière suivante :

    \[ \sum\limits_{n=0}^{k} u_n \]

    Il s'agit de la somme des \(k+1\) premiers termes de la suite.

    Dans cet article, nous utiliserons la convention que \( \mathbb{N}\) inclut \(0\). Si \(0\) n'était pas inclus, la somme partielle d'ordre \(k\) serait plutôt la somme des \(k\) premiers termes de la suite.

    Calcul de séries numériques

    Il n'est pas toujours facile de calculer la valeur d'une série numérique et peut-être qu'elle n'a même pas de valeur bien définie. Néanmoins, pour certains types de suites et leurs séries, il existe des formules simples.

    Somme des termes d'une suite arithmétique

    Pour calculer la somme des \(k\) premiers termes d'une suite arithmétique \(u_n\), nous pouvons utiliser la formule suivante :\[ \sum\limits_{n=0}^{k-1} u_n = \frac{k}{2} (2u_0 + (k-1)r)\] où \(r\) est la raison.

    Calculons la somme des 20 premiers termes de la suite \(1, 1{,}5, 2, ... \)

    Ici, \(k = 20\), \(u_0 = 1\), et \(r = 0{,}5\). Donc, \[ \sum\limits_{n=0}^{19} u_n = \frac{20}{2} (2\times 1 + 19 \times 0,5) = 115 \]

    Garde à l'esprit que la somme de tous les termes d'une suite arithmétique (à part \(0, 0, 0, ... \)) est soit \( \infty \), soit \( - \infty \) en fonction du signe de la raison.

    Somme des termes d'une suite géométrique

    Pour calculer la somme des \(k\) premiers termes d'une suite géométrique \(u_n\), nous pouvons utiliser la formule suivante :\[ \sum\limits_{n=0}^{k-1} u_n = \frac{u_0(1 - r^{k})}{1 - r}\] où \(r\) est la raison.

    Si la raison d'une suite géométrique vérifie \( -1 < r < 1 \), alors la somme de tous ses termes est donnée par la formule suivante : \[ \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} u_n = \frac{u_0}{1 - r}\]

    Calculons la somme des termes de la suite \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ... \).

    Ici, \(u_0 = 1\), et \(r = \frac{1}{2}\). Donc, \[ \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} u_n = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\]

    Convergence des séries numériques

    Plus nous avançons en maths, moins nous nous posons de questions sur les valeurs (quelle est la valeur de cette série ?) et plus nous nous posons des questions sur l'existence (est-ce que cette série converge ?).

    Une série est dite convergente si la suite des ses sommes partielles converge. Sinon, nous disons qu'elle diverge.

    Une suite numérique converge s'il existe un nombre fini dont elle se rapproche tandis que son indice augmente. Ce nombre est appelé la limite de la suite.

    La série \(1 + 2 + 3 + ...\) ne converge pas (ou diverge). Si nous continuons à ajouter des nombres positifs sans cesse à une somme de nombres positifs, la limite est forcément \( \infty \).

    Il existe de nombreux critères de convergence, qui servent à déterminer (facilement a priori) si une série converge. La liste ci-dessous n'est pas censée être exhaustive. Il y a énormément de critères de convergence.

    Nom Critère
    Critère de comparaisonSi \((u_n)\) et \((v_n)\) sont deux suites qui vérifient pour tout \(n\) que \(0 \le u_n \le v_n\), alors la convergence de la série \( \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} v_n \) implique la convergence de la série \( \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} u_n \).
    Règle de d'Alembert

    Nous supposons que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \( u_n > 0\) et que \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \) converge vers \(l\).

    • Si \( l < 1\), alors la série converge.
    • Si \( l > 1\), alors la série diverge.
    • Si \( l = 1\), alors nous pouvons pas conclure.
    Règle de Cauchy

    Nous supposons que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \( u_n > 0\) et que \( \sqrt[n]{u_n} \) converge vers \(l\).

    • Si \( l < 1\), alors la série converge.
    • Si \( l > 1\), alors la série diverge.
    • Si \( l = 1\), alors nous ne pouvons pas conclure.
    Règle d'AbelSoient \((a_n)\) et \((u_n)\) deux suites qui vérifient les conditions suivantes :
    • la suite \( A_n = \sum\limits_{k = 0}^{n} a_k \) est bornée ;
    • \( u_n \rightarrow 0 \) ;
    • et \( \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} |u_{n+1} - u_{n}| \).

    Alors, \( \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} a_{n}u_{n} \) converge.

    Séries de Riemann\( \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{n^{\alpha}} \) converge si et seulement si \( \alpha > 1 \).

    À part la convergence « classique », il y a d'autres types de convergence pour les séries numériques, notamment la convergence absolue.

    Une série est absolument convergente si la somme des valeurs absolues de ses termes est un nombre fini. Plus précisément, la série \( \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} u_n \) est absolument convergente si \( \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} |u_n| \).

    La convergence absolue implique la convergence « classique », mais la convergence « classique » n'implique pas la convergence absolue.

    Séries numériques : exemples

    La série de terme général \( \frac{2^{n}}{n} \) est divergente.

    Nous allons appliquer le critère de d'Alembert. \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{n+1}}{\frac{2^{n}}{n}} = 2 \frac{n}{n+1} \] Cette expression a pour limite \(2\) donc elle diverge.

    La série de terme général \( \frac{sin(n)}{n^2} \) est convergente.

    D'abord, remarque que \( \frac{sin(n)}{n} \leq \frac{1}{n^2} \). Comme il s'agit d'une série de Riemann avec \( \alpha > 1 \), \( \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{n^2} \) converge. Finalement, par comparaison, \( \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \frac{sin(n)}{n^2} \) converge.

    Série harmonique

    La série harmonique est la somme des inverses des entiers positifs non-nuls, à savoir \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}, ... \).

    La série harmonique est une série particulièrement intéressante. Même si son terme général tend vers 0, la série harmonique diverge. \[1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) + ... \] \[> 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) \] \[= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + ... \]Comme le dernier membre à gauche diverge, par le critère de comparaison, la série harmonique diverge.

    Séries numériques - Points clés

    • Une série est la somme des termes d'une suite.
    • Il existe des formules spécifiques pour calculer les \( k\) premiers termes d'une suite arithmétique ou d'une suite géométrique.
    • Une série est dite convergente si la suite des ses sommes partielles converge.
    • Il y a de nombreux critères de convergence qui nous aident à déterminer si une suite converge ou pas.
    • Même si le terme général de la série harmonique tend vers 0, elle diverge.

    Références

    1. Olivier Bokanowski. « Séries numériques (résumé de cours) » Octobre 2015.
    Questions fréquemment posées en Séries numériques

    Comment calculer la somme d'une série numérique? 

    Il n'est pas toujours facile de calculer la valeur d'une série numérique – et peut-être elle n'a même pas de valeur bien définie. Néanmoins, la somme des n premiers termes dans une suite arithmétique ou géométrique est donnée par une formule simple. 

    Comment étudier la convergence d'une série numérique ? 

    Pour étudier la convergence d'une série, il faut utiliser un des nombreux critères de convergence, par exemple les critères de d'Alembert et de Cauchy.

    Comment étudier la nature d'une série numérique ?

    Étudier la nature d'une série revient à étudier si la série converge ou pas. Il faut donc appliquer des critères de convergence. 

    Comment montrer qu'une série est absolument convergente ? 

    Il faut prendre la valeur absolue de son terme général et ensuite montrer que la série correspondante converge, en utilisant des critères de convergence.

    Pourquoi la série harmonique diverge ? 

    Il y a plusieurs démonstrations de la divergence de la série harmonique. Il y a une démonstration qui regroupe les termes de la série, afin de montrer qu'elle est supérieure à une somme infinie de 1/2. Une autre démonstration compare la suite à l'intégrale correspondante.

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