Imagine qu'une fourmi marche à une vitesse de 1 centimètre par seconde sur une corde de 1 kilomètre. Or, la fourmi étant fatiguée, après une seconde, sa vitesse ralentit à \( \frac{1}{2} cm/s\). Après une seconde de plus, sa vitesse ralentit à \( \frac{1}{3} cm/s \) et ainsi de suite. Tu penses que la fourmi arrivera à l'autre bout de la corde ?
Nous pouvons résoudre ce puzzle en le considérant comme une série numérique. Cet article t'apprendra ce qu'est une série numérique, comment calculer une série numérique et d'autres informations essentielles.
Séries numériques : cours
Une série est la somme des termes d'une suite.
La notation pour une série implique souvent la lettre grecque \( \Sigma \), prononcée « sigma ». Concrètement, la somme des termes \( u_n\) d'une suite indexés sur \( \mathbb{N} \) est notée comme suit :
\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} u_n \]
ou de manière équivalente :
\[ \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} u_n \]
Plus formellement, étudier une suite revient à étudier la suite de ses sommes partielles. Comme son nom l'indique, une somme partielle d'une suite est la somme d'un nombre fini de ses termes. On note la somme partielle d'ordre \(k\) de la manière suivante :
\[ \sum\limits_{n=0}^{k} u_n \]
Il s'agit de la somme des \(k+1\) premiers termes de la suite.
Dans cet article, nous utiliserons la convention que \( \mathbb{N}\) inclut \(0\). Si \(0\) n'était pas inclus, la somme partielle d'ordre \(k\) serait plutôt la somme des \(k\) premiers termes de la suite.
Calcul de séries numériques
Il n'est pas toujours facile de calculer la valeur d'une série numérique – et peut-être qu'elle n'a même pas de valeur bien définie. Néanmoins, pour certains types de suites et leurs séries, il existe des formules simples.
Somme des termes d'une suite arithmétique
Pour calculer la somme des \(k\) premiers termes d'une suite arithmétique \(u_n\), nous pouvons utiliser la formule suivante :\[ \sum\limits_{n=0}^{k-1} u_n = \frac{k}{2} (2u_0 + (k-1)r)\] où \(r\) est la raison.
Calculons la somme des 20 premiers termes de la suite \(1, 1{,}5, 2, ... \)
Ici, \(k = 20\), \(u_0 = 1\), et \(r = 0{,}5\). Donc, \[ \sum\limits_{n=0}^{19} u_n = \frac{20}{2} (2\times 1 + 19 \times 0,5) = 115 \]
Garde à l'esprit que la somme de tous les termes d'une suite arithmétique (à part \(0, 0, 0, ... \)) est soit \( \infty \), soit \( - \infty \) en fonction du signe de la raison.
Somme des termes d'une suite géométrique
Pour calculer la somme des \(k\) premiers termes d'une suite géométrique \(u_n\), nous pouvons utiliser la formule suivante :\[ \sum\limits_{n=0}^{k-1} u_n = \frac{u_0(1 - r^{k})}{1 - r}\] où \(r\) est la raison.
Si la raison d'une suite géométrique vérifie \( -1 < r < 1 \), alors la somme de tous ses termes est donnée par la formule suivante : \[ \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} u_n = \frac{u_0}{1 - r}\]
Calculons la somme des termes de la suite \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ... \).
Ici, \(u_0 = 1\), et \(r = \frac{1}{2}\). Donc, \[ \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} u_n = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\]
Convergence des séries numériques
Plus nous avançons en maths, moins nous nous posons de questions sur les valeurs (quelle est la valeur de cette série ?) et plus nous nous posons des questions sur l'existence (est-ce que cette série converge ?).
Une série est dite convergente si la suite des ses sommes partielles converge. Sinon, nous disons qu'elle diverge.
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