C'est peut-être clair pour toi que nous pouvons approximer \(10{,}001\) par \(10\), mais sais-tu comment faire l'appoximation du graphique d'une fonction ? Il y a plusieurs méthodes, mais la plus simple est d'utiliser la tangente. Dans ce résumé de cours, nous donnerons d'abord la définition d'une tangente en un point d'une courbe. Par la suite, nous expliciterons le lien entre la dérivée et la tangente en un point donné, avant d'expliquer la formule pour l'équation de la tangente. Il est également possible de déterminer l'équation d'une tangente graphiquement. Pour terminer, nous détaillerons comment tracer la tangente d'une courbe représentative en un point.
Qu'est-ce-qu'une tangente ?
La tangente d'une courbe en un point est la droite qui touche la courbe en ce point.
Il est bien plus facile de voir ce qu'est une tangente au lieu de comprendre la définition.
Fig. 1 - Des exemples de tangentes
Dans ce graphique, nous observons la courbe représentative de la fonction \(f(x) = 2x^3 + 5x^2 -3\). Il y a également deux tangentes, une en \(x = -2\) et une autre en \(x = 0\).
Il y a un autre type de tangente : il s'agit d'une fonction trigonométrique. Il existe une relation intéressante entre la tangente que nous calculons en trigonométrie et la tangente que nous détaillons ici. Pour en savoir plus, consulte notre résumé de cours sur le cercle trigonométrique.
La dérivée et la tangente
Ici, nous rappelons d'abord des concepts clés de la dérivation qui te seront nécessaires pour déterminer l'équation d'une tangente. Si tu as besoin d'un rappel plus poussé, consulte notre résumé de cours sur les formules de dérivation.
Le taux de variation d'une fonction \(f(x)\) entre \(x = a\) et \(x = a+h\) est \( \tau_h = \frac{f(a+h) -f(a)}{h}\).
Le nombre dérivé d'une fonction \(f(x)\) en \(x = a\) est la limite \(\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \)
La fonction dérivée (ou simplement dérivée) est la fonction \(f'(x)\) qui associe à chaque \(x\) dans l'ensemble de dérivabilité de \(f(x)\) son nombre dérivé.
Le taux de variation est en fait le coefficient directeur (ou pente) de la droite qui passe par les points \((a, f(a))\) et \((a+h, f(a+h))\). De plus, la dérivée quantifie la variation de la fonction en un point donné. Quel lien donc y-a-t-il entre la dérivée et la tangente ? Il faut garder à l'esprit que la dérivée est égale au coefficient directeur de la tangente en un point.
Voici un tableau avec quelques formules que nous utiliserons pour calculer la fonction dérivée.
fonction | dérivée |
\(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
\(e^x\) | \(e^x\) |
\(\ln(x)\) | \(\frac{1}{x}\) |
\(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) |
\(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) |
\(f(x) + g(x)\) | \(f'(x) + g'(x)\) |
\(f(x)g(x)\) | \(f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\) |
\(\frac{f(x)}{g(x)}\) | \(\frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{(g(x))^2}\) |
Considérons la courbe représentative de la fonction \(f(x) = 2x^3 + 5x^2 -3\).
Sa fonction dérivée est \(f'(x) = 6x^2 + 10x\).
Le coefficient directeur (ou pente) de la tangente en \(x = -2\) est donc \(f'(-2) = 6(-2)^2 + 10(-2) = 4\).
Calculer le coefficient directeur d'une tangente est la première étape nécessaire pour déterminer l'équation de la tangente.
Équation de la tangente : formule
Pour déterminer l'équation de la tangente d'une courbe représentative en un point donné, il y a une formule prête à l'emploi. La formule pour l'équation réduite de la tangente de \(f(x)\) en \(x=a\) est donnée par : \[y = f'(a)(x-a) + f(a)\] Voyons maintenant comment l'utiliser avec un exemple concret.
Trouvons la tangente à la courbe \(f(x) = 2x^3 + 5x^2 -3\) en \(x = -2\).
D'abord, nous devons déterminer la dérivée : \(f'(x) = 6x^2 + 10x\)
Calculons la valeur de la fonction en \(x = -2\) : \(f(-2) = 1\)
Calculons la valeur de sa dérivée en \(x = -2\) : \(f'(-2) = 4\)
Nous pouvons maintenant appliquer la formule : \(y = 4(x+2) + 1\)
Enfin, simplifions un peu : \(y = 4x+9\)
À part sa formule, nous pouvons également déterminer l'équation d'une tangente graphiquement.
Déterminer l'équation d'une tangente graphiquement
Pour déterminer l'équation d'une droite quelconque, il nous faut deux points de la droite ou un point et le coefficient directeur. Si nous procédons par lecture graphique, l'idéal serait de lire l'ordonnée à l'origine et la pente. Or, ce n'est pas toujours possible et il faut effectuer des calculs en plus. Nous présentons ici un exemple de comment déterminer l'équation d'une tangente graphiquement.
Fig. 2 - Comment déterminer l'équation d'une tangente graphiquement
À partir de ce graphique, l'ordonnée à l'origine est 2. Pour le coefficient directeur, nous devons lire par combien la droite augmente ou diminue quand nous avançons d'une unité à droite. Ici, si nous déplaçons par 1 unité à droite, nous augmentons par 1 verticalement.
L'équation réduite de la droite est donc \(y = x +2\).
Voyons comment faire dans le cas « non-idéal ».
Fig. 3 - Comment déterminer l'équation d'une tangente graphiquement
Nous devons choisir deux points de la droite pour calculer son coefficient directeur. Ici, nous choisirons \((-2,0)\) et \((-1{,}8,2{,}4)\).
\(\text{coefficient directeur} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \)
\(\text{coefficient directeur} = \frac{2{,}4 - 0}{-1{,}8 - (-2)} = 12\)
Maintenant, nous pouvons substituer le coefficient directeur et le point où la tangente touche la courbe dans sa formule.
\(y = 12(x+2) + 0\)
\(y = 12x + 24\)
Comment tracer une tangente
Pour tracer une droite quelconque, il faut connaître deux points de la droite. Dans le cas d'une tangente, pour expliciter quelle tangente nous considérons, l'énoncé doit nous fournir avec un point. Il faut donc trouver un autre point à l'aide de son équation. Voyons alors un exemple de comment tracer une tangente.
Nous allons montrer comment tracer la tangente de la fonction \(f(x) = 3x^3 + 6x^2\) en \(x = -1\).
Fig. 4 - La courbe représentative de la fonction \(f(x) = 3x^3 + 6x^2\)
Pour déterminer le point où la courbe et la tangente touchent, nous pouvons lire que \(f(-1) = 3\). La courbe et la tangente touchent donc au point \((-1,3)\).
Nous devons ensuite déterminer l'équation de tangente. Pour cela, nous devons déterminer la fonction dérivée.
\(f(x) = 3x^3 + 6x^2\)
\(f'(x) = 9x^2 + 12x\)
Ainsi, nous pouvons déterminer l'équation de la tangente.
\(y = f'(-1)(x+1) + f(-1)\)
\(y = -3(x+1) + 3\)
\(y = -3x\)
Nous pouvons alors déterminer un autre point de tangente. Lorsque \(x =0, y =0\). Nous pouvons donc utiliser les deux points pour tracer la tangente.
Fig. 5 - Comment tracer une tangente
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