Les tremblements de terre, la radioactivité et l'acidité : quel est le point commun entre ces trois choses ? Nous nous servons des logarithmes pour les modéliser. Un logarithme est une opération mathématique très couramment utilisée. Dans ce résumé de cours, nous détaillerons d'abord quelques propriétés du logarithme népérien, ainsi que quelques formules utiles. Nous montrerons ensuite comment effectuer des calculs à l'aide des ces formules. Enfin, nous présenterons la fonction logarithme népérien et sa dérivée.
Les propriétés du logarithme népérien
Prendre le logarithme d'un nombre est l'inverse de le mettre en exposant.
Soit \(a\) un nombre réel strictement positif. Le logarithme de base \(b\) de \(a\), noté \(\log_b a\) est la puissance à laquelle il faut élever \(b\) pour obtenir \(a\).
Sais-tu comment déterminer \(\log_{10} 100\) ?
Comme \(10^2 = 100\), alors \(\log_{10} 100 = 2\).
Similairement, \(\log_4 2= \frac{1}{2}\).
Lorsque la base d'un logarithme est le nombre d'Euler, \(e\), nous écrivons \(\ln\) au lieu de \(\log_e\). Ce logarithme est alors appelé logarithme naturel ou logarithme népérien.
En général, nous calculons le logarithme népérien d'un nombre à l'aide d'une calculatrice. Or, il y a certaines propriétés importantes qui sont utiles dans la simplification d'expressions algébriques :
comme \(e^0 = 1\), nous avons \(\ln 1 = 0\) ;
comme \(e^1 = e\), alors \(\ln e = 1\) ;
\(e^{\ln x} = x\), par définition ;
\(\ln e^x = x\), pour des raisons similaires.
Il faut garder à l'esprit que nous ne pouvons que prendre le logarithme des nombres positifs.
Il y a plusieurs formules utiles qui découlent de ces propriétés.
Le logarithme népérien et ses formules utiles
Il faut connaître certaines formules pour manipuler le logarithme népérien. Heureusement, ces formules sont valables pour les logarithmes de n'importe quelle base. Soient \(x\) et \(y\) des nombres réels strictement positifs, avec \(n\) un nombre entier.
\(\ln \frac{1}{x} = - \ln x \)
\(\ln \sqrt{x} = \frac{1}{2} \ln x \)
\(\ln x^n = n \ln x \)
\(\ln \frac{x}{y} = \ln x - \ln y \)
Toutes ces formules peuvent être déduites de la relation fonctionnelle : \( \ln xy = \ln x + \ln y \).
Démonstration de la relation fonctionnelle du logarithme népérien
La relation fonctionnelle est très simple à démontrer. Soient \(a\) et \(b\) des nombres strictement positifs.
\(e^{\ln xy}\)
\(= xy\)
\(= e^{\ln x} e^{\ln y}\)
\(= e^{\ln x + \ln y}\)
En comparant les exposants au début et à la fin, nous obtenons la relation fonctionnelle du logarithme népérien : \( \ln xy = \ln x + \ln y \).
Il ne suffit pas de connaître ces formules : il faut savoir également comment les utiliser.
Effectuer des calculs avec le logarithme népérien
Dans cette section, nous te montrerons comment utiliser des formules pour effectuer des calculs avec le logarithme népérien.
Peux-tu simplifier \( \ln e^2 - \ln \sqrt{e} \) ?
\( \ln e^2 - \ln \sqrt{e} \)
\(=2 \ln e - \frac{1}{2} \ln e \)
\(=\frac{3}{2} \ln e \)
\(=\frac{3}{2}\)
À part les calculs avec le logarithme népérien, nous pouvons également utiliser des formules pour démontrer certaines relations.
Es-tu capable démontrer que \(\ln(x^2 - y^2) = \ln(x + y) + \ln(x - y)\) ?
\(\ln(x^2 - y^2) \)
\(= \ln(x + y)(x - y)\)
\(= \ln(x + y) + \ln(x - y) \)
N'hésite pas à rafraîchir tes connaissances en matière de factorisation en consultant notre résumé de cours à ce sujet.
Par ailleurs, nous pouvons également considérer la fonction logarithme népérien comme une fonction en soi.
Qu'est-ce que la fonction logarithme népérien ?
La fonction logarithme népérien est la fonction \(f(x)\) définie sur l'ensemble \(]0, +\infty[\) par \(f(x)= \ln x\).
Comme prendre le logarithme d'un nombre est l'inverse de le mettre en exposant, ce n'est pas surprenant que la fonction logarithme népérien soit la bijection réciproque de la fonction exponentielle.
Rappelle-toi que la représentation graphique de la réciproque d'une fonction est sa réflexion dans la droite \(y = x\). Ici, la courbe de la fonction logarithme népérien est la réflexion de la courbe de la fonction exponentielle — et inversement.
Fig. 1 - Les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle
Nous pouvons voir du graphique ci-dessus que la fonction logarithme népérien est une fonction croissante. Or, la croissance de la fonction logarithme népérien est généralement moins vite que les fonctions polynômes et exponentielles croissantes. Cela affecte la manière dont nous traitons des limites.
Croissances comparées avec le logarithme népérien
Lorsque \(x\) tend vers \(0\), \(\ln x\) tend vers \(-\infty\). Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\ln x\) tend vers \(+\infty\). Or, ces propriétés ne suffisent pas pour déterminer des limites qui contiennent la fonction logarithme népérien. Nous devrons nous servir également des propriétés suivantes, souvent appelées les croissances comparées. Pour un entier naturel non nul \(n\) :
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur son ensemble de définition. Quelle est donc sa dérivée ?
Quelle est la dérivée de ln(x) ?
La dérivée du logarithme est la fonction inverse. Autrement dit, si \(f(x) = \ln x\), alors \(f'(x) = \frac{1}{x}\). Penchons-nous alors sur la dérivation des fonctions qui contiennent le logarithme népérien. Un cas de figure qui est très habituel est celui d'un logarithme composé d'un polynôme.
Peux-tu déterminer la dérivée de \(f(x) = \ln(3x^2 + 5x + 1)\) ?
Comme il s'agit d'une fonction composée, nous devons multiplier la dérivée de la fonction « interne » (\(3x^2 + 5x + 1\)) par la dérivée de la fonction « externe » (\(\ln\)).
Nous obtenons ainsi :
\(f'(x) = 6x + 5 \times \frac{1}{3x^2 + 5x + 1}\)
\(f'(x) = \frac{6x + 5}{3x^2 + 5x + 1}\)
En général, si \(u(x)\) est une fonction dérivable et à valeurs positives, alors la dérivée de \(\ln u\) est \(\frac{u'}{u}\).
Logarithme népérien - Points clés
\(\log_b a\) est la puissance à laquelle il faut élever \(b\) pour obtenir \(a\). Lorsque \(b = e\), nous écrivons \(\ln\) et il s'agit alors du logarithme népérien.
Voici quelques propriétés clés du logarithme népérien :
\(\ln 1 = 0\) ;
\(ln e = 1\) ;
\(e^{\ln x} = x\) ;
\(\ln e^x = x\).
Il y a aussi certaines formules qui facilitent le calcul avec le logarithme népérien :
La fonction logarithme népérien est définie sur l'ensemble \(]0, +\infty[\) par \(f(x)= \ln x\). Elle est croissante, continue et dérivable.
La dérivée du logarithme est la fonction inverse. Plus généralement, si \(u(x)\) est une fonction dérivable et à valeurs positives, alors la dérivée de \(\ln u\) est \(\frac{u'}{u}\).
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