Les nombres réels sont fondamentaux en maths et en particulier dans certains de ses sous-domaines, notamment l'analyse. Dans ce cours sur les nombres réels, nous donnerons quelques définitions et exemples des nombres réels et plus d'informations sur l'ensemble des nombres réels.
La définition des nombres réels
Une définition des nombres réels est comme suit : il s'agit des nombres qui ont une représentation décimale infinie, c'est-à-dire qu'il y a un nombre infini de chiffres après la virgule. Voici une autre définition des nombres réels : c'est la collection de tous les nombres compris entre \( +\infty\) et \( -\infty\). Une dernière définition des nombres réels est graphique : il s'agit de tous les nombres sur la droite allant de \( -\infty\) à \( +\infty\).
Exemples de nombres réels
La plupart des nombres que nous utilisons au quotidien sont des nombres réels. Un nombre réel désigne un nombre dont la représentation décimale contient un nombre fini ou infini de chiffres après la virgule. Garde en tête qu'il ne s'agit pas forcément d'un nombre décimal, qui n'a qu'un nombre fini de chiffres après la virgule. Les nombres réels peuvent être positifs ou négatifs. Voici donc quelques exemples de nombres réels : \(0\), \(-1,5\), ¼ et \( \pi \). Attention : \( +\infty\) et \( -\infty\) ne sont pas des exemples de nombres réels. Il y a aussi des nombres complexes qui ne sont pas des exemples de nombres réels, comme \(3 + 4i\).
L'ensemble des nombres réels
L'ensemble des nombres réels est la réunion des ensembles de nombres rationnels et de nombres irrationnels. Par contre, \( +\infty\) et \( -\infty\) ne sont pas compris dans l'ensemble des nombres réels.
Un nombre rationnel est un type de nombre réel qui peut s'écrire comme le rapport de deux nombres entiers. En d'autres termes, il peut s'écrire sous la forme d'une fraction. Autrement dit, un nombre rationnel est de la forme \( \frac{p}{q} \), où \(p\) et \(q\) sont des nombres entiers, \(q\) étant non nul. Le symbole pour l'ensemble des nombres rationnels est désigné par \( \mathbb{Q} \). Un nombre rationnel n'est un nombre décimal que si sa représentation décimale contient un nombre fini de chiffres.
Un nombre irrationnel est un type de nombre réel qui ne peut pas s'écrire comme le rapport de deux nombres entiers. Dans sa forme décimale, un nombre irrationnel a un nombre infini de chiffres après la virgule sans motif répétitif. Nous disposons de plusieurs symboles pour l'ensemble des nombres rationnels : \( \mathbb{Q}' \), \( \mathbb{R}\) \ \(\mathbb{Q} \), \( \mathbb{I} \).
C'est clair que l'ensemble des nombres réels contient un nombre infini d'éléments. Il en est de même pour les ensembles des rationnels et des irrationnels. Mais, est-ce que ces trois ensembles contiennent le même nombre d'éléments ? La réponse est non : l'ensemble des nombres réels contient beaucoup plus de nombres irrationnels que de nombres rationnels. Une explication est fournie par le champ de mathématiques avancé qui s'appelle la théorie de la mesure.
Le symbole pour les nombres réels
Il y a des symboles pour les différents ensembles de nombres. Ces symboles sont basés sur le nom de l'ensemble. Par exemple, \( \mathbb{N} \) pour les entiers naturels et \( \mathbb{R} \) pour les nombres réels. Voici la liste des symboles pour les ensembles de nombres plus courants en maths :
Le symbole pour les entiers naturels est \( \mathbb{N} \).
Le symbole pour les nombres entiers est \( \mathbb{Z} \).
Le symbole pour les nombres rationnels est \( \mathbb{Q} \).
Le symbole pour les nombres réels est \( \mathbb{R} \).
Le symbole pour les nombres complexes est \( \mathbb{C} \).
Les nombres réels en maths
En maths, les nombres réels disposent de quelques propriétés importantes : la commutativité, l'associativité, et la distributivité et ses lois de composition internes.
La commutativité
Le produit et la somme de deux nombres réels sont la même si nous changeons l'ordre dans lequel nous effectuons la multiplication ou l'addition. Cela s'appelle la commutativité. En langage mathématique, si a, \(b\) ∈ \( \mathbb{R} \) , alors \(a + b = b + a\) et \(a \times b = b \times a\).
Si \(a = 0,25\) et \(b = 6\),
Alors \(0,25 + 6 = 6 + 0,25\)
\(6,25 = 6,25\)
Similairement, \(0,25 \times 6 = 6 \times 0,25\)
\(1,5 = 1,5\)
L'associativité
Le produit ou la somme de trois nombres réels reste la même si nous changeons le groupement des nombres.
En d'autres termes, si \(a\), \(b\), \(c\) ∈ \( \mathbb{R} \) , alors \(a + (b + c) = (a + b) + c\) et \(a \times (b \times c) = (a \times b) \times c\).
Si \(a = 0,5\), \(b = 2\) et \(c = 0\),
Alors \(0,5 + (2 + 0) = (0,5 + 2) + 0\)
\(2,5 = 2,5\)
Similairement \(0,5 \times (2 \times 0) = (0,5 \times 2) \times 0\)
\(0 = 0\)
La distributivité
On exprime la distributivité des nombres réels \(a\), \(b\) et \(c\) avec l'égalité suivante : \(a \times(b + c) = (a \times b) + (a \times c)\). Il est également vrai que \(a × (b - c) = (a × b) - (a × c)\). Ces deux égalités sont quand même équivalentes car dans la première, nous pourrions remplacer \(c\) avec \(-c\) pour obtenir la deuxième et inversement.
Si \(a = 19\), \(b = 8,11\) et \(c = 2\),
Alors \(19\times (8,11 + 2) = (19 \times 8,11) + (19 \times 2)\)
\(19 \times\) \(10,11 =\) \(154,09 + 38\)
\(192,09 = 192,09\)
Similairement \(19 \times (8,11 - 2)\) \(= (19 \times 8,11)\) \(- (19 \times 2)\)
\(19 \times 6,11 = 154,09 - 38\)
\(116,09 = 116,09\)
Les lois de composition internes
Une loi de composition prend deux éléments des deux ensembles et fournit un élément d'un de ces deux ensembles. C'est un peu comme une fonction. Il s'agit d'une loi de composition interne si les deux éléments viennent du même ensemble. Appliqué au contexte des nombres réels, cela veut dire que le produit et la somme de deux nombres réels est toujours un nombre réel. Autrement, si \(a\), \(b\) ∈ \( \mathbb{R} \) , alors \(a + b\) ∈ \( \mathbb{R} \) , et \(ab\) ∈ \( \mathbb{R} \) .
Nombre réel - Points clés
- Les nombres réels sont des nombres compris entre \( +\infty\) et \( -\infty\).
- L'ensemble des nombres réels comportent des nombres rationnels et des nombres irrationnels.
- Le symbole pour les nombres réels est \( \mathbb{R} \).
- Les nombres réels en maths ont de nombreuses propriétés importantes, notamment la commutativité, l'associativité et la distributivité.
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