Nombre réel

Exemples de nombres réels

La plupart des nombres que nous utilisons au quotidien sont des nombres réels. Un nombre réel désigne un nombre dont la représentation décimale contient un nombre fini ou infini de chiffres après la virgule. Garde en tête qu'il ne s'agit pas forcément d'un nombre décimal, qui n'a qu'un nombre fini de chiffres après la virgule. Les nombres réels peuvent être positifs ou négatifs. Voici donc quelques exemples de nombres réels : \(0\), \(-1,5\), ¼ et \( \pi \). Attention : \( +\infty\) et \( -\infty\) ne sont pas des exemples de nombres réels. Il y a aussi des nombres complexes qui ne sont pas des exemples de nombres réels, comme \(3 + 4i\).

L'ensemble des nombres réels

L'ensemble des nombres réels est la réunion des ensembles de nombres rationnels et de nombres irrationnels. Par contre, \( +\infty\) et \( -\infty\) ne sont pas compris dans l'ensemble des nombres réels.

Un nombre rationnel est un type de nombre réel qui peut s'écrire comme le rapport de deux nombres entiers. En d'autres termes, il peut s'écrire sous la forme d'une fraction. Autrement dit, un nombre rationnel est de la forme \( \frac{p}{q} \), où \(p\) et \(q\) sont des nombres entiers, \(q\) étant non nul. Le symbole pour l'ensemble des nombres rationnels est désigné par \( \mathbb{Q} \). Un nombre rationnel n'est un nombre décimal que si sa représentation décimale contient un nombre fini de chiffres.

Un nombre irrationnel est un type de nombre réel qui ne peut pas s'écrire comme le rapport de deux nombres entiers. Dans sa forme décimale, un nombre irrationnel a un nombre infini de chiffres après la virgule sans motif répétitif. Nous disposons de plusieurs symboles pour l'ensemble des nombres rationnels : \( \mathbb{Q}' \), \( \mathbb{R}\) \ \(\mathbb{Q} \), \( \mathbb{I} \).

Le symbole pour les nombres réels

Il y a des symboles pour les différents ensembles de nombres. Ces symboles sont basés sur le nom de l'ensemble. Par exemple, \( \mathbb{N} \) pour les entiers naturels et \( \mathbb{R} \) pour les nombres réels. Voici la liste des symboles pour les ensembles de nombres plus courants en maths :

• Le symbole pour les entiers naturels est \( \mathbb{N} \).

• Le symbole pour les nombres entiers est \( \mathbb{Z} \).

• Le symbole pour les nombres rationnels est \( \mathbb{Q} \).

• Le symbole pour les nombres réels est \( \mathbb{R} \).

• Le symbole pour les nombres complexes est \( \mathbb{C} \).

Les nombres réels en maths

En maths, les nombres réels disposent de quelques propriétés importantes : la commutativité, l'associativité, et la distributivité et ses lois de composition internes.

La commutativité

Le produit et la somme de deux nombres réels sont la même si nous changeons l'ordre dans lequel nous effectuons la multiplication ou l'addition. Cela s'appelle la commutativité. En langage mathématique, si a, \(b\) ∈ \( \mathbb{R} \) , alors \(a + b = b + a\) et \(a \times b = b \times a\).

L'associativité

Le produit ou la somme de trois nombres réels reste la même si nous changeons le groupement des nombres.

En d'autres termes, si \(a\), \(b\), \(c\) ∈ \( \mathbb{R} \) , alors \(a + (b + c) = (a + b) + c\) et \(a \times (b \times c) = (a \times b) \times c\).

La distributivité

On exprime la distributivité des nombres réels \(a\), \(b\) et \(c\) avec l'égalité suivante : \(a \times(b + c) = (a \times b) + (a \times c)\). Il est également vrai que \(a × (b - c) = (a × b) - (a × c)\). Ces deux égalités sont quand même équivalentes car dans la première, nous pourrions remplacer \(c\) avec \(-c\) pour obtenir la deuxième et inversement.