\(\{\text{Lille}, \text{Marseille}, \text{Paris}\}\), \(\{2,5,8\}\). Quel lien y-a-t-il entre ces deux listes ? Aucun, mais ils sont tous
les deux, des ensembles mathématiques. Un ensemble mathématique est une collection de différents éléments qui partagent souvent des aspects similaires. Dans ce résumé de cours, nous expliquerons d'abord les diagrammes de Venn, un outil clé pour comprendre les liens entre des ensembles mathématiques. Par la suite, nous détaillerons les concepts centraux en lien avec les ensembles : les sous-ensembles, le complémentaire, l'intersection et la réunion. Enfin, nous aborderons les lois de Morgan, qui établissent des relations entre le complémentaire, l'intersection et la réunion.
Comprendre un diagramme de Venn
Un diagramme de Venn est un moyen simple d'illustrer les liens entre différents ensembles mathématiques. Il est constitué d'un rectangle qui représente l'univers, et d'un ou plusieurs cercles, qui représentent les ensembles.
L'univers est l'ensemble qui contient tous les éléments que nous considérons dans un contexte donné. Nous utilisons U ou la lettre grecque \(\varepsilon\) (prononcée « epsilon ») pour représenter l'univers.
Dans un diagramme de Venn, nous pouvons également noter les éléments des ensembles mathématiques considérés.
Comprends-tu ce diagramme de Venn ?
Fig. 1 - Comprendre un diagramme de VennDans ce diagramme, il y a deux ensembles \(A\) et \(B\).
L'ensemble \(A\) contient les éléments \(2\), \(4\) et \(6\). L'ensemble \(B\) contient les éléments \(2\), \(3\) et \(5\).
Les deux ensembles contiennent l'élément \(2\).
L'élément \(1\) n'est contenu dans aucun de ces deux ensembles, mais il est contenu dans l'univers.
Dans le diagramme de Venn ci-dessus les ensembles \(A\) et \(B\) sont des sous-ensembles, ou parties, de l'univers. Sais-tu ce qu'est un sous-ensemble ?
Identifier des sous-ensembles
Un ensemble contient plusieurs éléments. Pour dire qu'un élément appartient à un ensemble donné, nous utilisons le symbole \( \in \).
Considère l'ensemble \(A = \{0,1,2,3\}\).
Comme l'élément \(0\) appartient à \(A\), nous pouvons écrire \( 0 \in A\). En revanche, comme \(10\) n'appartient pas à \(A\), nous devons plutôt écrire \( 10 \notin A\).
Parfois, les différents éléments d'un ensemble sont séparés par un point-virgule (;) au lieu d'une virgule (,).
Un sous-ensemble d'un ensemble \(E\), aussi appelé partie, est un ensemble qui ne contient que des éléments de \(E\).
Considère l'ensemble \(E = \{1,2,3,4,5\}\).
\(\{1, 2\}\) et \(\{5\}\) sont des sous-ensembles de E. Par contre, \(\{0, 1, 2\}\) n'est pas un sous-ensemble de E, car \(\{0, 1, 2\}\) contient \(0\), qui n'est pas un élément de \(E\).
Les ensembles de nombres, tels que les entiers naturels, les nombres entiers et les nombres réels sont des exemples importants de sous-ensembles. En effet, l'ensemble des entiers naturels est un sous-ensemble de l'ensemble des nombres entiers, qui est lui-même une partie des nombres réels. Pour aller encore plus en profondeur, consulte nos résumés de cours sur ces sujets en cliquant les liens.
Si \(F\) est un sous-ensemble de \(E\), nous pouvons dire que \(F\) est inclus dans \(E\) et nous notons \(F \subset E\) ou \(F \subseteq E\). Cette dernière notation implique que \(F\) peut être égal à \(E\).
Deux ensembles sont égaux s'ils contiennent les mêmes éléments.
Pour n'importe quel ensemble, l'ensemble lui-même et l'ensemble vide sont des sous-ensembles.
L'ensemble vide est l'ensemble qui ne contient aucun élément. Il est noté \(\varnothing\).
L'ensemble vide est le complémentaire de tout ensemble dans lui-même. Abordons maintenant ce qu'est le complémentaire d'un ensemble.
Qu'est-ce que le complémentaire d'un ensemble ?
Si \(F\) est un sous-ensemble (ou partie) de \(E\), le complémentaire de \(F\) est l'ensemble des éléments qui appartiennent à \(E\), mais pas à \(F\). Il y a plusieurs façons de noter le complémentaire d'un ensemble : \(F^c\), \(\bar{F}\), \(F'\), \(E \setminus F\), \(C_E F\) et bien d'autres.
Attention : \(E/F\) a une signification différente de \(E \setminus F\). \(E/F\) est un concept des mathématiques avancées, appelé ensemble quotient.
Fig. 2 - Le complémentaire de l'ensemble A dans l'univers
Considère l'ensemble \(E = \{1,2,3,4,5\}\) et un de ses sous-ensembles \(F = \{1,2,3\}\). Sais-tu déterminer le complémentaire de \(F\) dans \(E\) ?
Le complémentaire de \(F\) contient les éléments de \(E\), qui ne sont pas dans \(F\). Ainsi, \(F^c = \{4,5\}\).
Deux concepts similaires au complémentaire d'un ensemble sont ceux d'intersection et de réunion.
Qu'est-ce que l'intersection de deux ensembles ?
L'intersection de deux ensembles est l'ensemble qui contient les éléments qui appartiennent aux deux ensembles. L'intersection des ensembles \(A\) et \(B\) se note \(A \cap B \).
Fig. 3 - L'intersection des ensembles A et B
Peux-tu déterminer l'intersection des ensembles \(A = \{2,4,6,8,10,12\}\) et \(B = \{3,6,9,12\}\) ?
L'intersection de ces ensembles contient les éléments de \(A\) qui sont également dans \(B\). Ainsi, \(A \cap B = \{6, 12\} \)
La réunion — ou union — de deux ensembles est l'ensemble qui contient tous les éléments des deux ensembles. La réunion des ensembles \(A\) et \(B\) se note \(A \cup B \).
Fig. 4 - La réunion de deux ensembles A et B
Peux-tu déterminer l'union des ensembles \(A = \{1,2,4,7\}\) et \(B = \{1,2,3,5\}\) ?
L'union de ces ensembles contient tous les éléments de \(A\) et de \(B\). Ainsi, \(A \cup B = \{1,2,3,4,5,7\} \)
Quel est le complémentaire de la réunion de deux ensembles ? Qu'en est-il de l'intersection ? La réponse est fournie par les lois de Morgan.
Comprendre les lois de Morgan
Les lois de Morgan (aussi appelées lois de De Morgan ou théorème de Morgan) sont des formules portant sur les complémentaires de l'intersection ou de l'union de deux ensembles : \[ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \] \[ (A \cap B)^c = A^c \cup B^c \] Ces lois sont particulièrement utiles pour calculer des probabilités ou établir des liens logiques.
Considère l'ensemble de personnes qui ont des yeux verts ET des cheveux bruns. Son complémentaire est l'ensemble de personnes qui n'ont pas les yeux verts OU qui n'ont pas les cheveux bruns.
Ensembles mathématiques - Points clés
- Un diagramme de Venn permet d'illustrer des ensembles mathématiques et leurs éléments.
- Un sous-ensemble d'un ensemble \(E\), aussi appelé partie, est un ensemble qui ne contient que des éléments de \(E\).
- Si \(F\) est un sous-ensemble de \(E\), le complémentaire de \(F\), \(F^c\) est l'ensemble des éléments qui appartiennent à \(E\), mais pas à \(F\).
- L'intersection des ensembles \(A\) et \(B\) s'écrit \(A \cup B \). Elle est l'ensemble qui contient les éléments qui appartiennent aux deux ensembles.
- La réunion (ou union) des ensembles \(A\) et \(B\) s'écrit \(A \cup B \). Elle est l'ensemble qui contient tous les éléments des deux ensembles.
- Les lois de Morgan sont des formules pour les complémentaires de l'intersection ou de l'union de deux ensembles : \[ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \] \[ (A \cap B)^c = A^c \cup B^c \]
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