Les nombres entiers constituent une partie importante des mathématiques. Ils sont utilisés pour représenter des quantités qui ne peuvent pas être fractionnées, comme le nombre d'objets dans un ensemble. Les nombres entiers jouent également un rôle important dans notre vie quotidienne. Nous les utilisons pour compter l'argent, mesurer les distances et lire l'heure. Les nombres entiers sont une partie essentielle de notre système numérique, et ils constituent une base solide pour des concepts mathématiques plus avancés.
Dans ce résumé de cours, nous aborderons la définition des nombres entiers, en mettant en lumière les notions d'entiers relatifs et d'entiers naturels, ainsi que la notion d'entiers consécutifs. Nous illustrerons ces concepts à l'aide de nombreux exemples concrets, afin de faciliter la compréhension des différentes règles mathématiques qui s'y rapportent.
Définition des nombres entiers
Un nombre entier est un nombre qui peut être exprimé sans virgule. Autrement dit, c'est un nombre qui peut être inférieur, supérieur ou égal à zéro et qui n'a pas de virgule. Les nombres entiers sont les nombres naturels, qui sont les nombres {0, 1, 2, 3, ...}, ainsi que leurs opposés {..., -3, -2, -1}. Le zéro est considéré comme un nombre entier.
Un exemple de nombre entier serait 7 car il peut être exprimé sans utiliser de virgule. Les nombres entiers sont parfois appelés entiers relatifs.
Nombres entiers relatifs
Les nombres entiers ou entiers relatifs peuvent être générés à partir de l'ensemble des nombres naturels et de l'opération de soustraction. Par exemple, lorsque tu soustrais un nombre entier positif plus grand d'un plus petit, tu obtiens un nombre négatif.
Le résultat de l'addition, de la soustraction ou de la multiplication de nombres entiers est toujours un nombre entier. Par contre, ce n'est pas le cas de la division. En divisant 5 par 2, on obtient 2,5, ce qui n'est pas un nombre entier.
L'ensemble des nombres entiers ou entiers relatifs est désigné par Z, qui s'écrit Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}. Z a un nombre infini d'éléments.
Nombres entiers naturels
Les nombres entiers positifs sont appelés entiers naturels. Une caractéristique importante des entiers naturels peut être observée dans l'équation a + x = b, avec a et b positifs. Celle-ci n'a de solution que si b > a, car leur addition produira un nombre plus grand. Dans l'ensemble des nombres entiers, l'équation a + x = b aura toujours une solution.
Le symbole de l'ensemble des entiers naturels est N. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}.
Exemples de nombres entiers
Les nombres entiers permettent de saisir des valeurs dans tous les domaines.
Dans les prévisions météorologiques, ils peuvent être utilisés pour indiquer la température dans différentes régions. Lorsque les températures peuvent descendre en dessous de zéro dans les échelles Fahrenheit et Celsius, les nombres entiers seront négatifs.
Les nombres entiers sont utilisés pour représenter les valeurs dans toutes les transactions que nous effectuons, des banques aux distributeurs automatiques de billets.
Nombres entiers consécutifs
Les nombres entiers consécutifs sont des nombres entiers qui se suivent dans une séquence sans discontinuité. Ils représentent une séquence ininterrompue de nombres où l'un suit l'autre par l'addition de un. Si nous avons x comme nombre entier, alors x + 1 et x + 2 seront les deux nombres entiers consécutifs. Ces nombres sont dans l'ordre croissant, et quelques exemples sont :
{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2...}
{200, 201, 202, 203, 204, 205...}
{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}
{-13, -12, -11, -10, -9, -8, -7...}
Supposons que tu dois résoudre une équation mathématique sachant que la somme de deux entiers consécutifs est 97. Quels sont ces deux nombres entiers ?
Réponse :
Supposons que le premier nombre entier soit x. Nous savons, d'après la description d'un nombre entier consécutif, que le second doit être x + 1. Nous pouvons écrire une équation pour cela.
x + (x + 1) = 97
2x + 1 = 97
2x = 97 - 1
x = 48
Cela signifie que le premier nombre entier est 48. Et le deuxième sera 48 + 1, ce qui donne 49.
Nombres entiers impairs consécutifs
Il s'agit d'entiers impairs qui se suivent mais qui diffèrent par deux. Lorsque x est un nombre entier impair, les nombres entiers impairs consécutifs sont x + 2, x + 4, x + 6. Voici quelques exemples :
{5, 7, 9, 11, 13...}
{-7, -5, -3, -1, 1..}
Nombres entiers pairs consécutifs
Il s'agit d'entiers pairs qui se suivent mais diffèrent par deux. Lorsque x est un nombre entier pair, les nombres entiers pairs consécutifs sont x + 2, x + 4, x + 6. Voici quelques exemples :
{2, 4, 6, 8, 10, 12..}
{-10, -8, 6, 4..}
Règles des nombres entiers pour les opérations mathématiques
Il est utile d'apprendre les règles relatives aux nombres entiers dans les opérations mathématiques.
Addition de nombres entiers
L'addition de deux nombres entiers positifs donne toujours un nombre entier positif.
L'addition de deux nombres entiers négatifs donne toujours un nombre entier négatif.
L'addition d'un entier positif et d'un entier négatif te donnera un nombre positif si l'entier positif est plus grand, et un nombre négatif si le nombre entier négatif est plus grand.
Multiplication de nombres entiers
Le produit d'un nombre entier positif et d'un nombre entier négatif donnera toujours un nombre entier négatif.
Le produit de deux nombres entiers positifs donnera toujours un nombre entier positif.
Le produit de deux nombres entiers négatifs donnera toujours un nombre entier positif.
Division de nombres entiers
La division de deux nombres entiers positifs donnera toujours une valeur positive.
La division de deux nombres entiers négatifs donnera toujours une valeur positive.
La division d'un nombre entier négatif par un nombre entier positif donne une valeur négative, et l'inverse s'applique également.
Exemples d'addition et soustraction de nombres entiers
Prenons quelques exemples pour nous familiariser avec ces opérations.
Sam doit 5 € à son ami Frank. Il va emprunter 3 € supplémentaires, combien devra-t-il en tout ?
Réponse :
C'est assez simple. Nous additionnons les deux et nous savons qu'il doit 8 €. Cependant, on peut l'exprimer mathématiquement comme suit : - 5 € + (- 3 €) = - 8 €, ce qui peut à son tour s'écrire comme suit : - 5 € - 3 € = - 8 €
Cela peut prêter à confusion alors l'utilisation d'une droite numérique rend les choses beaucoup plus faciles.
Droite numérique représentant des additions de nombres entiers
En utilisant ton premier chiffre comme point de référence, recule de trois pas sur la droite des nombres entiers. Alors que les valeurs positives se déplacent vers la droite (en avant), les valeurs négatives se déplacent vers la gauche (en arrière). Et avec notre exemple, nous avons à nouveau - 8 comme réponse.
Disons que Sam finit par rembourser 4 € sur les 8 € qu'il doit. Combien lui reste-t-il à payer ?
Réponse :
Il s'agit d'un autre calcul simple. Intuitivement, nous savons que la réponse est 4 €. Cependant, nous pouvons l'écrire mathématiquement sous la forme - 8 € + 4 € = - 4 €, et tracer à nouveau une droite numérique.
Droite numérique représentant des additions de nombres entiers
En utilisant ton premier chiffre comme référence, avance de quatre pas sur la droite numérique des nombres entiers. Cela montre que - 4 est notre réponse.
Trouve x avec l'équation -3 - (-6) = x
Réponse :
Lorsque deux signes négatifs se rencontrent, comme c'est le cas dans cette équation, ils deviennent tous deux positifs.
Nous avons donc -3 + 6 = x
x = 3
Exemples de multiplication et division de nombres entiers
Examinons des exemples qui démontrent la règle de la multiplication.
Quel est le produit de -3 et de 7 ?
N'oublie pas que le produit d'un nombre entier positif et d'un nombre entier négatif sera un nombre négatif.
Quel est le produit de 5 et 4 ?
Comme nous l'avons mentionné, le produit de deux nombres entiers positifs sera un nombre positif, dans ce cas 20.
Quel est le produit de -6 et -8 ?
Divise 16 par 8
Rappelle-toi que la division de deux nombres entiers positifs te donnera un nombre entier positif.
Divise - 28 par - 4
Les nombres entiers - Points clés
Les nombres entiers sont des nombres sans virgule qui sont soit positifs, soit nuls, soit négatifs.
Le résultat de l'addition, de la soustraction ou de la multiplication de nombres entiers est toujours un nombre entier.
Les nombres entiers consécutifs sont des nombres entiers qui se suivent dans une séquence ou dans un ordre sans discontinuité.
L'ensemble des nombres entiers est désigné par Z.
Ce n'est pas toujours possible d'avoir un nombre entier lorsque nous divisons deux nombres entiers.
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Questions fréquemment posées en nombres entiers
C'est quoi un nombre entier?
Un nombre entier est un nombre qui peut être exprimé sans virgule. Autrement dit, c'est un nombre qui peut être inférieur, supérieur ou égal à zéro et qui n'a pas de virgule. Les nombres entiers sont les nombres naturels, qui sont les nombres {0, 1, 2, 3, ...}, ainsi que le négatif des nombres naturels {..., -3, -2, -1}. Le zéro est considéré comme un nombre entier.
Quels sont les nombres entiers?
Les nombres entiers sont Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Est-ce que zéro est un nombre entier?
Oui, zéro est un nombre entier.
Quels sont les 10 premiers entiers naturels?
Les 10 premiers entiers naturels sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Pourquoi les nombres relatifs sont-ils appelés ainsi?
Les nombres relatifs sont appelés ainsi car ils sont en rapport avec un autre nombre. Par exemple, si on a un nombre relatif de -5, il est en rapport avec le nombre zéro et est donc cinq nombres en dessous de zéro.
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