Nombre dérivé

Savais-tu que la pente d'une droite peut nous donner des informations importantes ? C'est pareil pour d'autres courbes représentatives. Or, au lieu d'étudier la pente d'une courbe, il faut plutôt considérer le nombre dérivé en un point. Dans ce résumé de cours, nous allons d'abord rappeler ce qu'est le coefficient directeur d'une droite. Par la suite, nous présenterons le concept du taux d'accroissement, fondamental pour parler des nombres dérivés. Après, nous détaillerons le lien entre un nombre dérivé et la tangente, le coefficient directeur d'une tangente et comment effectuer la lecture graphique du nombre dérivé.

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    Coefficient directeur d'une droite

    Le coefficient directeur d'une droite est la pente de la droite. Il est particulièrement utile en physique pour en déduire les valeurs d'autres quantités physiques. Plus le coefficient directeur est élevé, plus la pente est raide. Si le coefficient directeur est négatif, alors la droite descend.

    Nombre dérivé Coefficient directeur StudySmarterFig. 1 - La droite bleue a un coefficient directeur supérieur à celui de la droite verte ; la droite rouge a un coefficient directeur négatif.

    Pour calculer le coefficient directeur d'une droite, il faut utiliser la formule suivante : \(\frac{f(x) - f(y)}{x -y}\), où \(x\) et \(y\) sont deux valeurs dans le domaine de définition de \(f\). Seules les droites ont des coefficients directeurs. Pour d'autres types de fonctions, il faut utiliser la dérivation pour obtenir des informations similaires. Pour cela, un premier pas est d'étudier le taux d'accroissement.

    Taux d'accroissement

    Le taux d'accroissement d'une fonction \(f(x)\) entre \(a\) et \(b\) est donné par la formule \( \tau = \frac{f(b) -f(a)}{b - a}\). Il s'agit du coefficient directeur de la droite qui passe par les points \((a, f(a))\) et \((b, f(b))\).

    Peux-tu calculer le taux d'accroissement de la fonction \(f(x) = x^2\) entre \(1\) et \(2\) ?

    \( \tau = \frac{f(2) -f(1)}{2 - 1}\)

    \( \tau = 4 - 1 = 3\)

    Considérons maintenant \(b\) comme une variable. SI \(b\) devient de plus en plus proche de \(a\), nous nous rapprochons du nombre dérivé de la fonction \(f\) en \(a\).

    Qu'est-ce qu'un nombre dérivé ?

    Le nombre dérivé d'une fonction \(f(x)\) en \(x=a\) est la limite \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \]

    Calculons le nombre dérivé de la fonction \(f(x) = x^2\) en \(3\).

    D'abord, calculons le taux de variation entre \(3\) et \(h\) :

    \( \frac{(3+h)^2 -3^2}{h} \)

    \( = \frac{(9 + 6h + h^2) -9}{h} \)

    \( = \frac{6h + h^2}{h} \)

    \( = 6 + h \)

    Quand \(h\) tend vers \(0\), \(\frac{f(3+h) -f(3)}{h} = 6 +h \) tend vers \(6\). Donc, le nombre dérivé de la fonction \(f(x) = x^2\) en \(3\) est \(6\).

    Lien entre un nombre dérivé et la tangente

    Le nombre dérivé d'une fonction en un point donné est le coefficient directeur de la tangente en ce point. Cela découle de la définition du nombre dérivé. Comme expliqué avant, le taux d'accroissement entre deux points correspond au coefficient directeur de la droite qui passe par ces deux points.

    De plus, le nombre dérivé correspond à la limite du taux d'accroissement lorsqu'un des points devient infiniment plus proche de l'autre. Géométriquement, la droite alors considérée est la tangente en ce point.

    Nombre dérivé Lien tangente nombre dérivé StudySmarterFig. 2 Le lien entre un nombre dérivé et la tangente

    Coefficient directeur de la tangente

    Le coefficient directeur de la tangente en un point spécifique est donné par le nombre dérivé de la fonction en ce point. Il est également possible d'évaluer la fonction dérivée en ce point. Pour plus d'informations à ce sujet, consulte le résumé de cours sur les dérivées.

    Peux-tu déterminer le coefficient directeur de la tangente de la courbe représentative de \(f(x) = x^2\) en \(x =1\) ?

    Nous pouvons calculer le nombre dérivé en ce point pour connaître le coefficient directeur de la tangente.

    D'abord, calculons le taux de variation entre \(1\) et \(h\) :

    \( \frac{(1+h)^2 -1^2}{h} \)

    \( = \frac{2h + h^2}{h} \)

    \( = 2 + h \)

    Quand \(h\) tend vers \(0\), le taux d'accroissement tend vers \(0\). Donc, le nombre dérivé de la fonction \(f(x) = x^2\) en \(1\) est \(2\).

    Enfin, le coefficient directeur de la tangente en \(x = 1\) est \(2\).

    Nous pouvons également déterminer le coefficient directeur grâce à la lecture graphique.

    Lecture graphique du nombre dérivé

    Pour faire la lecture graphique du nombre dérivé en un point donné, il faut tracer la tangente à la courbe en ce point et déterminer le coefficient directeur de cette droite. Dans la plupart d'exercices de ce type, la tangente est déjà tracée.

    Peux-tu déterminer le nombre dérivé en \(x = 1\) de la fonction \(\ln x\) (en vert) ?

    Nombre dérivé Lecture graphique StudySmarterFig 3. - Exemple de lecture graphique du nombre dérivé

    Nous devons déterminer le coefficient directeur de la tangente de la fonction en \(x =1\) (en bleu).

    Pour cela, il suffit de lire deux points du graphique et calculer la pente à l'aide de la formule donnée dans la première section. Nous utiliserons les points \((1,0)\) et \((0,-1)\), mais tu peux utiliser d'autres points de la droite.

    \(\frac{0 - (-1)}{1 - 0} = 1\)

    Le nombre dérivé est donc \(1\).

    Nombres dérivés - Points clés

    • Le coefficient directeur d'une droite est la pente de la droite.
    • Le taux d'accroissement d'une fonction \(f(x)\) entre \(a\) et \(b\) est donné par la formule \( \tau = \frac{f(b) -f(a)}{b - a}\).
    • Le nombre dérivé d'une fonction \(f(x)\) en \(x=a\) est la limite \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \).
    • Le nombre dérivé d'une fonction en un point donné est le coefficient directeur de la tangente en ce point.
    • Pour faire la lecture graphique du nombre dérivé en un point donné, il faut tracer la tangente à la courbe en ce point et déterminer le coefficient directeur de cette droite.
    Questions fréquemment posées en Nombre dérivé

    Qu'est-ce qu'un nombre dérivé ?

    Le nombre dérivé d'une fonction \(f(x)\) en \(x=a\) est la limite \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \).

    Comment calculer le nombre dérivé ?

    Pour calculer le nombre dérivé, il faut utiliser la formule suivante : \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \). Il est également possible d'évaluer la fonction dérivée au point donné.

    Comment savoir si un nombre est dérivable ? 

    Un nombre n'est pas dérivable. En revanche, une fonction \(f(x)\)est dérivable en un point \(x=a\) si la limite \(\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \) existe.

    C'est quoi le nombre dérivé ? 

    Le nombre dérivé d'une fonction \(f(x)\) en \(x=a\) est la limite \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \).

    Comment trouver un nombre dérivé ?

    Pour trouver le nombre dérivé, il faut utiliser la formule suivante : \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \). Il est également possible d'évaluer la fonction dérivée au point donné.

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