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Fonctions dérivées
La fonction dérivée d'une fonction \(f(x)\) est notée \(f'(x)\) (prononcée f prime de x). Si \(y = f(x)\), nous pouvons également écrire \( \frac{dy}{dx}\). En physique, s'il s'agit d'une fonction du temps \(x(t)\), nous notons la fonction dérivée \( \dot{x} \).
La fonction dérivée de \(f(x)\) est la fonction qui associe à chaque \(x\) dans l'ensemble de dérivabilité de \(f(x)\) son nombre dérivé. Le nombre dérivé d'une fonction \(f\) dérivable en \(a\) est la limite \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \]
Voici les dérivées de quelques fonctions usuelles.
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(ln(x)\) | \(\frac{1}{x}\) |
| \(sin(x)\) | \(cos(x)\) |
| \(cos(x)\) | \(-sin(x)\) |
Pour les manipuler, il faut quelques formules de dérivation en plus.
Formules de dérivation
Ces formules de dérivation sont plutôt des règles de dérivation. Nous en avons besoins pour pouvoir déterminer les dérivées de fonctions composées. Dans la suite de cette section, \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables et \(x\) est une variable.
La dérivée d'une somme (ou différence) de fonctions est la somme (ou différence) des dérivées : \((u+v)' = u' + v'\)
En revanche, la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : \( (uv)' = u'v + v'u\)
Enfin, la dérivée d'un quotient de fonctions est donnée par la formule suivante : \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - v'u}{v^2}\)
Il faut garder ces formules de dérivation à l'esprit quand nous effectuons la dérivée d'une fonction composée.
Dérivée d'une fonction composée : formule
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions dérivables et \(x\) une variable. La formule suivante nous donne la dérivée d'une fonction composée : \[ f(g(x))' = g'(x) \times f'(g(x)) \]
Autrement dit, nous devons multiplier la dérivée de la fonction interne \(g\) par la dérivée de la fonction externe \(f\). La formule pour la dérivée d'une fonction composée est encore plus parlante sous une autre forme. Si nous avons \(y\), une fonction de variable \(u\), et si \(u\) est une fonction de variable \(x\), alors : \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \]
En effet, nous pouvons imaginer que les deux \(du\) s'annulent, même s'il ne faut pas traiter ces dérivées comme des fractions.
Voyons quelques exemples de comment cette formule fonctionne.
Trouvons la dérivée de \(e^{2x^2 + 5}\).
Suivant la notation utilisée dans la première formule, la fonction interne est \(g = 2x^2 + 5\).
Donc, \(g' = 4x\).
De plus, \((e^g)' = e^g\).
Ainsi, la dérivée de \(e^{2x + 5}\) est \(4x \ e^{2x^2 + 5}\).
En utilisant la seconde formule, nous retrouvons bien le même résultat.
En effet, soit \(y = e^{2x^2 + 5}\) et soit \(u = 2x^2 + 5\).
Nous avons donc \(y = e^u\).
Ainsi, \( \frac{dy}{dx} = e^u \times 4x = 4x \ e^{2x^2 + 5}\).
Trouvons la dérivée de \(ln(cos(x))\).
À l'aide de la première formule, la fonction interne est \(g = cos(x)\).
Donc, \(g' = -sin(x)\).
De plus, \((ln(g))' = \frac{1}{g}\).
Ainsi, la dérivée de \(ln(cos(x))\) est \(\frac{-sin(x)}{cos(x)} = -tan(x)\).
Avec la seconde formule, nous obtenons le même résultat.
Ici, \(y = ln(cos(x)\) et \(u = cos(x)\).
Nous avons donc \(y = ln(u)\).
Ainsi, \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \times - sin(x) = \frac{-sin(x)}{cos(x)} = -tan(x) \).
Dérivée d'une fonction composée : démonstration
Il y a plusieurs démonstrations pour la dérivée d'une fonction composée et quelques-unes font recours à des concepts mathématiques assez avancés. En effet, les mathématiciens et les mathématiciennes ne sont pas toujours d'accord sur certaines démonstrations. Le but d'une démonstration est néanmoins de justifier l'utilisation d'un théorème, d'un corollaire ou d'une formule. Regardons donc une démonstration qui apaisera l'intuition d'une personne « ordinaire ».
D'abord, remarquons une autre définition de la dérivée : \[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \]
En mathématiques, nous utilisons \( \Delta \) pour représenter une variation. \( \Delta x\) est donc la variation en \( x\) et \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) représente une pente.
Si nous disposons de deux fonctions \(y\) et \(u\) dérivables telles que \(y\) est une fonction de \(u\) et \(u\) est une fonction de \(x\), alors nous pouvons écrire par les règles basiques de l'algèbre : \[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \times \frac{\Delta u}{\Delta x} \]
En prenant les limites des deux membres quand \(\Delta x\) tend vers \(0\), nous obtenons :
\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (\frac{\Delta y}{\Delta u} \frac{\Delta u}{\Delta x}) \]
\[ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \times \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} \]
Par définition, \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = \frac{du}{dx}\). Comme \(u\) est dérivable, elle est également continue. Ainsi, si \( \Delta x \to 0 \), alors \( \Delta u \to 0 \) et donc, \( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} = \lim_{\Delta u \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} = \frac{dy}{du}\). En remplaçant, nous obtenons enfin :
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \]
Cette dernière égalité est la formule pour la dérivée pour une fonction composée. Garde à l'esprit que cette démonstration n'est valable que pour des fonctions à une variable. Or, il est quand-même possible de déterminer la dérivée d'une fonction composée à deux variables.
Dérivée d'une fonction composée à deux variables
Il n'est pas beaucoup plus difficile de calculer la dérivée d'une fonction composée à deux variables (ou plus). Cependant, la formule est légèrement différente. Il faut néanmoins avoir quelques connaissances sur les dérivées partielles. Rappelons brièvement ces idées d'une façon informelle.
Il faut d'abord être au clair sur ce qu'est une fonction à plusieurs variables. Voyons quelques exemples.
\(f(x, y, z) = x + y + z\) est une fonction dont l'ensemble de départ est \(\mathbb{R}^3\), car elle prend trois valeurs en entrée et dont l'ensemble d'arrivée est \(\mathbb{R}\), car il y a une seule valeur comme sortie.
\(g(x, y) = \begin{bmatrix} x + y \\ xy \\ xy^2 \\ x^2y \end{bmatrix}\) est une fonction dont l'ensemble de départ est \(\mathbb{R}^2\), car elle prend deux valeurs en entrée et dont l'ensemble d'arrivée est \(\mathbb{R}^4\), car elle nous donne un vecteur avec quatre valeurs.
Pour les fonctions à plusieurs variables, nous n'avons pas de dérivée tout court, mais nous travaillons avec des dérivées partielles.
La dérivée partielle d'une fonction \(f\) par rapport à une variable \(x\) est la dérivée de la fonction, considérant toute autre variable comme une constante. Elle est notée \( \frac{\partial f}{\partial x}\).
Si \(f(x,y) = xy^2\), alors ses dérivées partielles sont :
- \( \frac{\partial f}{\partial x} = y^2\) ;
- \( \frac{\partial f}{\partial y} = 2xy\).
Nous pouvons maintenant aborder la formule pour la dérivée d'une fonction composée à deux variables. Considérons deux fonctions, \( f : \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n\) et \(g : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p \). Soient \(g_k\) les composantes de la fonction \(g\), où \(k \in \lbrace 1, 2, ... , p \rbrace \). De plus, soient \(x_i\) les variables de \(g\), avec \(i \in \lbrace 1, 2, ... , m \rbrace \). Les dérivées de la fonction composée \(f(g(x_1, ... , x_m))\) sont données alors par la formule : \[ \frac{(\partial f(g))_j}{\partial x_i} = \frac{(\partial f(g))_j}{\partial g_1 } \times \frac{\partial g_1}{\partial x_i} + ... + \frac{(\partial f(g))_j}{\partial g_p } \times \frac{\partial g_p}{\partial x_i} \]
Voyons un exemple de comment cela fonctionne.
Considérons la fonction composée \(f(g(x,y))\), où \(f(t_1, t_2) = e^{t_1} cos(t_2)\) et \(g(x, y) = \begin{bmatrix} g_1 (x,y) \\ g_2 (x,y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xy ^2 \\ x - y \end{bmatrix}\), par rapport aux variables \(x\) et \(y\).
\( \frac{\partial f(g)}{\partial x} = \frac{\partial f(g)}{\partial g_1 } \times \frac{\partial g_1}{\partial x} + \frac{\partial f(g)}{\partial g_2 } \times \frac{\partial g_2}{\partial x} \)
Il faut garder à l'esprit que les \(g_i\) prennent la place des \(t_i\) dans la formule pour \(f\).
\( \frac{\partial f(g)}{\partial x} \)
\(= e^{xy^2} cos(x-y) \times y^2 - e^{xy^2} sin(x-y) \times 1 \)
\(= e^{xy^2} (y^2 cos(x-y) - sin(x-y))\)
\( \frac{\partial f(g)}{\partial y} \)
\(= e^{xy^2} cos(x-y) \times 2xy - e^{xy^2} sin(x-y) \times (-1) \)
\(= e^{xy^2} (2xy \ cos(x-y) + sin(x-y)) \)
Dérivée d'une fonction composée - Point clés
- Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions dérivables et \(x\) est une variable, alors la dérivée de leur composition est : \[ f(g(x))' = g'(x) \times f'(g(x)) \]
- Il y a plusieurs démonstrations pour la dérivée d'une fonction composée.
- Nous pouvons également définir la dérivée d'une fonction composée à plusieurs variables : \[ \frac{(\partial f(g))_j}{\partial x_i} = \frac{(\partial f(g))_j}{\partial g_1 } \times \frac{\partial g_1}{\partial x_i} + ... + \frac{(\partial f(g))_j}{\partial g_p } \times \frac{\partial g_p}{\partial x_i} \]
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Questions fréquemment posées en Dérivée d'une fonction composée
Comment on dérive f ◦ g ?
Si f et g sont deux fonctions dérivables, alors la dérivée de f ◦ g est g' x (f' ◦ g)
Comment dériver une fonction en fraction ?
Si u et v sont deux fonctions dérivables, alors la dérivée de u/v est (u'v -v'u)/v2.
Comment donner l'expression de la dérivée d'une fonction ?
Si nous avons une fonction f(x), alors nous pouvons noter sa dérivée comme f'(x). De plus, si y = f(x), nous pouvons noter la dérivée de y par rapport à x comme dy/dx.
Comment trouver la dérivée d'une fonction du second degré ?
Si nous avons une fonction du second degré f(x) = ax2 + bx + c, alors f'(x) = 2ax + b.
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