Tu sais sûrement que les courbes et les droites disposent d'équations qui les définissent. Mais savais-tu qu'il existe une autre façon de définir ces formes géométriques ? Cette autre description est une représentation paramétrique, aussi appelée paramétrage. Dans ce résumé de cours, nous allons présenter en parallèle les équations paramétriques et les équations cartésiennes. Plus précisément, nous examinerons les représentations paramétriques des droites et des plans, ainsi que leurs équations cartésiennes.
Qu'est-ce qu'une équation paramétrique ?
Les équations paramétriques ne sont pas des équations que nous cherchons à résoudre. Comme son nom l'indique, des équations paramétriques utilisent un paramètre afin de définir des formes géométriques, telles que les droites ou les plans. Nous considérons souvent les équations paramétriques lorsque nous traitons un problème issu de la géométrie dans l'espace.
\(\begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases}\) sont les équations paramétriques d'une parabole dans le plan. Le paramètre ici est \(t\). Ces équations tracent la courbe dont les points sont de coordonnées \((t, t^2)\).
\(\begin{cases} x = 3 + 2s \\ y = -s \\ z = 1 \end{cases}\) sont les équations paramétriques d'une droite dans l'espace. Le paramètre ici est \(s\) et les coordonnées des points de cette droite sont \((3 + 2s, -s, 1)\).
À part les équations paramétriques, nous pouvons utiliser les équations cartésiennes pour définir des droites et des plans.
Qu'est-ce qu'une équation cartésienne ?
Contrairement à des équations paramétriques, les équations cartésiennes sont des équations qui relient algébriquement les coordonnées des points d'une forme géométrique, sans utiliser de paramètre et sans être écrites sous forme de système. Il se peut que tu te demandes donc pourquoi nous utilisons des équations paramétriques. En effet, pour certaines formes, en particulier les droites dans l'espace, la représentation paramétrique nous donne des équations plus faciles à manipuler.
\(x - y + 5z + 8 = 0\) est une équation cartésienne d'un plan.
Examinons maintenant les détails pour comprendre la représentation paramétrique.
Comprendre la représentation paramétrique d'une droite
La représentation paramétrique d'une droite passant par le point \((x_0, y_0, z_ 0)\) et avec vecteur directeur est \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\) est \[\begin{cases} x = x_ 0 + ut \\ y = y_0 + vt \\ z = z_0 + wt \end{cases}\]
\(\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -t \\ z = 1 \end{cases}\) est une représentation paramétrique d'une droite. Cette droite passe par le point \((3, 0, 1)\) et son vecteur directeur est \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Nous pouvons déterminer la représentation paramétrique de n'importe quelle forme géométrique. Or, nous travaillons souvent avec les droites et les plans. Il faut donc être en mesure de reconnaître et de manipuler la représentation paramétrique d'une droite.
En utilisant la relation ci-dessus, il est possible de déterminer la représentation paramétrique d'une droite. Or, tu peux aussi obtenir la représentation paramétrique d'une droite à partir de deux points.
Obtenir la représentation paramétrique d'une droite à partir de deux points
Il est possible d'obtenir la représentation paramétrique d'une droite à partir de deux points. En effet, une droite — qu'elle soit dans le plan ou dans l'espace — est entièrement déterminée par deux points. Voici un exemple de comment utiliser deux points d'une droite pour obtenir son équation.
Déterminons une représentation paramétrique de la droite qui passe par les points \((1, -1, 3)\) et \((4,2,0)\).
Un vecteur directeur de cette droite est \(\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 2 - (-1) \\ 0 - 3 \end{pmatrix}\) \(= \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ - 3 \end{pmatrix}\).
Comme \(\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ - 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) \(= \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ - 3 \end{pmatrix}\) et \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) sont colinéaires. Tu peux donc aussi utiliser \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) comme vecteur directeur.
Une représentation paramétrique de la droite est donc \(\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 + t \\ z = 3 - t \end{cases}\).
En utilisant l'autre point donné, tu obtiens une autre représentation paramétrique de la droite : \(\begin{cases} x = 4 + t \\ y = 2 + t \\ z = - t \end{cases}\).
Voyons maintenant des aspects clés concernant la représentation paramétrique d'un plan.
Déterminer la représentation paramétrique d'un plan
Pour définir un plan, nous pouvons utiliser un point sur le plan \((x_0, y_0, z_0)\), ainsi que deux vecteurs directeurs non-colinéaires \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} u' \\ v' \\ w' \end{pmatrix}\). Pour \(t,t' \in \mathbb{R}\), la représentation paramétrique d'un plan prend la forme \[\begin{cases} x = x_0 + ut + u't' \\ y = y_0 + vt + v't' \\ z = z_0 + wt + w't' \end{cases}\]
Sais-tu déterminer la représentation paramétrique du plan dont les vecteurs directeurs sont \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\), sachant que \((1, 3, -2)\) est un point du plan ?
La représentation paramétrique de ce plan est \(\begin{cases} x = 1 + 2t -3t' \\ y = 3 + 4t + 5t' \\ z = -2 + 1t + 2t' \end{cases}\) pour \(t,t' \in \mathbb{R\).
Nous pouvons également utiliser trois points afin de définir un plan. Si nous disposons de trois points non-colinéaires dans le plan \(A(x_A, y_A, z_A)\), \(B(x_B, y_B, z_B)\) et \(C(x_C, y_C, z_C)\), nous pouvons obtenir la représentation paramétrique d'un plan comme suit : \[\begin{cases} x - x_A = t(x_B - x_A) + t'(x_C - x_A) \\ y - y_A = t(y_B - y_A) + t'(y_C - y_A) \\ z - z_A = t(z_B - z_A) + t'(z_C - z_A) \end{cases}\] avec \(t\) et \(t'\) les paramètres.
Remarque que c'est les coordonnées du point \(A\) qui sont toujours soustraites.
Peux-tu déterminer une représentation paramétrique du plan qui passe par les points \((1, 0, 0)\), \((0, 1, 0)\) et \((0,0,1)\) ?
Il suffit d'appliquer la formule donnée ci-dessus. Si \(t\) et \(t'\) sont les paramètres, alors la représentation paramétrique de ce plan est \(\begin{cases} x - 1 = t(0 - 1) + t'(0 - 1) \\ y - 0 = t(1 - 0) + t'(0 - 0) \\ z - 0 = t(0 - 0) + t'(1 - 0) \end{cases}\).
Après simplication, nous obtenons \(\begin{cases} x = 1 - (t +t') \\ y = t \\ z = t' \end{cases}\).
Même si la représentation paramétrique d'un plan peut être plus pratique dans certains cas, une équation cartésienne d'un plan a une forme plus simple.
Déterminer une équation cartésienne d'un plan
Soit \(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) un vecteur normal à un plan. Une équation cartésienne d'un plan est de la forme \(ax +by + cz + d = 0 \), où la constante \(d \in \mathbb{R}\) est à déterminer en utilisant un point sur le plan.
Sais-tu comment déterminer une équation cartésienne du plan qui passe par le point \((1,2,1)\) et dont le vecteur normal est \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) ?
Comme le vecteur normal est \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\), une équation cartésienne du plan serait de la forme \(x +2y -3z + d = 0 \).
Il reste à déterminer \(d\). Pour cela, nous devons remplacer les coordonnées du point \((1,2,1)\) dans l'équation du plan :
\((1) +2(2) -3(1) + d = 0 \)
\( 2 + d = 0 \)
\(d = -2 \)
Enfin, une équation cartésienne du plan est \(x +2y -3z -2 = 0 \)
Pour obtenir une représentation paramétrique à partir d'une équation cartésienne, il suffit de déterminer trois points non-colinéaires du plan et utiliser la formule présentée dans la section précédente.
Comment déterminer trois points du plan défini par \(2x +y - z + 3 = 0 \) ?
Il faut remplacer deux des variables par n'importe quels réels afin de déterminer la troisième.
Nous pouvons, par exemple, choisir \(x = 0 \) et \(y = 0\).
Dans ce cas, \(2(0) +0 - z + 3 = 0 \) et donc \(z = 3\).
Ainsi, \((0,0,3)\) est un point du plan. Nous n'avons qu'à répéter ces étapes pour obtenir les coordonnées de deux autres points.
Nous travaillons souvent avec les équations cartésiennes des plans, mais moins avec les équations cartésiennes des droites dans l'espace. Même si ces dernières sont moins utilisées, il est important de pouvoir les identifier.
Utiliser une équation cartésienne d'une droite
Considérons une droite qui passe par le point \((x_0, y_0, z_ 0)\) et dont un vecteur directeur, avec aucun coeffient nul, est \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\). Une équation cartésienne de cette droite est : \[\frac{x - x_0}{u} = \frac{y - y_0}{v} = \frac{z - z_0}{w}\] Pour obtenir une représentation paramétrique à partir d'une équation cartésienne, nous devons d'abord identifier un vecteur directeur, ainsi qu'un point de la droite. Cela nous permettra de les utiliser dans la formule donnée antérieurement dans ce résumé de cours.
Peux-tu déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\frac{x}{2} = y + 1 = 1 - z \) ?
Nous devons identifier les coefficients de son vecteur directeur. Ici, le vecteur directeur est \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\).
Ensuite, nous devons déterminer un point de la droite. Nous pouvons remplacer \(x\) et \(y\) avec deux valeurs et résoudre l'équation pour \(z\). Nous pouvons également identifier un point de la droite à l'aide de la forme générale d'une équation cartésienne d'une droite. Prenons cette approche.
Ici, un point de la droite est \((0, -1, 1)\).
Nous pouvons utiliser ce point et le vecteur directeur pour trouver une représentation paramétrique de la droite :
\( \begin{cases} x = 2t \\ y = -1 + t \\ z = 1 - t \end{cases}\).
Représentation paramétrique - Points clés
- Avec une représentation paramétrique, il y a un paramètre qui permet de décrire des formes géométriques.
- Les équations cartésiennes n'utilisent pas de paramètre et ne sont pas écrites sous forme de système.
- Pour \(t \in \mathbb{R}\), la représentation paramétrique d'une droite passant par le point \((x_0, y_0, z_ 0)\) et de vecteur directeur \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\) est : \[\begin{cases} x = x_ 0 + ut \\ y = y_0 + vt \\ z = z_0 + wt \end{cases}\]
- Similairement, la représentation paramétrique d'un plan est : \[\begin{cases} x = x_0 + ut + u't' \\ y = y_0 + vt + v't' \\ z = z_0 + wt + w't' \end{cases}\] Ici, nous devons utiliser deux paramètres et deux vecteurs directeurs.
- Pour obtenir une représentation paramétrique d'un plan à partir d'une de ses équations cartésiennes, il faut déterminer trois points non-colinéaires du plan \(A\), \(B\), \(C\) et utiliser la formule: \[\begin{cases} x - x_A = t(x_B - x_A) + t'(x_C - x_A) \\ y - y_A = t(y_B - y_A) + t'(y_C - y_A) \\ z - z_A = t(z_B - z_A) + t'(z_C - z_A) \end{cases}\]
- Pour obtenir une représentation paramétrique d'une droite à partir d'une équation cartésienne, nous devons identifier un vecteur directeur, ainsi qu'un point de la droite et remplacer ces valeurs dans la formule.
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