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La dérivation est l'opération fondamentale du calcul différentiel. Concrètement, la dérivation nous permet de connaître les variations des fonctions, c'est-à-dire avec quel taux elles augmentent ou diminuent sur une intervalle donnée. En effet, la dérivée d'une fonction est une généralisation du coefficient directeur des fonctions affines. La dérivation est primordiale dans la modélisation de plusieurs situations de la vie réelle, tels que la croissance des populations ou le comportement des marchés financiers.

Dérivabilité

La première chose à savoir sur la dérivation est que nous ne pouvons pas trouver la dérivée de n'importe quelle fonction. Il faut donc étudier la dérivabilité d'une fonction avant de calculer sa dérivée.

Une fonction \(f\) est dite dérivable en \(a\) si le taux de variation entre \(a\) et \(a+h\), \( \tau_h = \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \) tend vers un nombre réel quand \(h\) tend vers \(0\).

Rappel : \( +\infty\) et \(-\infty\) ne sont pas des nombres réels.

Heureusement, la plupart des fonctions avec lesquelles nous travaillons sont dérivables. Regardons quelques cas de figure de non-dérivabilité.

La fonction inverse n'est pas dérivable en \(0\). Elle n'est même pas définie en \(0\), donc il est impossible de déterminer le taux de variation en ce point.

Dérivation Fonction non-dérivable StudySmarterFig. 1 - La courbe représentative de la fonction inverse

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en \(0\). A gauche de \(0\), le taux de variation est constant et égal à \(-1\). À droite de \(0\), le taux de variation est aussi constant, mais dans ce cas, il est égal à \(1\). Comme il y a deux valeurs différentes, à droite et à gauche, du taux de variation, la limite nécessaire dans la définition de dérivabilité n'existe pas.

Dérivation Fonction non-dérivable StudySmarterFig. 2 - La fonction valeur absolue

Nombres dérivés

Si une fonction est dérivable en un point, nous pouvons définir son nombre dérivé.

Le nombre dérivé d'une fonction \(f\) dérivable en \(a\) est la limite \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \]

Regardons un exemple de comment calculer le nombre dérivé.

Calculons le nombre dérivé de la fonction \(f(x) = x^2\) en \(3\).

D'abord, calculons le taux de variation entre \(3\) et \(h\) :

\( \frac{(3+h)^2 -3^2}{h} \)

\( = \frac{(9 + 6h + h^2) -9}{h} \)

\( = \frac{6h + h^2}{h} \)

\( = 6 + h \)

Quand \(h\) tend vers \(0\), \(\frac{f(3+h) -f(3)}{h} = 6 +h \) tend vers \(6\). Donc, le le nombre dérivé de la fonction \(f(x) = x^2\) en \(3\) est 6.

Fonctions dérivées

Au lieu de calculer le nombre dérivé en chaque point du domaine de définition d'une fonction, nous pouvons déterminer la fonction dérivée.

La fonction dérivée (ou juste dérivée) de \(f(x)\) est la fonction qui associe à chaque \(x\) dans l'ensemble de dérivabilité de \(f(x)\) son nombre dérivé. Elle est notée \(f'(x)\).

C'est souvent plus simple de calculer la fonction dérivée et l'utiliser pour calculer le nombre dérivé en un point donné. En effet, nous avons quelques formules qui facilitent la dérivation.
\(f(x)\)
\(f'(x)\)
\(x^n\)
\(nx^{n-1}\)
\(e^x\)
\(e^x\)
\(ln(x)\)
\(\frac{1}{x}\)
\(sin(x)\)
\(cos(x)\)
\(cos(x)\)
\(-sin(x)\)

La fonction dérivée de \(2x^3 - 5x + 1\) est \(6x^2 - 5\). La dérivée de \(1\) — et toute autre constante — est \(0\) comme \(1 = 1x^0\).

Néanmoins, connaître les fonctions dérivées usuelles ne suffit pas. Il y a d'autres formules de dérivation qui rentrent en jeu avec certaines fonctions moins simples.

Sens de variation

Nous pouvons utiliser la dérivation pour déterminer le sens de variation d'une fonction. Quand il faut déterminer le sens de variation d'une fonction, il s'agit de voir si nous sommes face à une fonction croissante ou décroissante.

Une fonction \(f\) est dite croissante sur l'intervalle \([a,b]\) si pour tous \(x, y\) tels que \(a \leq x < y \leq b\), nous avons \(f(x) \leq f(y) \).

La fonction est strictement croissante si la dernière inégalité est stricte : \(f(x) < f(y) \)

Similairement, une fonction f est dite décroissante sur l'intervalle \([a,b]\) si pour tous \(x, y\) tels que \(a \leq x < y \leq b\), nous avons \(f(x) \geq f(y)\).

La fonction est strictement décroissante si la dernière inégalité est stricte : \(f(x) > f(y) \)

Dans tous ces cas, la fonction est dite monotone.

Si la dérivée d'une fonction est positive sur un intervalle, alors la fonction est croissante. Et tu l'aurais deviné : si la dérivée d'une fonction est négative sur un intervalle, alors la fonction est décroissante.

La dérivée de \( \frac{1}{x} \) sur \( \mathbb{R}^{*} \) est \( \frac{-1}{x^2}\). Comme \(x^2\) est toujours positif quand \(x\) est un nombre réel, alors \( \frac{-1}{x^2}\). est toujours négatif. Ainsi, la fonction inverse est décroissante sur toute son intervalle de définition.

Dérivation Fonction inverse StudySmarterFig, 3 - La courbe représentative de la fonction inverse

Observe comment la courbe représentative de cette fonction descend toujours, si nous regardons de gauche à droite. Cela confirme graphiquement notre calcul.

Souvent, une fonction est croissante sur certaines intervalles et décroissante sur d'autres. Dans ce cas, il est utile de dresser un tableau de variations.

Tableau de variations

Un tableau de variations indique quand une fonction est croissante ou décroissante sur son domaine de définition. Pour dresser un tableau de variations, il faut calculer la dérivée de la fonction et déterminer quand elle est positive, négative et nulle. Dans ce tableau, nous devons avoir au moins deux lignes. Dans la première ligne, nous écrivons les bornes de l'intervalle de définition de la fonction, ainsi que les valeurs où la dérivée de la fonction s'annule. Dans la seconde, nous devons avoir les valeurs de la fonction aux différents points de la ligne au-dessus. Nous pouvons également ajouter une ligne avec les signes de la dérivée.

Nous allons dresser le tableau de variations de la fonction \(f(x)= x^3 - 3x + 1\).

D'abord, il faut déterminer sa dérivée : \(f'(x) = 3x^2 - 3\).

Maintenant, déterminons quand elle s'annule.

\(3x^2 - 3 = 0\)

\(x^2 = 1\)

\(x = \pm 1\)

Comme la dérivée est une fonction continue, par le théorème des valeurs intermédiaires, nous savons que sur les intervalles \([-\infty,-1]\), \([-1,1]\) et \([1, +\infty]\), la fonction est soit strictement positive soit strictement négative sur l'entièreté de chaque intervalle. Il suffit donc de tester la valeur de la dérivée en un point de chaque intervalle.

\(f'(-2) = 9\) Donc, \(f'(x)\) est positive sur cette intervalle, et la fonction est croissante.

\(f'(0) = -3\) Donc, \(f'(x)\) est négative sur cette intervalle, et la fonction est décroissante.

\(f'(2) = 9\). Donc, \(f'(x)\) est positive sur cette intervalle, et la fonction est croissante.

Dernière étape avant de dresser le tableau de variations : nous devons calculer les valeurs de \(f(x)\) aux bornes de son intervalle de définition, ainsi qu'aux valeurs où la dérivée s'annule. \(f(x)\) tend vers \(\pm \infty\) quand \(x\) tend vers \(\pm \infty\)

\(f(-1) = 3\)

\(f(1) = -1\)

Enfin, nous avons notre tableau de variations.

Dérivation Tableau de variations StudySmarterFig. 4 - Exemple d'un tableau de variations

Tangente

Quelle est la relation entre la tangente à une courbe et la dérivée ? Le coefficient directeur (ou la pente) de la tangente à une courbe en un point donné est égal à la dérivée de la fonction en ce point.

La tangente à une courbe en un point est la droite qui touche la courbe en ce point. L'équation réduite de la tangente à \(f(x)\) en \(x=a\) est donnée par \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).

Trouvons la tangente à la courbe \(f(x) = 3x^3 - 2x \) quand \(x = 2\).

D'abord, nous devons déterminer la dérivée : \(f'(x) = 9x^2 - 2\)

Calculons la valeur de la fonction en \(x = 2\) : \(f(2) = 3\)

Calculons la valeur de sa dérivée en \(x = 2\) : \(f'(2) = 34\)

Nous pouvons maintenant appliquer la formule : \(y = 34(x-2) + 3\)

Enfin, simplifions un peu : \(y = 34x-31\)

Dérivation - Points clés

  • Une fonction \(f\) est dite dérivable en \(a\) si la limite \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \) existe et est un nombre réel, auquel cas il est appelé le nombre dérivé.
  • La fonction dérivée associe chaque \(x\) dans l'ensemble de dérivabilité de \(f(x)\) à son nombre dérivé.
  • Quand il faut déterminer le sens de variation d'une fonction, il faut déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.
  • Un tableau de variations indique quand une fonction est croissante ou décroissante sur son domaine de définition.
  • L'équation de la tangente à \(f(x)\) en \(x=a\) est donnée par \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).

Questions fréquemment posées en Dérivation

Nous calculons la dérivée d'une fonction quand nous voudrions savoir son taux de changement à un point donné. 

La définition d'une dérivée découle de son taux de variation. En effet, la dérivée en une valeur a est égale à la limite du taux de variation entre a et a+h quand h tends vers 0.

La dérivée d'une fonction f(x) est notée f'(x). Elle donne le taux de variation de la fonction en x. De façon équivalente, elle donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f(x) en x.

Pour déterminer la dérivée d'une fraction, nous devons utiliser la règle pour la dérivation d'un quotient.

Les principales règles de dérivation à connaître sont pour deux fonctions dérivables u(x) et v(x) sont :

(u+v)' = u' + v'

(uv)' = u'v + v'u

(u/v)' = (u'v - v'u)/v2

(u(v(x)))' = v'(x)u'(v(x))

Évaluation finale de Dérivation

Question

Qu'est-ce que la dérivation ? 

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Réponse

La dérivation est le processus qui consiste à trouver la dérivée d'une fonction.

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Question

Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction ? 

Montrer la réponse

Réponse

La dérivée d'une fonction est le taux de variation de la fonction par rapport à l'une de ses variables.

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Question

Quelle est la dérivée d'une fonction constante ? 

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Réponse

La dérivée d'une fonction constante est égale à zéro.

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Question

Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction linéaire ? 

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Réponse

La dérivée d'une fonction linéaire est la pente de la droite.

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Question

Trouve la dérivée de y = 3x^2 - 5x + 2

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Réponse

6x - 5

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Question

Trouve la dérivée de y = (4x^3 + 2x - 5) / (3x^2).

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Réponse

(12x^2+2) / (3x^2) - (8x^3+4x) / (9x^3)

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Question

Trouve la dérivée de y = ln(x).

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Réponse

1/x

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Question

Trouve la dérivée de y = sin(x)

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Réponse

cos(x)

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Question

Trouve la dérivée de y = cos(x)

Montrer la réponse

Réponse

- sin(x)

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Question

Trouve la dérivée de y = 4x^10

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Réponse

40x^9

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Question

Trouve la dérivée de y = 12x + 4x 

Montrer la réponse

Réponse

16

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Question

Trouve la dérivée de y = 4/(2x + 1) 

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Réponse

-8/(2x + 1)² 

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Question

Trouve la dérivée de y = cos(x)sin(x) 

Montrer la réponse

Réponse

cos²(x) - sin²(x) 

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Question

Trouve la dérivée de y = sin(x)/cos(x) 

Montrer la réponse

Réponse

1+ tan²x 

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Question

Trouve la dérivée de y = 1/x² 

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Réponse

- 2/x³ 

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Question

Trouve la dérivée de y = 5x/x² 

Montrer la réponse

Réponse

- 5/x² 

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Question

Quelles fonctions ne sont pas dérivables en 0 ?

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Réponse

1/x

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Question

Qu'est-ce que la fonction dérivée ?

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Réponse

La fonction dérivée d'une fonction f(x) est la fonction qui associe chaque x à son nombre dérivé.

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Question

Quel est le sens de variation de la fonction f(x) = -2x +3 ?

Montrer la réponse

Réponse

f'(x) = -2

Comme f'(x) < 0, la fonction est décroissante. 

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Question

Quel est le sens de variation de la fonction x3 ?

Montrer la réponse

Réponse

Croissante

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Question

Une fonction croissante ou décroissante est _____.

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Réponse

monotone

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Question

Quelle est l'équation de la tangente d'une fonction f(x) en x =a ?

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Réponse

y = f'(a)(x-a) + f(a)

Montrer la question

Question

Quelle fonction est sa propre dérivée ?

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Réponse

ex

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Question

Quelle est la dérivée de ln(x) -3x3 ?

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Réponse

1/x - 9x2

Montrer la question

Question

Quelle est la dérivée d'une constante ? 

Montrer la réponse

Réponse

0

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Question

Trouve la tangente à la courbe f(x) = 5x2 - 8x quand x = 1.

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Réponse

f'(x) = 10x - 8

f'(1) = 2

f(1) = -3


On applique la formule pour trouver l'équation de la tangente : y = 2(x-1) - 3 = 2x-5

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Question

Qu'est-ce qu'une fonction strictement croissante ?

Montrer la réponse

Réponse

f est strictement croissante si pour x < y, f(x) < f(y)  

Montrer la question

Question

Qu'est-ce que la pente de la tangente à la courbe ex en x = 1 ?

Montrer la réponse

Réponse

Comme la dérivée de ex est ex, la pente de la tangente est e.

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Question

Qu'est-ce qu'une fonction strictement décroissante ?

Montrer la réponse

Réponse

f est strictement décroissante si pour x < y, f(x) > f(y)

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Question

Détermine la dérivée de cos(x2).

Montrer la réponse

Réponse

-2x*sin(x2)

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Question

Détermine la dérivée de sin(3x+5).

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Réponse

3*cos(3x+5)

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Question

Trouve la dérivée de exp(cos(x)).

Montrer la réponse

Réponse

-sin(x)*exp(cos(x))

Montrer la question

Question

Trouve la dérivée de sin(exp(x)).

Montrer la réponse

Réponse

exp(x)cos(exp(x))

Montrer la question

Question

Si f(x) = (cos(x))3, détermine f'(0).

Montrer la réponse

Réponse

f'(x) = 3cos(x)2 * sin(x)

f'(0) = 0

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Question

Si f(x) = (2x+5)7, détermine f'(-2).

Montrer la réponse

Réponse

f'(x) = 14*(2x+5)6

f'(-2) = 14

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Question

Si g(x) = exp(x2), détermine g'(x).

Montrer la réponse

Réponse

g'(x) = 2x*exp(x2)

Montrer la question

Question

Si g(x) = ln(x4), détermine g'(x).

Montrer la réponse

Réponse

g(x) = 4/x

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Question

Quelle est la dérivée de (ln(x))?

Montrer la réponse

Réponse

2ln(x)/x

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Question

Quelle est la dérivée de cos(sin(x)) ?

Montrer la réponse

Réponse

sin(sin(x))*cos(x)

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Question

Quelle est la dérivée de sin(x)4 ?

Montrer la réponse

Réponse

4cos(x)sin(x)3

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Question

Quelle est la dérivée de (7x - 1)4 ?

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Réponse

28(7x - 1)3

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Question

Trouve la dérivée de (2x2 + 1)5.

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Réponse

20x(2x2 + 1)4

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Question

Si f(x) = exp(2x + 5), alors f'(x) = ... ?

Montrer la réponse

Réponse

2*exp(2x + 5)

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Question

Si f(x) = cos(3x + 1), alors f'(x) = ... ?

Montrer la réponse

Réponse

-3*sin(3x + 1)

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Question

Qu'est-ce qu'une tangente ?

Montrer la réponse

Réponse

La tangente d'une courbe en un point est la droite qui touche la courbe en ce point.

Montrer la question

Question

Quel est lien entre la dérivée et la tangente ?

Montrer la réponse

Réponse

Il faut garder à l'esprit que la dérivée est égale au coefficient directeur de la tangente en un point. 

Montrer la question

Question

Quelle est la formule pour l'équation d'une tangente ?

Montrer la réponse

Réponse

\[y = f'(a)(x-a) + f(a)\].

Montrer la question

Question

Comment déterminer l'équation d'une droite graphiquement ?

Montrer la réponse

Réponse

Il faut lire l'ordonnée à l'origine et la pente, ou à défaut, lire deux points et effectuer les calculs nécessaires.

Montrer la question

Question

Comment tracer une tangente ? 

Montrer la réponse

Réponse

Il faut déterminer deux points de la tangente à l'aide de son équation et tracer la droite qui passe par les deux points.

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Question

Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f(x) = x^3 - 4x^2\) en \(x=2\) ?

Montrer la réponse

Réponse

La fonction dérivée est \(f'(x) = 3x^2 - 8x\). 


Le coefficient directeur (ou pente) de la tangente en \(x = 2\) est donc \(f'(2) = 6(2)^2 + 10(2) = 44\).

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