La dérivation est l'opération fondamentale du calcul différentiel. Concrètement, la dérivation nous permet de connaître les variations des fonctions, c'est-à-dire avec quel taux elles augmentent ou diminuent sur un intervalle donné. En effet, la dérivée d'une fonction est une généralisation du coefficient directeur des fonctions affines. La dérivation est primordiale dans la modélisation de plusieurs situations de la vie réelle, tels que la croissance des populations ou le comportement des marchés financiers.
Dérivabilité
La première chose à savoir sur la dérivation est que nous ne pouvons pas trouver la dérivée de n'importe quelle fonction. Il faut donc étudier la dérivabilité d'une fonction avant de calculer sa dérivée.
Une fonction \(f\) est dite dérivable en \(a\) si le taux de variation entre \(a\) et \(a+h\), \( \tau_h = \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \) tend vers un nombre réel quand \(h\) tend vers \(0\).
Rappel : \( +\infty\) et \(-\infty\) ne sont pas des nombres réels.
Heureusement, la plupart des fonctions avec lesquelles nous travaillons sont dérivables. Regardons quelques cas de figure de non-dérivabilité.
La fonction inverse n'est pas dérivable en \(0\). Elle n'est même pas définie en \(0\), donc il est impossible de déterminer le taux de variation en ce point.
Fig. 1 - La courbe représentative de la fonction inverse
La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en \(0\). À gauche de \(0\), le taux de variation est constant et égal à \(-1\). À droite de \(0\), le taux de variation est aussi constant, mais dans ce cas, il est égal à \(1\). Comme il y a deux valeurs différentes, à droite et à gauche, du taux de variation, la limite nécessaire dans la définition de dérivabilité n'existe pas.
Fig. 2 - La fonction valeur absolue
Nombres dérivés
Si une fonction est dérivable en un point, nous pouvons définir son nombre dérivé.
Le nombre dérivé d'une fonction \(f\) dérivable en \(a\) est la limite \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \]
Regardons un exemple de comment calculer le nombre dérivé.
Calculons le nombre dérivé de la fonction \(f(x) = x^2\) en \(3\).
D'abord, calculons le taux de variation entre \(3\) et \(h\) :
\( \frac{(3+h)^2 -3^2}{h} \)
\( = \frac{(9 + 6h + h^2) -9}{h} \)
\( = \frac{6h + h^2}{h} \)
\( = 6 + h \)
Quand \(h\) tend vers \(0\), \(\frac{f(3+h) -f(3)}{h} = 6 +h \) tend vers \(6\). Donc, le nombre dérivé de la fonction \(f(x) = x^2\) en \(3\) est 6.
Fonctions dérivées
Au lieu de calculer le nombre dérivé en chaque point du domaine de définition d'une fonction, nous pouvons déterminer la fonction dérivée.
La fonction dérivée (ou juste dérivée) de \(f(x)\) est la fonction qui associe à chaque \(x\) dans l'ensemble de dérivabilité de \(f(x)\) son nombre dérivé. Elle est notée \(f'(x)\).
\(f(x)\) | \(f'(x)\) |
\(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
\(e^x\) | \(e^x\) |
\(ln(x)\) | \(\frac{1}{x}\) |
\(sin(x)\) | \(cos(x)\) |
\(cos(x)\) | \(-sin(x)\) |
La fonction dérivée de \(2x^3 - 5x + 1\) est \(6x^2 - 5\). La dérivée de \(1\) — et toute autre constante — est \(0\) comme \(1 = 1x^0\).
Néanmoins, connaître les fonctions dérivées usuelles ne suffit pas. Il y a d'autres formules de dérivation qui rentrent en jeu avec certaines fonctions moins simples.
Déterminer le sens de variation avec la dérivation
Nous pouvons utiliser la dérivation pour déterminer le sens de variation d'une fonction. Quand il faut déterminer le sens de variation d'une fonction, il s'agit de voir si nous sommes face à une fonction croissante ou décroissante.
Une fonction \(f\) est dite croissante sur l'intervalle \([a,b]\) si pour tous \(x, y\) tels que \(a \leq x < y \leq b\), nous avons \(f(x) \leq f(y) \).
La fonction est strictement croissante si la dernière inégalité est stricte : \(f(x) < f(y) \)
Similairement, une fonction f est dite décroissante sur l'intervalle \([a,b]\) si pour tous \(x, y\) tels que \(a \leq x < y \leq b\), nous avons \(f(x) \geq f(y)\).
La fonction est strictement décroissante si la dernière inégalité est stricte : \(f(x) > f(y) \)
Dans tous ces cas, la fonction est dite monotone.
Si la dérivée d'une fonction est positive sur un intervalle, alors la fonction est croissante. Et tu l'aurais deviné : si la dérivée d'une fonction est négative sur un intervalle, alors la fonction est décroissante.
La dérivée de \( \frac{1}{x} \) sur \( \mathbb{R}^{*} \) est \( \frac{-1}{x^2}\). Comme \(x^2\) est toujours positif quand \(x\) est un nombre réel, alors \( \frac{-1}{x^2}\) est toujours négatif. Ainsi, la fonction inverse est décroissante sur tout son intervalle de définition.
Fig, 3 - La courbe représentative de la fonction inverse
Observe comment la courbe représentative de cette fonction descend toujours, si nous regardons de gauche à droite. Cela confirme graphiquement notre calcul.
Souvent, une fonction est croissante sur certains intervalles et décroissante sur d'autres. Dans ce cas, il est utile de dresser un tableau de variations.
Établir un tableau de variations grâce à la dérivation
Un tableau de variations indique quand une fonction est croissante ou décroissante sur son domaine de définition. Pour dresser un tableau de variations, il faut utiliser la dérivation pour déterminer quand la fonction considérée est positive, négative et nulle.
Dans ce tableau, nous devons avoir au moins deux lignes. Dans la première ligne, nous écrivons les bornes de l'intervalle de définition de la fonction, ainsi que les valeurs où la dérivée de la fonction s'annule. Dans la seconde, nous devons avoir les valeurs de la fonction aux différents points de la ligne au-dessus. Nous pouvons également ajouter une ligne avec les signes de la dérivée.
Nous allons dresser le tableau de variations de la fonction \(f(x)= x^3 - 3x + 1\).
D'abord, il faut déterminer sa dérivée : \(f'(x) = 3x^2 - 3\).
Maintenant, déterminons quand elle s'annule.
\(3x^2 - 3 = 0\)
\(x^2 = 1\)
\(x = \pm 1\)
Comme la dérivée est une fonction continue, par le théorème des valeurs intermédiaires, nous savons que sur les intervalles \([-\infty,-1]\), \([-1,1]\) et \([1, +\infty]\), la fonction est soit strictement positive soit strictement négative sur l'entièreté de chaque intervalle. Il suffit donc de tester la valeur de la dérivée en un point de chaque intervalle.
\(f'(-2) = 9\) Donc, \(f'(x)\) est positive sur cet intervalle, et la fonction est croissante.
\(f'(0) = -3\) Donc, \(f'(x)\) est négative sur cet intervalle, et la fonction est décroissante.
\(f'(2) = 9\). Donc, \(f'(x)\) est positive sur cet intervalle, et la fonction est croissante.
Dernière étape avant de dresser le tableau de variations : nous devons calculer les valeurs de \(f(x)\) aux bornes de son intervalle de définition, ainsi qu'aux valeurs où la dérivée s'annule. \(f(x)\) tend vers \(\pm \infty\) quand \(x\) tend vers \(\pm \infty\)
\(f(-1) = 3\)
\(f(1) = -1\)
Enfin, nous avons notre tableau de variations.
Fig. 4 - Exemple d'un tableau de variations
Déterminer une tangente à l'aide de la dérivation
Quelle est la relation entre la tangente à une courbe et la dérivée ? Le coefficient directeur (ou la pente) de la tangente à une courbe en un point donné est égal à la dérivée de la fonction en ce point. La dérivation est donc clé lorsque nous devons déterminer l'équation d'une tangente.
La tangente à une courbe en un point est la droite qui touche la courbe en ce point. L'équation réduite de la tangente à \(f(x)\) en \(x=a\) est donnée par \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
Trouvons la tangente à la courbe \(f(x) = 3x^3 - 2x \) quand \(x = 2\).
D'abord, nous devons déterminer la dérivée : \(f'(x) = 9x^2 - 2\)
Calculons la valeur de la fonction en \(x = 2\) : \(f(2) = 3\)
Calculons la valeur de sa dérivée en \(x = 2\) : \(f'(2) = 34\)
Nous pouvons maintenant appliquer la formule : \(y = 34(x-2) + 3\)
Enfin, simplifions un peu : \(y = 34x-31\)
Dérivation - Points clés
- Une fonction \(f\) est dite dérivable en \(a\) si la limite \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} \) existe et est un nombre réel, auquel cas il est appelé le nombre dérivé.
- La fonction dérivée associe chaque \(x\) dans l'ensemble de dérivabilité de \(f(x)\) à son nombre dérivé.
- Quand il faut déterminer le sens de variation d'une fonction, il faut déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.
- Un tableau de variations indique quand une fonction est croissante ou décroissante sur son domaine de définition.
- L'équation de la tangente à \(f(x)\) en \(x=a\) est donnée par \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
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