Les suites géométriques permettent de modéliser de nombreux phénomènes tels que la croissance des populations. Dans ce résumé de cours, nous allons présenter les formules d'une suite géométrique, et nous allons définir le terme général. Ensuite, nous mettrons en évidence les différentes façons de montrer qu'une suite est géométrique en étudiant les calculs associés qui nous permettent de trouver la raison d'une suite géométrique. Pour finir nous verrons comment calculer la somme d'une suite géométrique, ainsi que la limite d'une suite géométrique donnée.
Suite géométrique : formule
Une suite géométrique est une suite numérique dont le quotient entre deux termes consécutifs est constant.
\(1, 3, 9, 27, ... \) est une suite géométrique. Quand nous divisons un terme par le terme précédent, le résultat est toujours \(3\).
Une suite arithmétique est une suite numérique dont la différence entre deux termes consécutifs est constante.
Cela nous permet de donner une définition rigoureuse d'une suite géométrique avec sa formule.
Une suite numérique \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(q\), si le quotient entre termes consécutifs est toujours \(q\). Autrement dit, il existe un nombre réel \(q\) tel que \(u_{n+1} = qu_n\).
Il s'agit d'une formule de récurrence : la valeur d'un terme s'obtient à l'aide du terme précédent.
Soit \((u_n)\) la suite géométrique définie par \(u_{n+1} = 2u_n\) avec \(u_0 = 5\).
Si nous souhaitons connaître la valeur de \(u_3\), nous devons d'abord déterminer \(u_2\). De même, si nous voulons déterminer \(u_2\), nous devons d'abord calculer \(u_1\) et ainsi de suite.
\(u_{1} = 2u_0 = 2 \times 5 = 10\)
\(u_{2} = 2u_1 = 2 \times 10 = 20\)
\(u_{3} = 2u_2 = 2 \times 20 = 40\)
À partir de cette formule, nous pouvons déduire le terme général d'une suite géométrique.
Terme général d'une suite géométrique
Dans la section précédente, nous avons défini les termes d'une suite géométrique en fonction de \(u_n\). Utiliser cette définition par récurrence peut prendre du temps si nous souhaitons calculer le centième terme de la suite, par exemple. Le terme général d'une suite géométrique donne les valeurs de la suite en fonction de \(n\). Cela simplifie le calcul des termes de la suite.
Le terme général d'une suite géométrique \((u_n)\) de raison \(q\) est \(u_n = u_0 q^n\).
Soit \((u_n)\) la suite géométrique de terme général \(u_n = 10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n\). Déterminons \(u_5\).
\(u_5 = 10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5\)
\(u_5 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{5}{16}\)
Pour déterminer le terme général d'une suite géométrique à partir de sa définition par récurrence, nous devons identifier \(u_0\) et \(q\).
Si \((u_n)\) est la suite géométrique définie par \(u_{n+1} = -u_n\) avec \(u_0 = 1\), alors son terme général est \(u_n = 1 \times (-1)^n = (-1)^n \).
Nous pouvons également déterminer le terme général d'une suite géométrique à l'aide de deux termes quelconques de la suite.
Soit \((u_n)\) la suite géométrique telle que \(u_2 = 45\) et \(u_5 = 1215\). Nous pouvons former un système d'équations pour déterminer le premier terme et la raison.
\(45 = u_2 = u_0 q^2\)
\(405 = u_5 = u_0 q^5\)
Divisons une équation par l'autre.
\(\frac{1215}{45} = \frac{u_0 q^5}{u_0 q^2}\)
\(27 = q^3\)
\(q = 3\)
Remplaçons la valeur de \(q\) dans une des équations afin de déterminer le premier terme.
\(45 = u_0 \times 3^2\)
\(45 = 9u_0\)
\(u_0 = 9\)
Comment montrer qu'une suite est géométrique ?
Pour montrer qu'une suite est géométrique, il est nécessaire de prouver que le quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant pour tout nombre entier \(n\). Heureusement, cela ne veut pas dire que nous devons calculer \(u_{n+1}\) et \(u_n\) pour tout \(n\). Nous devons plutôt manipuler algébriquement l'expression donnée pour la suite.
Démontrons que la suite définie par \(u_n = 2 \times 5^n\) est une suite géométrique.
\(u_{n+1} = 2 \times 5^{n+1}\)
\(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2 \times 5^{n+1}}{2 \times 5^n}\)
\(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2 \times 5^n \times 5}{2 \times 5^n} = 5\)
Comme \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \) est une constante, la suite est géométrique.
Les calculs effectués pour montrer qu'une suite est géométrique peuvent nous aider à trouver la raison d'une suite géométrique.
Trouver la raison d'une suite géométrique
Pour trouver la raison d'une suite géométrique, il faut diviser un terme de la suite par le terme précédent. Nous rappelons que la raison d'une suite géométrique est le nombre \(q\) qui vérifie \(u_{n+1} = qu_n\), pour tout \(n\), .
Nous pouvons utiliser la définition donnée dans une section précédente pour trouver la raison d'une suite géométrique.
Soit \((u_n)\) la suite géométrique définie par \(u_{n+1} = 0{,}3 u_n\) avec \(u_0 = 5\). La raison de cette suite est \(0{,}3\)
Nous pouvons également exploiter le terme général de la suite géométrique pour déterminer sa raison.
Soit \((u_n)\) une suite géométrique telle que \(u_3 = -54\), et dont le premier terme est \(2\). Calculons la raison de cette suite.
Écrivons d'abord l'expression de \(u_3\) à l'aide du terme général.
\(u_3 = u_0 \times q^3 \)
\(-54 = 2 \times q^3 \)
\(-27 = q^3 \)
\(-3 = q \)
Donc, la raison de la suite est \(-3\).
La raison d'une suite géométrique nous permet de déterminer sa limite.
Somme des termes d'une suite géométrique
Pour calculer la somme des termes d'une suite géométrique, nous pouvons utiliser la formule suivante. \[ 1 + q + ... + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \] Remarque que \(q\) est semblable à la raison de la suite géométrique. Cependant, il faut modifier cette formule si nous souhaitons déterminer la somme d'une suite géométrique dont le premier terme n'est pas \(1\).
Si nous multiplions par \(u_0\), nous aurons : \[ u_0 + u_0q + ... + u_0q^n = u_0\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \] Pour une suite géométrique, cette expression est équivalente à \[ u_0 + u_1 + ... + u_n = u_0\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \] Voyons maintenant un exemple de comment calculer la somme d'une suite géométrique.
Calculons la valeur de \(S = 2 + 2^2 + ... + 2^8\).
Ici, \(u_0 = 2\) et \(q = 2\), donc \(n=7\).
Ainsi, \(S = 2 \times \frac{1 - 2^8}{1 - 2} = 510\).
Limite d'une suite géométrique
La limite d'une suite est le nombre que \(u_n\) approche lorsque \(n\) devient de plus en plus grand.
La limite de la suite \( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ... \) est \(0\), car quand \(n\) approche (ou tend vers) \(+\infty\). Les valeurs de la suite deviennent infiniment proches de \(0\).
Avant de pouvoir calculer la limite d'une suite géométrique, nous devons d'abord déterminer si la suite est convergente (converge vers une limite finie) ou divergente (ne converge pas vers une limite finie). Pour les suites géométriques, des règles simples régissent leur convergence.
Si \(q > 1\), alors la suite géométrique est divergente.
Si son premier terme est strictement positif, alors la suite tend vers \(+\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
Similairement, si le premier terme est strictement négatif, alors la suite tend vers \(-\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\)
Si \(q = 1\), alors la suite géométrique est convergente et reste à la valeur constante \(u_0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
Si \( -1 < q < 1\), alors la suite géométrique converge vers \(0\).
Si \(q \leq - 1\), alors la suite est divergente et ne tend pas vers une valeur spécifique.
Dans tous les cas, si le terme initiale est \(0\), alors la suite reste constante à \(0\).
La suite géométrique de terme général \(u_n = 2 \times 1{,}5^n\) se retrouve dans le premier cas. Elle tend donc vers \(+ \infty\).
La suite \(100 \times (-\frac{1}{2})^n\) tend vers \(0\).
Suites géométriques - Points clés
- Une suite numérique \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(q\) s'il existe un nombre réel \(q\) tel que \(u_{n+1} = qu_n\).
- Le terme général d'une suite géométrique \((u_n)\) de raison \(q\) est \(u_n = u_0 q^n\).
- Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut démontrer que le quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant pour tout nombre entier \(n\).
- Pour trouver la raison d'une suite géométrique, nous pouvons utiliser sa définition ou exploiter le terme général de la suite.
- Pour calculer la somme d'une suite géométrique, nous pouvons utiliser la formule : \[ 1 + q + ... + q^n = \frac{1 - q^n}{1 - q} \]
- La limite d'une suite géométrique est déterminée en fonction de sa raison.
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