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Suites géométriques

Les suites géométriques permettent de modéliser de nombreux phénomènes tels que la croissance des populations. Dans ce résumé de cours, nous allons présenter des formules pour une suite géométrique, ainsi que son terme général. Par la suite, nous détaillerons comment montrer qu'une suite est géométrique. Les calculs associés nous aident à trouver la raison d'une suite géométrique. Nous détaillerons ensuite comment calculer la somme d'une suite géométrique, ainsi que la limite d'une suite géométrique donnée.

Suite géométrique : formule

Une suite géométrique est une suite numérique dont le quotient entre deux termes consécutifs est constant.

\(1, 3, 9, 27, ... \) est une suite géométrique. Quand nous divisons un terme par le terme précédent, le résultat est toujours \(3\).

Une suite arithmétique est une suite numérique dont la différence entre deux termes consécutifs est constante.

Cela nous permet de donner une définition rigoureuse d'une suite géométrique avec sa formule.

Une suite numérique \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(q\), si le quotient entre termes consécutifs est toujours \(q\). Autrement dit, il existe un nombre réel \(q\) tel que \(u_{n+1} = qu_n\).

Il s'agit d'une formule de récurrence : la valeur d'un terme s'obtient à l'aide du terme précédent.

Soit \((u_n)\) la suite géométrique définie par \(u_{n+1} = 2u_n\) avec \(u_0 = 5\).

Si nous souhaitons connaître la valeur de \(u_3\), nous devons d'abord déterminer \(u_2\). De même, si nous voulons déterminer \(u_2\), nous devons d'abord calculer \(u_1\) et ainsi de suite.

\(u_{1} = 2u_0 = 2 \times 5 = 10\)

\(u_{2} = 2u_1 = 2 \times 10 = 20\)

\(u_{3} = 2u_2 = 2 \times 20 = 40\)

À partir de cette formule, nous pouvons déduire le terme général d'une suite géométrique.

Terme général d'une suite géométrique

Dans la section précédente, nous avons défini les termes d'une suite géométrique en fonction de \(u_n\). Utiliser cette définition par récurrence peut prendre du temps si nous souhaitons calculer le centième terme de la suite, par exemple. Le terme général d'une suite géométrique donne les valeurs de la suite en fonction de \(n\). Cela simplifie le calcul des termes de la suite.

Le terme général d'une suite géométrique \((u_n)\) de raison \(q\) est \(u_n = u_0 q^n\).

Soit \((u_n)\) la suite géométrique de terme général \(u_n = 10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n\). Déterminons \(u_5\).

\(u_5 = 10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5\)

\(u_5 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{5}{16}\)

Pour déterminer le terme général d'une suite géométrique à partir de sa définition par récurrence, nous devons identifier \(u_0\) et \(q\).

Si \((u_n)\) est la suite géométrique définie par \(u_{n+1} = -u_n\) avec \(u_0 = 1\), alors son terme général est \(u_n = 1 \times (-1)^n = (-1)^n \).

Nous pouvons également déterminer le terme général d'une suite géométrique à l'aide de deux termes quelconques de la suite.

Soit \((u_n)\) la suite géométrique telle que \(u_2 = 45\) et \(u_5 = 1215\). Nous pouvons former un système d'équations pour déterminer le premier terme et la raison.

\(45 = u_2 = u_0 q^2\)

\(405 = u_5 = u_0 q^5\)

Divisons une équation par l'autre.

\(\frac{1215}{45} = \frac{u_0 q^5}{u_0 q^2}\)

\(27 = q^3\)

\(q = 3\)

Remplaçons la valeur de \(q\) dans une des équations afin de déterminer le premier terme.

\(45 = u_0 \times 3^2\)

\(45 = 9u_0\)

\(u_0 = 9\)

Comment montrer qu'une suite est géométrique ?

La caractéristique qui définit une suite géométrique est le fait que le quotient de deux termes successifs est constant. Pour montrer qu'une suite est géométrique, il est donc nécessaire de montrer que le quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant pour tout nombre entier \(n\). Heureusement, cela ne veut pas dire que nous devons calculer \(u_{n+1}\) et \(u_n\) pour tout \(n\). Nous devons plutôt manipuler algébriquement l'expression donnée pour la suite.

Démontrons que la suite définie par \(u_n = 2 \times 5^n\) est une suite géométrique.

\(u_{n+1} = 2 \times 5^{n+1}\)

\(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2 \times 5^{n+1}}{2 \times 5^n}\)

\(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2 \times 5^n \times 5}{2 \times 5^n} = 5\)

Comme \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \) est une constante, la suite est géométrique.

Les calculs effectués pour montrer qu'une suite est géométrique peuvent nous aider à trouver la raison d'une suite géométrique.

Trouver la raison d'une suite géométrique

La raison d'une suite géométrique est le nombre \(q\) qui vérifie \(u_{n+1} = qu_n\), pour tout \(n\), .

La raison de la suite \(-1, 1, -1, 1, ...\) est \(-1\).

Pour trouver la raison d'une suite géométrique, nous pouvons utiliser sa définition donnée dans une section précédente.

Soit \((u_n)\) la suite géométrique définie par \(u_{n+1} = 0{,}3 u_n\) avec \(u_0 = 5\). La raison de cette suite est \(0{,}3\)

Nous pouvons également exploiter le terme général de la suite géométrique pour déterminer sa raison.

Soit \((u_n)\) une suite géométrique telle que \(u_3 = -54\), et dont le premier terme est \(2\). Calculons la raison de cette suite.

Écrivons d'abord l'expression de \(u_3\) à l'aide du terme général.

\(u_3 = u_0 \times q^3 \)

\(-54 = 2 \times q^3 \)

\(-27 = q^3 \)

\(-3 = q \)

Donc, la raison de la suite est \(-3\).

La raison d'une suite géométrique nous permet de déterminer sa limite.

Somme d'une suite géométrique

Pour calculer la somme d'une suite géométrique, nous pouvons utiliser la formule suivante. \[ 1 + q + ... + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \] Remarque que \(q\) est semblable à la raison de la suite géométrique. Cependant, cette formule nous donne la somme d'une suite géométrique dont le premier terme est \(1\). Il faut donc la modifier légèrement pour pouvoir l'utiliser avec n'importe quelle suite géométrique. Si nous multiplions par \(u_0\), nous aurons : \[ u_0 + u_0q + ... + u_0q^n = u_0\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \] Pour une suite géométrique, cette expression est équivalente à \[ u_0 + u_1 + ... + u_n = u_0\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \] Voyons maintenant un exemple de comment calculer la somme d'une suite géométrique.

Calculons la valeur de \(S = 2 + 2^2 + ... + 2^8\).

Ici, \(u_0 = 2\) et \(q = 2\), donc \(n=7\).

Ainsi, \(S = 2 \times \frac{1 - 2^8}{1 - 2} = 510\).

Limite d'une suite géométrique

La limite d'une suite est le nombre que \(u_n\) approche lorsque \(n\) devient de plus en plus grand.

La limite de la suite \( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ... \) est \(0\), car quand \(n\) approche (ou tend vers) \(+\infty\). Les valeurs de la suite deviennent infiniment proches de \(0\).

Avant de pouvoir calculer la limite d'une suite géométrique, nous devons d'abord déterminer si la suite est convergente (converge vers une limite finie) ou divergente (ne converge pas vers une limite finie). Pour les suites géométriques, des règles simples régissent leur convergence.

  • Si \(q > 1\), alors la suite géométrique est divergente.

    • Si son premier terme est strictement positif, alors la suite tend vers \(+\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

    • Similairement, si le premier terme est strictement négatif, alors la suite tend vers \(-\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\)

  • Si \(q = 1\), alors la suite géométrique est convergente et reste à la valeur constante \(u_0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

  • Si \( -1 < q < 1\), alors la suite géométrique converge vers \(0\).

  • Si \(q \leq - 1\), alors la suite est divergente et ne tend pas vers une valeur spécifique.

Dans tous les cas, si le terme initiale est \(0\), alors la suite reste constante à \(0\).

La suite géométrique de terme général \(u_n = 2 \times 1{,}5^n\) se retrouve dans le premier cas. Elle tend donc vers \(+ \infty\).

La suite \(100 \times (-\frac{1}{2})^n\) tend vers \(0\).

Suites géométriques - Points clés

  • Une suite numérique \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(q\) s'il existe un nombre réel \(q\) tel que \(u_{n+1} = qu_n\).
  • Le terme général d'une suite géométrique \((u_n)\) de raison \(q\) est \(u_n = u_0 q^n\).
  • Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut démontrer que le quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant pour tout nombre entier \(n\).
  • Pour trouver la raison d'une suite géométrique, nous pouvons utiliser sa définition ou exploiter le terme général de la suite.
  • Pour calculer la somme d'une suite géométrique, nous pouvons utiliser la formule : \[ 1 + q + ... + q^n = \frac{1 - q^n}{1 - q} \]
  • La limite d'une suite géométrique est déterminée en fonction de sa raison.

Questions fréquemment posées en Suites géométriques

La formule qui définit une suite géométrique (un) est un+1 = qun, où q est un nombre réel appelé la raison. Nous pouvons aussi utiliser son terme général, un = u0qn 

Pour une suite géométrique, le quotient entre termes consécutifs est constant, alors que pour une suite arithmétique, c'est la différence entre termes consécutifs qui est constante.

Pour exprimer une suite géométrique en fonction de n, nous utilisons son terme général un = u0qn.

Pour calculer la somme des termes d'une suite géométrique, nous exploitons la formule u0 + qu+ q2u+ ... + qnu0 = u0(1 - qn)/(1 - q)

Pour trouver la raison d'une suite géométrique, nous pouvons comparer la suite en question avec la définition d'une suite géométrique. Nous pouvons aussi utiliser l'expression de son terme général pour résoudre une équation où la raison est la variable.

Évaluation finale de Suites géométriques

Question

Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?

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Réponse

Une suite géométrique est une suite numérique dont le quotient entre deux termes consécutifs est constant.

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Question

Quelle suite est une suite géométrique ?

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Réponse

1, 2, 3, ...

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Question

Qu'est-ce que la raison d'une suite géométrique ? 

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Réponse

La raison d'une suite géométrique est le quotient de deux termes consécutifs.

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Question

Quelle est la raison de la suite définie par \(u_{n+1} = -0{,}5u_n\) avec \(u_0 = 2\) ?

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Réponse

\(-0{,}5\)

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Question

Si \(u_{n+1} = -0{,}5u_n\) et \(u_0 = 2\), détermine \(u_{3}\)

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Réponse

\(u_{1} = -0{,}5u_0 = -0{,}5 \times 2 = -1\)


\(u_{2} = -0{,}5u_1 = -0{,}5 \times -1 = 0{,}5\)


\(u_{3} = -0{,}5u_2 = -0{,}5 \times 0{,}5 = -0{,}25\)

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Question

Qu'est-ce que le terme général d'une suite géométrique de raison \(q\) et dont le premier terme est \(u_0\) ?

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Réponse

\(u_n = u_0 q^n\)

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Question

Soit \((u_n)\) la suite géométrique telle que \(u_1 = -10\) et \(u_4 = 1250\). Détermine la raison. 

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Réponse

\(-10 = u_1 = u_0 q\)

\(1250 = u_4 = u_0 q^4\)


\(\frac{1250}{-10} = \frac{u_0 q^4}{u_0 q}\)

\(-125 = q^3\)

\(q = -5\)

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Question

Quelle est la raison de la suite \(3, 3, 3, ...\) ?

Montrer la réponse

Réponse

1

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Question

Quelle formule nous donne la somme des termes d'une suite géométrique ? 

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Réponse

\[ 1 + q + ... + q^n = \frac{1 - q^n}{1 - q} \] ou de façon équivalente \[ u_0 + u_1 + ... + u_n = u_0\frac{1 - q^n}{1 - q} \]

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Question

Calcule la valeur de \(S = 5 + 5 \times 3 + ... + 5 \times 3^5\).

Montrer la réponse

Réponse

\(S = 5 \times \frac{1 - 3^6}{1 - 3} = 1820\).

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Question

Comment démontrer qu'une suite est géométrique ? 

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Réponse

Pour montrer qu'une suite est géométrique, il est donc nécessaire de montrer que le quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant pour tout nombre entier \(n\).

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Question

Quelle est la condition sur la raison pour qu'une suite géométrique converge ?

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Réponse

La raison doit être comprise entre -1 (non-inclus) et 1 (inclus)

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Question

Si la raison est moins que -1, la suite géométrique diverge. 

Montrer la réponse

Réponse

Vrai

Montrer la question

Question

Si la raison est moins que -1, la suite géométrique tend vers \(-\infty\)

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Réponse

Vrai

Montrer la question

Question

Est-ce que la suite \(-1, 1, -1, 1 ... \) est géométrique ?

Montrer la réponse

Réponse

Oui

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