Les suites et les séries ont une place importante en mathématiques. Elles jouent un rôle central dans la définition de concepts clés des mathématiques fondamentales, particulièrement en analyse. De plus, elles trouvent des applications dans de nombreux domaines tels que la finance et la biologie.
Quelle est la différence entre suites et séries ?
Dans le langage courant, ces termes ont des sens très similaires. Or, en mathématiques, il y a une vraie différence entre suite et série. Une suite est une liste d'éléments, appelés termes, disposés dans un certain ordre. Par contre, une série est la somme des termes d'une suite.
Suites et séries : définition
Une suite est une liste d'éléments, appelés termes, disposés dans un certain ordre.
Une suite peut être notée \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \). Souvent, \( n\) est appelé le rang du terme \( u_n \) et ici, \( \mathbb{N}\) est l'ensemble des nombres qu'on utilise pour indexer les termes de la suite. Ainsi, nous notons \(u_0\) le premier terme, \(u_1\) le deuxième terme, \(u_2\) le troisième terme, etc. Garde à l'esprit que parfois 0 est inclus dans \( \mathbb{N}\) et parfois ce n'est pas le cas. Vérifie donc bien la convention utilisée.
Avec les parenthèses, nous faisons référence à la suite \( u_n \) toute entière, mais sans parenthèse, nous ne faisons référence qu'au terme de rang \( n\), \( u_n\).
Une série est la somme des termes d'une suite.
La notation pour une série implique souvent la lettre grecque \( \Sigma \), prononcée « sigma ». Concrètement, la somme des termes \( u_n\) d'une suite indexés sur \( \mathbb{N} \) est notée comme suit :
\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} u_n \]
ou de manière équivalente :
\[ \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} u_n \]
Exemples de suites et séries
Les définitions des suites et des séries peuvent sembler très abstraites sans exemple.
La liste des nombres positifs pairs est un exemple d'une suite \(0, 2, 4, 6, 8, ... \). Suivant la notation utilisée plus haut dans cet article, si nous appelons cette suite \( (u_n) \), alors \( u_0 = 0 \), \( u_1 = 2 \), \( u_2 = 4 \), etc. Nous pouvons même calculer les termes de cette suite avec la formule \( u_n = 2n \). La somme des termes de cette suite est une série : \[ \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} u_n = 0 + 2 + 4 + 6 + ...\]
La valeur de cette série est \( \infty \) car nous faisons la somme d'un nombre infini de termes qui sont des valeurs positives.
\(1, -1, 1, -1, 1, ... \) est également un exemple d'une suite. Suivant la notation utilisée plus haut dans cette article, si nous appelons cet suite \( (v_n) \), alors \( v_0 = 1 \), \( v_1 = -1 \), \( v_2 = 1 \), etc. Nous pouvons même calculer les termes de cette suite avec la formule \( v_n = (-1)^n \). La somme des termes de cette suite alterne entre \( 1 \) et \( 0 \). La valeur de la série alterne entre 1 et 0.
Les suites et séries présentées ici ne convergent pas vers un nombre donné. En effet, les termes de la première suite et la série correspondante augmentent sans cesse. Par rapport à la série, nous pouvons dire que la suite de ses sommes partielles (les sommes des termes jusqu'à un certain rang) ne converge pas. Pour la deuxième suite et la série correspondante, elles alternent infiniment, ne convergeant pas vers un nombre donné.
Suites et séries numériques
Une suite numérique est une suite ne contenant que des nombres, contrairement à une suite de fonctions.
Les termes d'une suite numérique peuvent avoir une forme explicite ou être définie par récurrence. Dans le premier cas, nous disposons d'une fonction \( f \) telle que \( u_n = f(n) \) qui nous permet de calculer la valeur de n'importe quel terme de la suite. Dans le second cas, nous devons utiliser le terme \( u_n \) pour calculer le terme \( u_{n+1} \) : ici, \( u_{n+1} = f(u_n) \).
Il faut aussi disposer de la valeur numérique d'au moins un terme de la suite pour pouvoir calculer le reste de ses termes. Ce n'est pas toujours nécessaire pour la série correspondante.
Soit une suite \( (u_n) \), dont les termes sont définis par la formule \( u_n = 2n + 1\). Pour calculer le terme \( u_5 \), nous n'avons qu'à remplacer \(n \) avec \( 5 \) dans la formule : \( u_5 = 2 \times 5 = 11 \).
Soit une suite \( (v_n) \), dont les termes sont définis par \( u_{n+1} = 4u_{n} \), avec le terme initial \( u_0 = 0,5\) . Pour calculer la valeur du terme \( u_ 2\), il faut appliquer la formule de récurrence avec \( u_ 1\), et pour calculer la valeur du terme \( u_ 1\), il faut appliquer la formule de récurrence avec \( u_ 0\) :
\( u_{1} = 4u_{0} = 4 \times 0,5 = 2 \)
\( u_{2} = 4u_{1} = 4 \times 2 = 8 \)
Les types de suites numériques souvent rencontrées sont les suites arithmétiques et les suites géométriques. Les suites arithmétiques sont les suites où la différence entre deux termes consécutifs est une constante. En revanche, pour les suites géométriques, le quotient de deux termes consécutifs est une constante. Dans les deux cas, la constante est appelée la raison. Nous disposons de formules simples pour calculer les séries correspondantes.
\(1, 4, 7, 10, ...\) est une suite arithmétique de raison \( 3 \) : la différence entre deux termes consécutifs est toujours \( 3 \).
\(3, 6, 12, 24, ...\) est une suite géométrique de raison \( 2 \) : le quotient de deux termes consécutifs est toujours \( 2 \).
Il existe également des suites arithmético-géométriques, qui sont une sorte de généralisation des suites arithmétiques et des suites géométriques. Pour une suite arithmético-géométrique, il existe deux nombres réels \( a \) et \( b \) tels que \( u_{n+1} = au_{n} + b \).
Un concept clé est celui de limite. La limite d'une suite ou série numérique est le nombre dont elle se rapproche (ou converge vers) tandis que son indice augmente. Il y a plusieurs façons de formaliser la définition, mais il est peut-être plus facile d'aborder ce concept avec quelques exemples.
La limite de la suite \(3\frac{1}{10}, 3\frac{1}{100}, 3\frac{1}{1000} ... \) est \(3\).
Par contre, la suite \(1, -1, 1, -1, 1, ... \) n'a pas de limite. Si nous continuons à l'infinité, elle ne se rapproche pas d'une valeur précise.
La série \(1 + 2 + 3 + ...\) ne converge pas (ou diverge). Si nous continuons à ajouter des nombres positifs sans cesse, la limite est forcément \( \infty \).
Garde à l'esprit que l'infini n'est pas un nombre.
La suite définie par \( u_{n+1} = \frac{1}{n} \) converge et sa limite est 0. Néanmoins, la série correspondante ne converge pas et tend vers \( \infty \).
Suites et séries de fonctions
Les suites et séries de fonctions sont un poil plus compliquées que les suites et les séries numériques. Comme les suites numériques, les suites de fonctions peuvent être définies par une formule ou par récurrence. Il existe aussi le concept de limite pour les suites et séries de fonctions.
Or, le fait que les fonctions prennent une valeur en entrée ajoute quelques couches supplémentaires. D'abord, pour les suites de fonctions, nous pouvons distinguer la convergence simple de la convergence uniforme. Nous faisons cette distinction comme ces deux types de convergence confèrent des propriétés différentes à la limite de la suite des fonctions, notamment concernant la continuité et l'intégrabilité.
Pour les séries de fonctions, nous parlons souvent aussi de la convergence normale.
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