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Contre exemple

Nous pouvons utiliser un contre-exemple quand nous voulons démontrer qu'une affirmation est fausse. Contrairement aux autres méthodes de démonstration, il suffit de trouver un exemple qui nie l'affirmation. Par exemple, si quelqu'un dit que tous les élèves aiment les maths, il suffit d'en avoir un(e) qui n'aime pas les maths.

Contre-exemple mathématique : définition

Un contre-exemple est un cas spécifique qui contredit une affirmation plus générale.

En mathématiques, les contre-exemples sont un élément clé à utiliser pour réfuter une affirmation. Comme son nom indique, il s'agit d'un exemple qui va contre l'affirmation en question. Ce n'est pas censé être une longue démonstration (a priori).

Raisonnement par contre-exemple

Quand utiliser le raisonnement par contre-exemple ? Cette méthode est plus efficace si nous voulons réfuter l'affirmation ou démontrer qu'elle est fausse. Par contre, il n'est pas très utile si nous voulons montrer que quelque chose est vrai pour tous les nombres dans un certain ensemble.

Dans ce cas, c'est mieux d'utiliser une démonstration par récurrence.

Contre-exemple : méthode

Même si nous pouvons simplement tester différents cas particuliers, c'est mieux d'utiliser une méthode systématique, qui nous permettra de plus efficacement trouver un contre-exemple. Il faut d'abord bien comprendre l'énoncé. Cela nous permettra de voir ce qui ne marche pas dans la proposition. Une fois que nous comprenons ce qui ne va pas avec la proposition, il faut trouver une condition qui fait que la proposition ne fonctionne pas. Nous devons ensuite trouver un cas spécifique qui vérifie cette condition.

La partie importante c'est de tester pour s'assurer que l'énoncé donné ne marche pas.

Exemples de contre-exemples

Trouvons un contre-exemple à l'affirmation suivante : « tous les nombres premiers sont impairs ».

Il faut examiner les nombres premiers et voir s'il en existe un qui n'est pas impair.

Le nombre 2 est un contre-exemple (et le seul contre-exemple) car il est un nombre premier, mais il est pair.

Trouvons un contre-exemple à l'affimation suivante : \((a+b)^2 = a^2 + b^2\) pour tous nombres réels \(a\) et \(b\).

Il faut déterminer deux nombres pour que l'égalité ne soit pas vraie. Comme cette égalité contient des carrés, il faut considérer les propriétés des puissances et racines.

Nous pouvons choisir -1 et 1 pour le contre-exemple. En effet, \((1+(-1))^2 = 0\), mais \((-1)^2 + 1^2 = 2\).

Notons également qu'il est possible de réfuter cette affirmation en développant le membre de gauche et vérifiant qu'il n'est pas égal au membre de droite.

Contre-exemple - Points clés

  • Nous pouvons utiliser un contre-exemple quand nous voulons réfuter une affirmation.
  • Il faut trouver seulement un cas spécifique qui contredit l'affirmation.

Questions fréquemment posées en Contre exemple

Un contre-exemple est un cas spécifique qui contredit une affirmation plus générale.

Le raisonnement par contre-exemple peut être très efficace si nous voulons réfuter une affirmation ou démontrer qu'elle est fausse. 

Il faut utiliser le raisonnement par contre-exemple quand nous voulons réfuter une affirmation plus générale. 

Il y a plusieurs méthodes pour démontrer une affirmation, par exemple le raisonnement par l'absurde ou par récurrence. 

Questionnaire final de Contre exemple

Question

Qu'est-ce qu'un contre-exemple ?

Montrer la réponse

Réponse

Un contre-exemple est un cas spécifique qui contredit une affirmation plus générale.

Montrer la question

Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « tous les nombres premiers sont impairs »

Montrer la réponse

Réponse

2

Montrer la question

Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « toute équation du second degré a deux racines »

Montrer la réponse

Réponse

x2 = 0 n'a que 0 comme racine

Montrer la question

Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « tout nombre de la forme 2n + 1, où n est un entier, est un nombre premier »

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Réponse

15 = 2*7 +1, pourtant 15 n'est pas premier

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Question

Si n est un entier naturel, alors n2 > n. Est-ce vrai ?

Montrer la réponse

Réponse

Si n = 1, alors n2 = n et cette affirmation n'est donc pas vraie.

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Question

Si p et q sont des entiers naturels, alors pq > p et pq > q. Est-ce vrai ?

Montrer la réponse

Réponse

Non, en effet si p = 1 et q et n'importe quel entier naturel, alors ce n'est pas vrai.

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Question

Les entiers qui se terminent par un 7 sont premiers. Est-ce vrai ?

Montrer la réponse

Réponse

27 = 3*9 et donc n'est pas premier

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Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « la somme de 2 et tout autre nombre premier est aussi un nombre premier »

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Réponse

2+7 = 9

2 et 7 sont premiers, mais 9 ne l'est pas.

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Question

La somme de deux nombres irrationels est toujours irrationnel. Vrai ou faux ?

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Réponse

C'est faux car pi et -pi sont tous les deux des nombres irrationnels. Or, pi + (-pi) = 0, qui est rationnel.

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Question

Est-ce vrai que la somme deux nombres est toujours plus grand que chacun des nombres ?

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Réponse

Non, par exemple, -1 + 1 = 0, mais 0 > -1

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Question

Est-ce vrai que toutes les droites dans le plan ont une intersection ?

Montrer la réponse

Réponse

Non, les droites parallèles, par exemple y = x et y =x +2, n'ont pas d'intersection. 

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Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « si p est un nombre rationnel, alors la racine carrée de p est un nombre irrationnel. » 

Montrer la réponse

Réponse

Tout carré est un contre-exemple, par exemple la racine carrée de 9 est 3, qui n'est pas irrationnel. 

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Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « tout nombre réel est un nombre rationnel. »

Montrer la réponse

Réponse

pi et la racine carrée de 2 sont des nombres réels, pourtant ils ne sont pas rationnels. 

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Question

Trouve un contre-exemple à l'affirmation suivante : « le produit de deux nombres positifs est toujours supérieur à chacun des deux nombres »

Montrer la réponse

Réponse

0,5 et 0,2 sont deux nombres positifs, pourtant leur produit est 0,1 plus petit que 0,5 et 0,1

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Question

Trouve un x qui ne vérifie pas x2 - 9 > 0.

Montrer la réponse

Réponse

Tout nombre réel entre -3 et 3 est un contre-exemple à cette inégalité.

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