T'est-il déjà arrivé de réfléchir au fait que le premier nombre n'est pas un nombre premier ? En effet, \(1\) n'est pas un nombre premier. Dans ce résumé de cours, nous allons d'abord définir ce qu'est un nombre premier. Nous donnerons après une liste des premiers nombres premiers. Par la suite, nous expliquerons comment savoir si un nombre est premier, sans et avec un algorithme. Pour terminer, nous détaillerons ce que sont les nombres premiers entre eux.
Nombre premier : définition
Un nombre premier est un nombre entier qui a deux diviseurs : \(1\) et lui-même.
Un nombre composé est un nombre qui a plus que deux diviseurs.
Rappelons qu'un nombre \(n\) admet un nombre entier \(k\) comme diviseur s'il existe un autre nombre entier \(m\) tel que \(n = mk\). Autrement dit, un diviseur de \(n\) est un nombre entier par lequel nous pouvons diviser \(n\) sans avoir de reste.
\(5\) est un nombre premier, comme ses seuls diviseurs sont \(1\) et \(5\).
\(12\) est un nombre composé ; ses diviseurs sont \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\) et \(12\).
Liste des nombres premiers
Voici une liste des nombres premiers rangés par dizaine :
- \(2\), \(3\), \(5\), \(7\) ;
- \(11\), \(13\), \(17\), \(19\) ;
- \(23\), \(29\) ;
- \(31\), \(37\) ;
- \(41\), \(43\), \(47\).
Les nombres premiers suivants sont : \(53\), \(59\), \(61\), \(67\), \(71\), \(73\), \(79\), \(83\), \(89\) et \(97\). Garde à l'esprit qu'il n'y a pas de plus grand nombre entier, car il en existe une infinité.
N'aie pas peur ! Tu n'as pas besoin de te souvenir de tous ces nombres premiers. Connaître les nombres premiers plus petits que \(20\) suffit largement.
Observe que \(1\) n'est pas dans cette liste de nombre premiers. C'est un petit spoiler par rapport à la section suivante.
1 est-il un nombre premier ?
Le nombre \(1\) n'est pas premier. Dans un premier temps, \(1\) ne satisfait pas la définition d'un nombre premier, comme il n'a qu'un seul diviseur, et pas deux. En effet, au cours de l'histoire, les scientifiques ont défini des nombres premiers pour que les théorèmes fonctionnent comme ils doivent.
\(1\) n'est pas un nombre premier car il ne dispose pas de certaines propriétés qu'ont les nombres premiers. Dans cette optique, nous aurions besoin de réécrire plusieurs théorèmes mathématiques portant sur les nombres premiers, tels que le crible d'Ératosthène et la fonction indicatrice d'Euler.
Comment savoir si un nombre est premier ?
Pour savoir si un nombre est premier, il faut vérifier que ce nombre n'a aucun autre diviseur à part lui-même et \(1\). Pour cela, il y a plusieurs approches. Considérons un nombre entier \(n\). Le plus basique est de déterminer si tout entier inférieur à \(n\) est un diviseur de \(n\) ou pas.
Pour alléger le travail que nous avons à faire, nous pouvons également utiliser les critères de divisibilité et les résultats de base sur les diviseurs. En particulier, si \(k\) n'est pas un diviseur de \(n\), alors aucun multiple de \(k\) peut être un diviseur de \(n\).
Considère le nombre \(1093\). Comme son dernier chiffre n'est pas pair, ce nombre n'est pas divisible par \(2\). Par conséquent, nous n'avons pas besoin de vérifier que \(1093\) soit divisible par \(4\), \(6\), \(8\) — ou aucun autre multiple de \(2\).
Il existe une autre propriété que nous utilisons pour savoir si un nombre est premier. Si \(n\) a un diviseur à part lui-même et \(1\), alors \(n\) a un diviseur qui est inférieur à la racine carrée de \(n\). Cela veut dire qu'il est seulement nécessaire de vérifier s'il y a un nombre qui divise \(n\) entre \(1\) et la racine carrée de \(n\).
Considère l'entier \(103\). Comme \(100 < 103 < 121\), alors \(\sqrt{100} = 10 < \sqrt{103} < 11 = \sqrt{121}\). Il suffit de considérer si \(103\) est divisible par les nombres entiers entre \(2\) et \(10\), compris.
L'exemple précédent montre qu'en appliquant judicieusement certains résultats, il est possible de drastiquement réduire le travail nécessaire pour savoir si un nombre est premier. Or, pour de grands nombres, il est préférable d'implémenter un algorithme à l'aide d'un logiciel de programmation.
Identifier un nombre premier avec un algorithme
Nous pouvons également utiliser des algorithmes pour savoir si un nombre est premier. Pour cela, il faut rédiger les étapes utilisées dans la section précédente pour qu'un ordinateur puisse les effectuer. Dans ce résumé de cours, nous implémenterons les algorithmes en Python.
Fig. 1 - Un algorithme simple pour déterminer si un nombre est premier, implémenté en Python
Nous pouvons améliorer ce script si la boucle n'est effectuée que pour les nombres entiers entre \(2\) et la partie entière (floor) de la racine carrée de \(n\).
Fig. 2 - Nous pouvons légèrement modifier notre algorithme simple pour gagner en efficacité
Il y a plusieurs algorithmes que tu pourrais implémenter, mais certains sont plus efficaces que d'autres. Pour créer un algorithme plus efficace ou plus rapide, il convient de faire le moins de calculs possibles. Or, pour des nombres assez petits, tu ne verras pas de différence significative dans le temps de calcul.
Que sont les nombres premiers entre eux ?
Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres dont le plus grand commun diviseur, ou PGCD, est 1.
Peux-tu déterminer si \(44\) et \(21\) sont des nombres premiers entre eux ?
Les diviseurs de \(21\) sont \(1\), \(3\), \(7\) et \(21\).
Les diviseurs de \(44\) sont \(1\), \(2\), \(4\), \(11\), \(22\) et \(44\).
Le PGCD de \(21\) et \(44\) est donc \(1\). Ainsi, ces nombres sont premiers entre eux.
Les nombres premiers entre eux jouent un rôle important dans l'arithmétique. En particulier, ils permettent de décrire certaines propriétés de divisibilité de base, comme le lemme de Gauss. De même, plusieurs théorèmes portent sur les nombres premiers entre eux, comme le théorème de Bézout et le théorème des restes chinois.
Nombres premiers - Points clés
- Un nombre premier est un nombre entier qui a seulement deux diviseurs : \(1\) et lui-même.
- Il n'est pas nécessaire de se souvenir de tous les nombres entiers, mais il convient de garder à l'esprit les premiers : \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), \(17\), ...
- En revanche, \(1\) n'est pas un nombre premier.
- Pour savoir si un nombre \(n\) est premier, il faut vérifier que \(n\) n'est divisible que par lui-même et 1. Pour cela, il faut utiliser les critères de divisibilité.
- Pour des plus grands nombres, nous devons privilégier l'utilisation de logiciels de programmation pour savoir si un nombre est premier.
- Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres dont le plus grand commun diviseur, ou PGCD, est 1.
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