Si nous ne simplifions pas nos fractions, est-ce la fin du monde ? Non, mais c'est quand-même important de le faire. Simplifier une fraction revient à l'écrire sous forme de fraction irréductible. Dans ce résumé de cours, nous allons d'abord expliciter ce qu'est une fraction irréductible. Nous expliquerons comment utiliser des critères de divisibilité et comment faire une décomposition en facteurs premiers. Ces deux étapes sont essentielles pour rendre une fraction irréductible. Pour terminer, nous détaillerons le théorème fondamental de l'arithmétique.
Qu'est-ce qu'une fraction irréductible ?
Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut pas être simplifiée. En d'autres termes, il s'agit d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun facteur commun à part \(1\).
Rappel : le numérateur est le chiffre en haut et le dénominateur est le chiffre en bas.
Considère les fractions \(\frac{7}{13}\) et \(\frac{2}{4}\). Sais-tu laquelle est une fraction irréductible ?
\(\frac{7}{13}\) est une fraction irréductible.
En revanche, nous pouvons simplifier la fraction \(\frac{2}{4}\), donc elle n'est pas irréductible. En effet, \(2\) et \(4\) ont \(2\) comme facteur commun. De plus, \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
Si une fraction n'est pas irréductible, nous pouvons la rendre irréductible. Pour cela, il faut d'abord connaître les critères de divisibilité.
Les critères de divisibilité
Il est nécessaire d'utiliser les critères de divisibilité pour rendre une fraction irréductible. Rappelons d'abord quelques critères de divisibilité importants. Un nombre est divisible par :
\(2\) si son dernier chiffre est pair (divisible par \(2\)) ;
\(3\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(3\) ;
\(4\) si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par \(4\) ;
\(5\) si son dernier chiffre est \(0\) ou \(5\) ;
\(8\) si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par \(8\) ;
\(9\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(9\).
Voyons des exemples de comment appliquer ces critères de divisibilité.
Le nombre \(124\) est-il divisible par \(4\) ?
Oui ! En effet, le nombre formé par ses deux derniers chiffres \(24\) est divisible par \(4\).
Est-ce que \(234\) est divisible par \(6\) ?
Pour déterminer si un nombre est divisible par \(6\), nous devons déterminer s'il est divisible par \(2\) et par \(6\), comme \(6 = 2 \times 3\).
Dans un premier temps, le dernier chiffre de \(234\) est \(4\), qui est pair. Nous pouvons donc dire que \(124\) est divisible par \(2\).
Par ailleurs, la somme des chiffres de \(234\) est \(2 + 3 + 4 = 9\), qui est divisible par \(9\). Nous pouvons en déduire que \(224\) est divisible par \(3\).
Ainsi, comme \(224\) est divisible par \(2\) et par \(3\), ce nombre est divisible par \(6\).
Nous pouvons alors appliquer les critères de divisibilité à la décomposition en facteurs premiers.
Décomposition en facteurs premiers
Un nombre peut être décomposé en produit de facteurs premiers, par exemple \(12 = 2 \times 2 \times 3\). Pour faire une décomposition en facteurs premiers d'un nombre \(n\), nous devons :
diviser \(n\) par le premier nombre premier qui est un facteur, autant de fois que possible ;
répéter l'étape précédente pour tous les nombres premiers qui sont des facteurs de \(n\) jusqu'à obtenir \(1\) ;
la décomposition est donnée par le produit des facteurs premiers de \(n\), avec chaque nombre dans le produit apparaissant autant de fois que nous avons pu diviser \(n\) par celui-ci.
Pour des rappels sur les nombres premiers, n'hésite pas à consulter notre résumé de cours à ce sujet.
Il est beaucoup plus clair comment faire une décomposition en facteurs premiers avec un exemple.
Peux-tu décomposer \(36\) en produit de facteurs premiers ?
Le premier nombre premier qui est un facteur de \(36\) est \(2\).
Il faut donc diviser \(36\) par \(2\) autant de fois que possible.
\(36 \div 2 = 18\)... \(18\) est divisible par \(2\) ; nous pouvons continuer.
\(18 \div 2 = 9\)... \(9\) n'est pas divisible par \(2\) ; nous devons passer au prochain nombre premier.
\(9\) est divisible par \(3\).
\(9 \div 3 = 3\)... \(3\) est divisible par \(3\) ; nous pouvons continuer.
\(3 \div 3 = 1\)... Nous pouvons arrêter de diviser.
La décomposition en facteurs premiers de \(36\) est alors \(36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2\).
La décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers nous aide à rendre une fraction irréductible.
Rendre une fraction irréductible
Pour rendre une fraction irréductible, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur. Pour connaître le plus grand commun diviseur de deux nombres, nous nous servons de leurs décompositions en facteurs premiers.
Rappelons qu'un diviseur commun de deux nombres est un nombre qui est un facteur des deux nombres. Le plus grand commun diviseur, ou PGCD, est donc le plus grand des diviseurs communs.
Sais-tu comment déterminer le plus grand commun diviseur de \(12\) et \(16\) ?
Les diviseurs de \(12\) sont \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\) et \(12\).
Les diviseurs de \(16\) sont \(1\), \(2\), \(4\), \(8\) et \(12\).
Les diviseurs communs de \(12\) et \(16\) sont \(1\), \(2\) et \(4\).
Ainsi, le PGCD de \(12\) et \(16\) est \(4\).
Une fois le PGCD déterminé, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD pour obtenir la fraction irréductible.
Peux-tu écrire \(\frac{12}{16}\) comme fraction irréductible ?
Comme le PGCD de \(12\) et \(16\) est \(4\), nous devons diviser le numérateur le dénominateur par \(4\).
Ainsi, \(\frac{12}{16} = \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4}\)
Lorsque nous avons des nombres plus grands, il convient de les décomposer en produit de facteurs premiers pour rendre la fraction irréductible. Au lieu de diviser par le plus grand commun diviseur, nous diviserons par tous les facteurs communs.
Peux-tu écrire \(\frac{63}{105}\) comme fraction irréductible ?
La décomposition en produit de facteurs premiers de \(63\) est \(3 \times 3 \times 7\).
La décomposition en facteurs premiers de \(105\) est \(3 \times 5 \times 7\).
Nous avons alors \(\frac{63}{105} = \frac{3 \times 3 \times 7}{3 \times 5 \times 7} = \frac{3}{5}\).
Théorème fondamental de l'arithmétique
Le théorème fondamental de l'arithmétique précise que tout nombre entier supérieur à \(2\) peut être écrit de façon unique sous forme de produit de nombres premiers. Autrement dit, il n'y a qu'une seule décomposition en produit de nombres premiers pour un nombre donné.
Ce théorème est utile pour la résolution de nombreux problèmes mathématiques. Il s'applique également à démontrer des théorèmes. En particulier, le théorème fondamental de l'arithmétique peut être utilisé pour démontrer qu'il y a une infinité de nombres premiers.
Fractions irréductibles - Points clés
- Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun facteur commun sauf \(1\).
- Un nombre est divisible par :
- \(2\) si son dernier chiffre est pair (divisible par \(2\)) ;
- \(3\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(3\) ;
- \(5\) si son dernier chiffre est \(0\) ou \(5\).
- Pour effectuer une décomposition en produit de facteurs premiers d'un nombre \(n\), nous devons :
- diviser \(n\) par le premier nombre premier qui est un facteur, autant de fois que possible ;
- répéter l'étape précédente pour les autres nombres premiers qui sont des facteurs de \(n\) jusqu'à obtenir \(1\) ;
- la décomposition est le produit des facteurs premiers de \(n\), avec chaque nombre dans le produit apparaissant autant de fois que nous avons pu diviser \(n\) par celui-ci.
- Pour rendre une fraction irréductible, nous devons diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, ou de façon équivalente, par tous les facteurs communs.
- Le théorème fondamental de l'arithmétique affirme que la décomposition en produit de nombres premiers pour un nombre donné est unique.
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