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Division euclidienne

Tu sais déjà que \(20\) divisé par \(5\) égal \(4\). Alors, qu'en est-il de la division euclidienne de ces deux nombres ? Dans ce résumé de cours, nous définirons d'abord la division euclidienne, aussi appelée division entière. Par la suite, nous te montrerons comment faire une division euclidienne, à la main, sur le logiciel Python et avec des polynômes, pour les plus avancés. 

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Tu sais déjà que \(20\) divisé par \(5\) égal \(4\). Alors, qu'en est-il de la division euclidienne de ces deux nombres ? Dans ce résumé de cours, nous définirons d'abord la division euclidienne, aussi appelée division entière. Par la suite, nous te montrerons comment faire une division euclidienne, à la main, sur le logiciel Python et avec des polynômes, pour les plus avancés.

Qu'est ce qu'une division euclidienne ?

Faire une division euclidienne, également appelé division entière, est un type de division qui n'est effectuée qu'avec des entiers naturels.

Soient \(a\), \(b\), \(q\) et \(r\) des entiers naturels, avec \(b\) non-nul. Faire la division euclidienne de \(a\) par \(b\) consiste à déterminer \(q\) et \(r\), avec \(b > r \geq 0\), tels que \(a = bq + r\).

\(a\) est appelé le dividende.

\(b\) est appelé le diviseur.

\(q\) est appelé le quotient.

\(r\) est appelé le reste.

Voici un exemple d'une division euclidienne.

La division euclidienne de \(17\) par \(5\) est \(17 = 5 \times 3 + 2\). Le quotient est \(3\) et le reste est \(2\)

Si le reste d'une division entière est égale à \(0\), alors nous savons qu'un nombre est un multiple de l'autre. Plus spécifiquement, si nous avons \(a = bq\), alors \(a\) est un multiple de \(b\). Nous pouvons également dire que \(b\) et \(q\) sont des diviseurs de \(a\).

La division euclidienne de \(15\) par \(3\) est \(15 = 3 \times 5\). Comme le reste par division euclidienne est nul, nous pouvons dire que \(15\) est un multiple de \(3\), ou de façon équivalente, que \(3\) est un diviseur de \(15\).

Il est également possible de définir la division euclidienne pour les entiers négatifs. En effet, l'aspect clé de la division euclidienne, c'est qu'il s'agit d'une division entière.

Division entière

La division entière est un autre nom pour la division euclidienne. Elle s'appelle ainsi car les nombres utilisés pour une division entière sont... des entiers. Dans la section précédente, nous avons défini la division entière pour des entiers naturels. Or, nous pouvons également définir la division entière, ou division euclidienne, pour les nombres entiers.

Soient \(a\), \(b\), \(q\) et \(r\) des nombres entiers relatifs, avec \(b\) non-nul. Faire la division euclidienne de \(a\) par \(b\) consiste à déterminer \(q\) et \(r\), avec \(|b| > r \geq 0\), tels que \(a = bq + r\).

Rappel : \(|b|\) est la valeur absolue de \(b\). Si \(b\) est positif, alors \(|b| = b\). Si \(b\) est négatif, alors \(|b| = -b\).

La division entière de \(10\) par \(-3\) est \(17 = -3 \times -3 + 1\). Observe que même si le reste \(1\) est supérieur au diviseur \(-3\), le reste est toujours inférieur à la valeur absolue du diviseur.

Alors, maintenant que tu sais ce qu'est une division euclidienne, nous te montrerons comment faire une division euclidienne.

Comment faire une division euclidienne ?

Effectuer une division euclidienne, ou division entière, de \(a\) par \(b\) consiste à déterminer \(q\) et \(r\), avec \(b > r \geq 0\), tels que \(a = bq + r\). Alors, comment faire une division euclidienne ? Il faut :

  • déterminer le plus grand multiple de \(b\) qui est plus petit que \(a\). Ce multiple est égal à \(bq\) ;

  • calculer la différence \(bq - a\), pour avoir le reste \(r\).

Une fois que nous avons pris l'habitude, faire une division euclidienne est très simple. Voyons donc quelques exemples.

Exemples de la division euclidienne

Voici un exemple de comment de la division euclidienne avec deux nombres entiers positifs.

Sais-tu faire la division euclidienne de \(25\) par \(8\) ?

D'abord, il faut déterminer (ou se rappeler) les multiples du diviseur \(8\).

Les multiples de \(8\) sont \(8\), \(16\), \(24\), \(32\), ...

Le plus grand multiple de \(8\) qui est plus petit que \(25\) est \(24 = 3 \times 8\).

Calculons maintenant le reste : \(25 - 24 = 1\).

Ainsi, la division euclidienne de \(25\) par \(8\) est \(25 = 3 \times 8 + 1\).

Si l'un des nombres fournis est négatif, les étapes sont les mêmes, mais il se peut que nous devons considérer des multiples obtenus en multipliant par des nombres négatifs. Voici un exemple de la division euclidienne avec un nombre positif et un nombre négatif.

Est-ce que tu peux faire la division euclidienne de \(27\) par \(-6\) ?

D'abord, il faut les multiples du diviseur \(-6\).

Les multiples de \(-6\) sont \(-1 \times -6 = 6\), \(-2 \times -6 = 12\), \(-3 \times -6 = 18\), \(-4 \times -6 = 24\), \(-5 \times -6 = 30\), ...

Le plus grand multiple de \(-6\) qui est plus petit que \(27\) est \(24 = -4 \times -6\).

Calculons maintenant le reste : \(27 - 24 = 3\).

Ainsi, la division euclidienne de \(27\) par \(-6\) est \(27 = -4 \times -6 + 3\).

Lorsque les nombres sont petits, faire une division euclidienne est assez simple. Or, quand il s'agit de plus grands nombres, il est possible d'implémenter un algorithme à l'aide d'un logiciel de programmation, tel que Python.

Faire la division euclidienne avec Python

Pour faire la division euclidienne avec Python, il existe des instructions spécifiques :

  • pour trouver le quotient de la division euclidienne de a par b, nous tapons a//b ;

  • pour trouver le reste, nous tapons a%b.

Si tu as déjà travaillé avec Python, tu peux défiler vers le bas pour voir un exemple de comment utiliser ces instructions. Si tu n'as pas encore fait de la programmation, lis d'abord les paragraphes suivants.

Comme les humains communiquent avec des langues comme le français, l'anglais et l'arabe, nous pouvons communiquer avec un ordinateur grâce à un langage de programmation. Tout comme il y a plusieurs langages naturels, il y a plusieurs langages de programmation. Un des plus simples utilisés en mathématiques est Python, que nous allons utiliser pour trouver la division euclidienne de plus grands nombres entiers.

Si tu te sens à l'aise, n'hésite pas à installer Python (nous utiliserons l'environnement Spyder), et essayer les instructions que nous présenterons en même temps. Tu peux également l'utiliser depuis ton navigateur web : https://hub.ovh2.mybinder.org/user/spyder-ide-binder-environments-jhoku01m/desktop/

Voici un exemple de comment faire une division euclidenne avec Python.

Est-ce que tu vas arriver à déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de \(250032\) par \(71\) ?

Pour déterminer le quotient, nous pouvons taper 250032//71 dans la console et ensuite appuyer sur Entrée.

Division euclidienne Instruction Python StudySmarterFig. 1 - Déterminer le quotient par division euclidienne avec Python

Similairement pour déterminer le reste, nous tapons 250032%71 dans la console et ensuite appuyons sur Entrée.

Division euclidienne Instruction Python StudySmarterFig 2. - Déterminer le reste par division euclidienne avec Python

Tout comme nous pouvons effectuer la division euclidienne avec des nombres entiers, nous pouvons également faire la division euclidienne de polynômes.

La division euclidienne des polynômes

La division euclidienne des polynômes est le seul type de division couramment effectuée sur des polynômes. La division des polynômes est particulièrement utile pour la factorisation, qui elle-même aide dans la résolution des équations. Cette opération consiste à répéter la division euclidienne plusieurs fois. Le reste après une division devient le dividende à l'étape suivante.

Voyons comment effectuer la division euclidienne des polynômes à l'aide d'un exemple.

Divisons l'expression polynomiale \(x^3 + 2x^2 - 2x +3\) par \(x+2\).

Nous devons effectuer la division euclidienne plusieurs fois avec \(x+2\) comme diviseur.

Le reste après chaque division devient le nouveau dividende.

Pour calculer le reste, nous utilisons la relation \(\text{reste} = \text{dividende} - (\text{quotient} \times \text{diviseur})\).

Nous arrêtons lorsque le quotient est \(0\).

Dividende QuotientReste
\(x^3 + 2x^2 - 2x +3\)\(x^2\)\(x^3 + 2x^2 - 2x +3 - \) \(x^2(x+2) \)\(=-2x + 3\)
\(=-2x + 3\)\(-2\)\(-2x + 3 - (-2)(x+2)\)\(=7\)
\(7\)\(0\)

Pour obtenir le quotient de la division euclidienne des deux polynômes donnés au départ, nous devons faire la somme des quotients dans la colonne au milieu. Le reste est le dernier reste calculé.

Ainsi, nous obtenons \(x^3 + 2x^2 - 2x +3 = (x^2 - 2)(x+2) + 7\).

Division euclidienne - Points clés

  • Faire la division euclidienne de \(a\) par \(b\), entiers naturels, consiste à déterminer \(q\) et \(r\), avec \(b > r \geq 0\), tels que \(a = bq + r\).

  • Nous pouvons étendre cette définition à des nombres entiers relatifs, où nous aurions plutôt la condition \(|b| > r \geq 0\) sur \(r\).

  • Pour faire une division euclidienne, nous devons d'abord déterminer le plus grand multiple de \(b\) qui est plus petit que \(a\). Ce multiple est égal à \(bq\). Pour calculer le reste, nous utilisons la relation \(bq - a\).

  • Nous pouvons effectuer la division euclidienne avec Python, grâce à l'instruction \(a//b\) pour trouver le quotient de \(a\) divisé par \(b\), et \(a \% b\) pour trouver le reste.

  • Nous pouvons également faire la division euclidienne de polynômes.

Questions fréquemment posées en Division euclidienne

Effectuer la division euclidienne de a par b consiste à déterminer q et r, tels que a = bq + r. Pour ce faire, il faut déterminer le plus grand multiple de b qui est plus petit que a. Ce multiple est égal à bq. Il faut ensuite calculer le reste avec r = bq - a.

La différence entre la division « ordinaire » et la division euclidienne est que la division euclidienne s'effectue qu'entre nombres entiers. De plus, la division euclidienne nous fournit un quotient et un reste alors qu'une division ordinaire ne donne qu'un quotient. 

Effectuer la division euclidienne de a par b consiste à déterminer q et r, tels que a = bq + r. Pour ce faire, il faut déterminer le plus grand multiple de b qui est plus petit que a. Ce multiple est égal à bq. Il faut ensuite calculer le reste avec r = bq - a.

Elle s'appelle la division euclidienne car cette approche a été dévéloppé par le mathématicien Euclide.  

Euclide fut un mathématicien grec de l'antiquité. Même si son nom est attribué à la division euclidienne, il est également connu pour son travail en géométrie, notamment son livre Éléments

Pour faire la division euclidienne avec Python, il existe des instructions spécifiques : 

  • pour trouver le quotient de la division euclidienne de a par b, nous tapons a//b ;

  • pour trouver le reste, nous tapons a%b. 

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