Formes indéterminées

Considère la limite suivante :

\[ \lim_{x \à 4} \frac{x^2-16}{x-4}\].

Si tu essaies de substituer \(x\N) à \N(4\N) dans la limite ci-dessus, tu trouveras que :

\[ \begin{align} \Nlim_{x \Nà 4} \frac{x^2-16}{x-4} &= \frac{4^2-16}{4-4} \\N- &= \frac{16-16}{4-4} \N- &= \frac{0}{0} \N- [end{align}\N]

qui est une forme indéterminée de :

\[ \frac{0}{0}\]]

Pour évaluer correctement cette limite, tu peux factoriser la différence des carrés, afin d'annuler les termes similaires, c'est-à-dire :

\[ \N- Début{alignement} \Nlim_{x \Nà 4} \frac{x^2-16}{x-4} &= \lim_{x \to 4} \frac{(x+4)\cancel{(x-4)}}{\cancel{(x-4)}} \N- &= \Nlim_{x \Nà 4} (x+4) \N- &= 4+4 \N&= 8\Nend{align}\N]

Dans l'exemple précédent, tu as évalué la limite :

\[ \lim_{x \à 4} \frac{x^2-16}{x-4}\].

En factorisant le numérateur. Si cette factorisation particulière ne te vient pas à l'esprit, tu peux aussi utiliser la règle de L'Hôpital, en obtenant :

\[ \N- début{alignement} \N- Lim_{x \Nà 4} \frac{x^2-16}{x-4} &= \lim_{x \to 4} \frac{2x}{1} \N- &= \Nfrac{2(4)}{1} \N- &= 8\Nend{align} \]

Évalue la limite :

\[ \lim_{x \Nà 0^+} \Nà gauche( \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} \Nà droite)\N].

Solution :

Si tu devais évaluer la limite par substitution directe, tu trouverais que :

\[ \lim_{ x \Nà 0^+} \Nà gauche( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\Nà droite)= \infty - \infty\N].

Il s'agit donc d'une forme indéterminée.

Au lieu de l'évaluer directement, essaie de soustraire les deux fractions, c'est-à-dire :

\[ \lim_{ x \Nà 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} \right)= \lim_{x \Nà 0^+} \left( \frac{x-1}{x^2}\right)\N].

Tu peux donc inspecter la limite par substitution directe.

Le numérateur est négatif et le dénominateur est positif lorsque tu t'approches de \(0\) par la droite, le résultat sera donc l'infini négatif, c'est-à-dire :

• Une forme indéterminée est une expression de deux fonctions dont la limite ne peut pas être évaluée par substitution directe.
  • Les formes indéterminées les plus courantes sont \(0/0\) et \( \pm\infty/\pm\infty\).
  • Les autres formes indéterminées se réfèrent aux expressions \(0 \cdot \infty\), \(0^0\), \( \infty^0\), \(1^\infty\), et \(\infty-\infty\).
• Une limite résultant d'une forme indéterminée qui implique des quotients peut être évaluée à l'aide de la règle de L'Hôpital.
• Par des moyens algébriques, il est possible de transformer les limites qui impliquent les autres formes indéterminées en expressions qui impliquent des quotients, de sorte que tu puisses utiliser la règle de L'Hôpital pour les évaluer.

\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nà gauche( \Nfrac{1}{x}-\Nfrac{1}{x^2} \Nà droite) = -\Ninfty\N].

Évalue la limite

\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nà gauche( \Nfrac{\Ncos{x}}{x}-\Nfrac{1}{x}\Nà droite)\N]

Solution :

Encore une fois, si tu devais évaluer la limite directement, tu trouverais que :

\[ \lim_{x \à 0^+} \left( \frac{\cos{x}}{x}-\frac{1}{x}\right) = \infty-\infty\].

En soustrayant les fractions, tu obtiens :

\[ \lim_{x \Nà 0^+} \left( \frac{\cos{x}}{x}-\frac{1}{x}\Nright) = \lim_{x \Nà 0^+} \frac{\cos{x}-1}{x}\N].

Le cosinus de \N(0\N) est \N(1,\N) de sorte que le numérateur et le dénominateur s'approchent tous deux de \N(0\N) à mesure que \N(x \Ndevient 0.\N) Cela suggère l'utilisation de la règle de L'Hôpital, c'est-à-dire :

\[ \lim_{x \Nà 0^+} \left( \frac{\cos{x}}{x}-\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \Nà 0^+}\frac{\sin{x}}{1}\].

Puisque le sinus de \(0\) est \(0\), tu peux maintenant évaluer la limite, en obtenant :

\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nà gauche( \Nfrac{\Ncos{x}}{x}-\Nfrac{1}{x}\Nà droite) =0\N].

Évalue la limite

\N[ \Nlim_{x \Nà \Nfty} x\N, e^{-x}.\N]

Solution :

Comme d'habitude, commence par essayer d'évaluer la limite directement. La limite en tant que \(x \Nà \Nfty\N) de \N(e^{-x}\N) est \N(0\N), tu as donc affaire à une forme indéterminée de \N( \Nfty \Ncdot 0\N). Pour utiliser L'Hôpital, note que tu peux écrire \(e^{-x}\) comme \(e^x\) au dénominateur, c'est à dire

\N[ \Nlim_{x \Nà \Nfty} x\N,e^{-x} = \Nlim_{x \Nà \Nfty}\Nfrac{x}{e^x}.\N]

Tu as maintenant une forme indéterminée de \( \infty/\infty\), alors utilise la règle de L'Hôpital,

\[ \begin{align} \_lim_{x \à \infty} x\N,e^{-x} &= \_lim_{x \à \infty} \frac{1}{e^x}\\N- &= 0. \Nend{align}\N]

Évalue la limite

\N-[\Nlim_{x \Nà 0^+} x^x.\N]

Solution :

Commence par étiqueter la limite, à savoir

\[ L = \lim_{x \à 0^+}x^x.\]

À partir de là, tu peux prendre le logarithme naturel des deux côtés, c'est-à-dire

\[ \ln{L}=\ln{\left( \lim_{x \to 0^+} x^x \right)}.\]

Comme le logarithme naturel est une fonction continue, tu peux le déplacer à l'intérieur de la limite et utiliser les propriétés des logarithmes naturels, donc

\[ \begin{align} \ln{L} &= \lim_{x \Nà 0^+} \left( \ln{x^x} \right) \ln{L} &= \ln{x \Nà 0^+} x\ln{x}. \N- [Fin{align}\N]

Comme \(x \à 0^+\), le logarithme naturel va à l'infini négatif, l'expression ci-dessus est donc une forme indéterminée de \(0 \cdot \infty\), que tu peux travailler à l'aide d'un peu d'algèbre

\[ \begin{align} \ln{L} &= \lim_{x \to 0^+} x\ln{x} \N- &= \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nfrac{\N{x}}{\Nfrac{1}{x}}, \Nfin{align}\N]

et utilise ensuite la règle de L'Hôpital, donc

\[ \begin{align} \ln{L} &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} \N- &= \Nlim_{x \Nà 0^+} (-x) \N- &= 0. \N-end{align} \]

Enfin, annule le logarithme naturel en utilisant la fonction exponentielle, donc

\N[ \N- L &= e^0 \N- &= 1. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

Évalue la limite

\N-[\Nlim_{x \Nà 0^+} \Nà gauche(\Nfrac{1}{x}-\Ncsc{x} \Nà droite).\N]

Solution :

Commence par rappeler que la fonction cosécante est la réciproque de la fonction sinus, donc

\[ \N- \N{ x \Nà 0^+} \Nà gauche( \Nfrac{1}{x}-\Nc{x} \Nà droite) = \N- \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nà gauche( \Nfrac{1}{x}-\Nfrac{1}{\Nsin{x}}\Nà droite).\N- \N- \N- \Nà gauche( \Nfrac{1}{x}{\Nà droite).\N]

Lorsque \(x\) s'approche de zéro depuis la droite, les deux termes vont à l'infini, tu as donc une forme indéterminée de \( \infty-\infty\). Contourne le problème en soustrayant les fractions

\[ \lim_{ x \Nà 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{\sin{x}}\right) = \lim_{x \Nà 0^+} \left( \frac{\sin{x}-x}{x\sin{x}}\right),\]

qui est maintenant une forme indéterminée de \(0/0\). Utilise la règle de L'Hôpital, c'est-à-dire

\[ \lim_{ x \Nà 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{\sin{x}}\right) = \lim_{x \Nà 0^+} \frac{\cos{x}-1}{\sin{x}+x\cos{x}},\N].

Mais tu verras qu'il s'agit d'une autre forme indéterminée de \(0/0\). Utilise à nouveau la règle de L'Hôpital, donc

\[ \lim_{ x \Nà 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{\sin{x}}\right) = \lim_{x \Nà 0^+} \frac{\sin{x}}{\cos{x}+\cos{x}-x\sin{x}},\]

qui peut maintenant être évaluée, ce qui donne

\[ \lim_{ x \Nà 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{\sin{x}}\Nright) =0.\N].

Évalue la limite

\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} x\Ncot{x}.\N]

Solution :

Rappelle-toi que la fonction cotangente est la réciproque de la fonction tangente. Puisque \(\tan{0}=0\), la cotangente va à l'infini lorsqu'elle est approchée par la droite, il s'agit donc d'une forme indéterminée de \(0 \cdot \infty.\) Pour résoudre ce problème, réécris la cotangente comme la réciproque de la tangente, c'est-à-dire

\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} x\Ncot{x} = \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nfrac{x}{\Ntan{x}},\N]

qui est maintenant une forme indéterminée de \(0/0\), donc utilise la règle de L'Hôpitals

\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} x\Ncot{x} = \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nfrac{1}{\Nsec^2{x}}.\N]

La sécante de \(0\) est égale à \(1\), donc

\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} x\Ncot{x}=1.\N]

Évalue la limite

\[ \lim_{x \Nà \nfty}x^{^1/_x}. \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \N]

Solution :

Comme \(x\) va à l'infini, \(1/x\) va à zéro, il s'agit donc d'une forme indéterminée de \(\infty^0\). Nomme la limite \N(L\N) et trouve son logarithme naturel, c'est à dire

\[ \ln{L} = \ln{\left( \lim_{x \à \infty} x^{^1/_x} \nright)}, \]

et utilise le fait que le logarithme naturel est une fonction continue pour l'introduire à l'intérieur de la limite, donc

\[ \ln{L} = \lim_{ x\to \infty} \ln{\left( x^{^1/_x}\right)}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

Maintenant, utilise les propriétés des logarithmes pour écrire

\N-[ \N- \N-début{alignement} \ln{L} &= \lim_{x \à \infty} \n- gauche( \frac{1}{x} \ln{x}\r droite) \n{L} &= \nlim_{x \nà \nfty} \frac{\ln{x}}{x}\end{align}.\]

La limite ci-dessus est maintenant une forme indéterminée de \(\infty/\infty\), tu peux donc utiliser la règle de L'Hôpital, et obtenir

\[ \begin{align} \ln{L} &= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} \N- &=\frac{0}{1} \\N-= 0.\Nend{align}\N]

Enfin, annule le logarithme naturel en prenant l'exponentielle, ce qui signifie que

\N[ \N- L &= e^0 \N- &= 1. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-]