Limites à l'infini

Considère la fonction \N(f(x)=e^{-x}+1,\N) et décide si

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=L \]

existe.

Solution

Tout d'abord, examinons le graphique de la fonction. D'après ce que tu sais des fonctions exponentielles (voir Fonctions exponentielles), un bon candidat pour la limite est \(L=1\). Sur le même graphique que la fonction, représente donc les droites \N(y=1\N), \N(y=1-\epsilon=0,98\N) et \N(y=1+\epsilon=1,02\N). Bien que tu ne connaisses pas exactement la valeur de \(\epsilon\), tu sais qu'il s'agit d'un petit nombre positif.

Fig. 1. Représentation graphique d'une fonction pour trouver la limite à l'infini

Tu peux donc voir que pour le graphique ci-dessus, tant que \(x>4\) le graphique de \(f(x)\)est coincé entre les lignes \(y=1-\epsilon\) et \(y=1+\epsilon\). Mais que se passe-t-il si tu as une valeur encore plus petite de \(\epsilon\) ?

Dans le graphique ci-dessous, les lignes originales sont là, mais il y a maintenant deux lignes supplémentaires, \(y=1-\epsilon_{1}=0,0993\) et \(y=1+\epsilon_{1}=1,007\), où \(\epsilon_{1}\) est un nombre plus petit que \(\epsilon\).

Fig. 2. Graphique avec une valeur d'epsilon plus petite pour trouver la limite à l'infini

Comme tu peux le voir sur le graphique ci-dessus, avec cette plus petite valeur de \(\epsilon_{1}\), tu dois prendre \(x>7\) pour t'assurer que la fonction est piégée entre \(y=1-\epsilon_{1}\) et \ (y=1+\epsilon_{1}.\).

En général, la valeur de \(N\) que tu trouves dépend à la fois de la fonction et de la valeur de \(\epsilon\), et au fur et à mesure que tu prends des valeurs de \(\epsilon\) plus petites, tu auras besoin d'une valeur plus grande pour \(N\).

Ainsi, la limite lorsque \(x\) s'approche de l'infini dans cette fonction existe bel et bien,

\[\lim_{x\to\infty}e^{-x}+1=1.\]

Considère la fonction \(f(x)=\sin x\) . Est-ce que

\[\lim_{x\to\infty}f(x)\]

existe-t-elle ?

Solution

La première chose à faire pour trouver la limite est de choisir un candidat pour la valeur de la limite \(L\). Mais si tu essaies de choisir une valeur pour \N(L\N), disons \N(L=1\N), tu trouveras toujours des valeurs de fonction pour \N(f(x)=\sin (x)\N) qui sont à plus de \N(\Ndfrac{1}{2}\N) de \N(L\N) parce que la fonction sinusoïdale oscille entre \N(-1\N) et \N(1\N). En fait, pour tout \N(L\N) que tu essaies de choisir, l'oscillation de la fonction sinusoïdale sera toujours un problème. Donc

\[\lim_{x\to\infty} \sin x\]

n'existe pas.

Prends la fonction \(f(x)=\sqrt{x}\) et montre que

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.\]

Solution

Pour montrer que la limite est l'infini, prends une valeur fixe de \(M>0\). Tu veux que \N(x>N\N) implique que \N(f(x)>M\N), ou en d'autres termes que \N(\sqrt{x}>M\N).

Dans ce cas, il est relativement facile de résoudre \N(x\N) et de trouver que \N(x>M^2\N). En travaillant à rebours, si tu prends \N(N>M^2\), tu sais que \N(x>N>M^2\) impliquera que

\[\sqrt{x}>\sqrt{N}>\sqrt{M^2}=M,\]

et tout se tient car tu sais que \N(N\N) et \N(M\N) sont positifs. Tu as donc montré que

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.\]

En utilisant la fonction

\[f(x)=\frac{1}{x}\sin x,\N]

trouve

\[\lim_{x\\Nà\Nfty} f(x).\N]

Solution

Fais d'abord un graphique de la fonction et un tableau des valeurs de la fonction. Dans le graphique ci-dessous, tu peux voir les points du tableau tracés sur la fonction.

Fig. 3. Utilisation d'un graphique pour trouver la limite d'une fonction.

Tableau 1 - Points du graphique.

D'après le tableau et le graphique, il semble que les valeurs de la fonction se rapprochent de zéro lorsque \(x\à \infty\), mais tu n'en es pas sûr. Puisqu'il s'agit de trouver une limite à l'infini, au lieu de tracer le graphique de \(x=0\) vers la droite, commence par une valeur plus grande de \(x\) pour avoir une meilleure vue.

Fig. 4. Vue agrandie du graphique.

Tableau 2 - Points du graphique.

En déplaçant la fenêtre du graphique, il est beaucoup plus facile de voir que les valeurs de la fonction se rapprochent de zéro à mesure que \(x\Nà\Nfty\N). Tu peux maintenant dire que

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=0.\]

Il est important de combiner les graphiques et les tableaux lorsqu'on essaie de trouver la limite à l'infini. Par exemple, si tu prends la fonction \(f(x)=\sin x,\), tu peux créer le tableau de valeurs suivant :

Tableau 3.- Tableau des valeurs de la fonction. pourrait te faire croire que la limite à l'infini est zéro. Cependant, si tu fais un graphique de la fonction, tu peux voir que \(f(x)=\sin x\) continue d'osciller quelle que soit l'importance des valeurs de \(x\). Ainsi, le simple fait de regarder un tableau peut être trompeur si tu ne fais pas attention à la façon dont tu choisis les valeurs de \(x\) que tu y mets. En sachant ce que tu sais sur la fonction sinus, tu peux affirmer sans risque que\[\lim_{x\to\infty}\sin x\]n'existe pas.

La fonction

\[f(x)=\left(\frac{2}{x}+1\right)\left(\frac{5x^2-1}{x^2}\right)\]

a une asymptote horizontale ? Si oui, trouve son équation.

Solution

Cette fonction n'a pas l'air très amusante sous sa forme actuelle, alors donnons-lui un dénominateur commun et transformons-la d'abord en une fraction,

\[\begin{align}f(x)&=\left(\frac{2}{x}+1\right) \left(\frac{5x^2-1}{x^2}\right)\\&=\left(\frac{2+x}{x}\right)\left(\frac{5x^2-1}{x^2}\right)\\&=\frac{(2+x)(5x^2-1)}{x^3} .\end{align}\]

En regardant, tu peux voir que la puissance la plus élevée du numérateur est égale à la puissance la plus élevée du dénominateur. En multipliant le numérateur et en le divisant par le dénominateur, on obtient ,

\[\begin{align} f(x)&=\frac{(2+x)(5x^2-1)}{x^3}\\&=\frac{10x^2-2+5x^3-x}{x^3}\\&=\frac{5x^3+10x^2-x-2}{x^3}\\&=5+\frac{10}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}.\end{align}\]

En utilisant ce que tu sais sur les polynômes, tu peux voir qu'en fait cette fonction a la propriété suivante

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=5,\]

et que

\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=5,\]

donc cette fonction a pour asymptote horizontale \N(y=5\N).

Pour la fonction

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\]

trouve

\[\lim_{x\to\infty}f(x).\]

Solution

En utilisant le précédent Deep Dive, avec \(r=\frac{2}{3}\), puisque \(x^r\) est défini pour tout \(x>0\), tu sais que

\N- [\N- Début{alignement} \lim_{x\to\infty}f(x) &=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \\N- &=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^r}\N- &=0. \N- [end{align}\N]

Peux-tu appliquer la règle du quotient ci-dessus pour trouver

\[\lim_{x\to\infty}\dfrac{5x+\sin x}{x} ? \]

Solution

Si tu essaies de prendre \(f(x)=5x+\sin x\) et \(g(x)=x\), alors ces deux fonctions ont une limite infinie à l'infini, donc tu ne peux pas appliquer la règle du quotient. Au lieu de cela, tu peux d'abord faire un peu d'algèbre,

\[\begin{align} \frac{5x+\sin x}{x} &=\frac{5x}{x}+\frac{1}{x}\sin x\\\N- &=5+\frac{1}{x}\sin x. \end{align}\N]

Si tu prends \(f(x)=5\) et \(g(x)=\frac{1}{x}\sin x\) tu sais d'après le travail ci-dessus que

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}5=5,\]

et

\[\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\sin(x)=0,\]

tu peux donc utiliser la règle de la somme pour l'obtenir,

\[\N- Début{alignement} \_{x\to\infty}\frac{5x+\sin x}{x} &=\lim_{x\to\infty}5+\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\sin x \N- &=5+0\N- &=5. \N- [end{align}\N]

Alors non, tu ne peux pas utiliser la règle du quotient, mais tu peux utiliser un peu d'algèbre et ensuite la règle de la somme pour trouver la limite.

Revenons à \[f(x)=\frac{1}{x}\sin x,\]

tu sais que pour de grandes valeurs de \(x\),

\[-\frac{1}{x}<\frac{1}{x}\sin x<\frac{1}{x}.\]

De plus ,

\[\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.\]

Par conséquent, par le théorème de l'écrasement, tu sais que,

\[\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\sin x=0.\]

Trouve

\[\lim_{x\to\infty}\frac{\cos(2x)\sin(x^2)+3\sin x-\cos x}{x}\]

s'il existe.

Solution

À première vue, ce problème peut sembler difficile, mais rappelle-toi que les fonctions sinus et cosinus sont toujours limitées entre \(-1\) et \(1\), ce qui signifie que leur produit est également limité entre \(-1\) et \(1\). Cela signifie que

\N- 5<\Ncos(2x)\Nsin(x^2)+3\Nsin x-\Ncos x<5.\N]

C'est parce que

\[\begin{align} -1<\cos(2x)\sin(x^2)<1, \\ -3<3\sin x<3,\end{align} \]

et

\N- -1<\cos x<1,\N]

et tu peux prendre leurs valeurs les plus positives et les plus négatives pour obtenir une borne supérieure et une borne inférieure. Alors maintenant, tu sais,

\[\frac{-5}{x}<\frac{\cos(2x)\sin(x^2)+3\sin x-\cos x}{x}<\frac{5}{x}\]

pour de grandes valeurs de \(x\), et on peut appliquer le théorème de l'écrasement pour obtenir que

\[\lim_{x\to\infty}\frac{\cos(2x)\sin(x^2)+3\sin x-\cos x}{x}=0.\]