Fonctions logarithmiques: Propriétés, Exemples

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La relation entre les fonctions logarithmiques et les fonctions exponentielles

La fonction logarithmique est définie comme l'inverse de la fonction exponentielle. Voir Fonctionsa> inverses pour plus de détails sur la façon dont les fonctions et leurs inverses sont liés, mais en bref, deux fonctions f et g sont inverses l'une de l' autre si ...

$f (g (x)) = x = g (f (x)) .$

Pour plus d'informations sur la façon dont les fonctions et leurs inverses sont liées, voir Fonctions inverses .

Lorsque tu regardes les graphiques d'une fonction exponentielle et de la fonction logarithmique correspondante, ils sont des réflexions l'un sur l'autre sur la ligne $y = x$ . En d'autres termes, si le point $(a, b)$ se trouve sur l'un des graphiques, alors le point $(b, a)$ se trouve sur l'autre graphique.

Fonction logarithmique naturelle graphique montrant que les exponentielles et les logarithmes sont inverses StudySmarter Fonctions inverses | StudySmarter Originals

Règles des fonctions logarithmiques

Tu vas utiliser les règles des logarithmes:

$\log_{b} (1) = 0$
$\log_{b} (b) = 1$
Règle du produit : $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$
Règle du quotient : $\log_{b} (\frac{x}{y}) = \log_{b} (x) - \log_{b} (y)$
Règle de réciprocité : $\log_{b} (\frac{1}{x}) = - \log_{b} (x)$
Règle de la puissance : $\log_{b} (x^{n}) = n \cdot \log_{b} (x)$
Règle proportionnelle (formule de changement de base) : $\log_{b} (x) = \frac{\log_{a} (x)}{\log_{a} (b)}$

Simplifie l'expression $10^{\log_{100} (x)}$ .

Réponse :

Étape 1 : S'il s'agissait d'un logarithme de base 10, la réponse serait $x$ en utilisant les propriétés des fonctions inverses. L'idée est donc d'utiliser la règle des proportions (également connue sous le nom de formule de changement de base) pouren faire d'abord un logarithme en base 10. Il y a deux façons de procéder, et tu obtiendras la même réponse d'une façon ou d'une autre.

La première consiste à utiliser le fait que 10 est le nombre que tu élèves à une puissance :

$\log_{10} (x) = \frac{\log_{100} (x)}{\log_{100} (10)} = \frac{\log_{100} (x)}{\log_{100} (100^{\frac{1}{2}})} = \frac{\log_{100} (x)}{\frac{1}{2} \log_{100} (100)} = 2 \cdot \log_{100} (x)$

La deuxième façon est de regarder le logarithme et de voir qu'il est en base 100, et de l'utiliser pour obtenir :

l o g_{100} (x) = \frac{l o g_{10} (x)}{l o g_{10} (100)} l o g_{100} (x) = \frac{l o g_{10} (x)}{2}

et de résoudre ensuite pour $\log_{10} (x)$ pour obtenir $\log_{10} (x) = 2 \cdot \log_{100} (x) .$ Les deux méthodes fonctionnent, et tu peux utiliser celle qui est la plus facile à comprendre et à retenir.

Tu obtiendras donc

$\log_{100} (x) = \frac{1}{2} \log_{10} (x)$

Étape 2 : Utilise maintenant les propriétés des exposants,

$10^{\log_{100} (x)} = 10^{\frac{1}{2} \log_{10} (x)} = {(10^{\log_{10} (x)})}^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}$

L'expression $10^{\log_{100} (x)}$ complètement simplifiée est

\sqrt{x} = x^{1 / 2}

Erreur courante - Fonctions logarithmiques

Chaque fois que tu utilises les règles des logarithmes, tu dois t'assurer que tu utilises des valeurs pour x qui ont un sens pour la fonction, ainsi que pour la fonction exponentielle, puisqu'elles sont inverses.

Par exemple, tu ne peux pas essayer d'utiliser des valeurs négatives pour $x$ dans $y = \log (x)$ car la fonction exponentielle $g (x) = b^{x}$ est toujours positive. Une valeur négative de x rendrait $g (x)$ négative (x et y s'inversent).Tu ne peux pas non plus utiliser une constante négative pour la base d'un logarithme car tu ne peux pas l'utiliser comme base d'une exponentielle. $b$ dans un logarithme parce que tu ne peux pas l'utiliser comme base d'une fonction exponentielle.

Une fonction logarithmique est toute fonction de la forme $f (x) = \log_{b} (x)$ où $x > 0$ , $b > 0$ , et $b \neq 1$ . Cela signifie que f(x) est égal au logarithme de base b de x.

Lorsque la base b n 'est pas indiquée, on considère qu'elle est égale à 10. Ainsi $\log (x)$ signifie la même chose que $\log_{10} (x)$ .

Quelle est l'inverse de la fonction $f (x) = \log (x)$ ?

Réponse :

Rappelle-toi que lorsqu'aucune base n'est indiquée, on considère qu'elle est égale à 10. L'inverse de $f (x)$ est $f^{- 1} (x) = 10^{x}$ .

Quel est l'inverse de la fonction $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ?

Réponse :

Rappelle-toi que les inverses fonctionnent dans les deux sens ! L'inverse de $g (x)$ est $g^{- 1} (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x)$ .

Cite au moins 3 points sur le graphique de $f (x) = \log_{3} (x)$ sans tracer le graphique de la fonction ou utiliser une calculatrice.

Réponse :

Ce problème semble plus délicat qu'il ne l'est en réalité. Tu sais déjà que l'inverse de $f (x)$ est $f^{- 1} (x) = 3^{x}$ et que si $(a, b)$ est un point sur le graphique de $f (x)$ alors $(b, a)$ est un point sur le graphique de $f^{- 1} (x)$ .

Étape 1 : Les fonctions exponentielles ont une ordonnée à l'origine à $(0, 1)$ , donc le point $(1, 0)$ se trouve sur le graphique de $f (x)$ .

Étape 2 : Pour obtenir deux autres points sur le graphique, évalue les points sur le graphique de $f^{- 1} (x)$ . En choisissant deux valeurs aléatoires, $f^{- 1} (2) = 3^{2} = 9$ .

Étape 3 : Évalue un autre point sur le graphique de $f^{- 1} (x) = 3^{x} .$ $f^{- 1} (3) = 3^{3} = 27 .$

Etape 4 : Donc les points $(2, 9)$ et $(3, 27)$ sont sur le graphique de $f^{- 1} (x)$ . Tu sais donc que les points $(9, 2)$ et $(27, 3)$ sont des points sur le graphique de $f (x)$ .

Ainsi, sans utiliser de calculatrice, tu peux voir que trois points sur le graphique de $f (x)$ sont $(1, 0)$ , $(9, 2)$ , , et $(27, 3)$ .

Propriétés de la fonction logarithmique

Comme les deux fonctions sont équivalentes, tu peux utiliser les propriétés de la fonction exponentielle (voir Fonctions exponentielles ) lorsque tu réfléchis aux propriétés des fonctions logarithmiques. Une fonction exponentielle ne peut pas avoir un nombre négatif pour base, c'est pourquoi la base de la fonction logarithmique ne peut pas être négative non plus. La fonction exponentielle ne prend que des valeurs positives pour y, donc la fonction logarithmique ne peut utiliser que des nombres positifs pour x.

Cela conduit aux propriétés suivantes des fonctions logarithmiques:

le domaine est $(0, \infty)$
l'étendue est $(- \infty, \infty)$
il n'y a pas d'ordonnée à l'origine
l'ordonnée à l'origine est à $(1, 0)$
l'asymptote verticale a pour équation $x = 0$

Représentation graphique des fonctions logarithmiques

Examinons d'abord quelques exemples de fonctions logarithmiques pour voir comment la base b affecte le graphique.

Ici

$f (x) = \log_{2} (x) g (x) = \log_{4} (x) h (x) = \log_{8} (x) k (x) = \log_{16} (x)$

Fonctions logarithmiques graphiques différentes bases StudySmarter Graphiques de logarithmes de différentes bases | StudySmarter Originals

Ils ont tous

ont tous la même asymptote verticale à $x = 0$ .
ont la même interception x à $(1, 0)$ .
sont concaves vers le bas
sont des fonctions croissantes.

Examinons la base des fonctions de l'exemple et utilisons la formule de changement de base.

$g (x) = \log_{4} (x) = \frac{\log_{2} (x)}{\log_{2} (4)} = \frac{\log_{2} (x)}{\log_{2} (2^{2})} = \frac{\log_{2} (x)}{2 \cdot \log_{2} (2)} = \frac{1}{2 \cdot \log_{2} (2)} f (x) h (x) = \log_{8} (x) = \frac{\log_{2} (x)}{\log_{2} (8)} = \frac{\log_{2} (x)}{\log_{2} (2^{3})} = \frac{\log_{2} (x)}{3 \cdot \log_{2} (2)} = \frac{1}{3 \cdot \log_{2} (2)} f (x) k (x) = \log_{16} (x) = \frac{\log_{2} (x)}{\log_{2} (16)} = \frac{\log_{2} (x)}{\log_{2} (2^{4})} = \frac{\log_{2} (x)}{4 \cdot \log_{2} (2)} = \frac{1}{4 \cdot \log_{2} (2)} f (x)$

En réalité, ils sont tous des multiples constants de $f (x)$ .

Et si la base était une puissance fractionnaire de 2 ? Par exemple, si $f (x) = \log_{2} (x)$ mais tu as maintenant

$m (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x)$ , $n (x) = \log_{\frac{1}{4}} (x)$ , et $p (x) = \log_{\frac{1}{8}} (x)$ , puis

m (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x) = \log_{2^{- 1}} (x) = \frac{\log_{2} (x)}{\log_{2} (2^{- 1})} = - \frac{\log_{2} (x)}{\log_{2} (2)} = - \frac{1}{\log_{2} (2)} f (x) n (x) = \log_{\frac{1}{4}} (x) = \log_{2^{- 2}} (x) = \frac{\log_{2} (x)}{\log_{2} (2^{- 2})} = - \frac{\log_{2} (x)}{2 \cdot \log_{2} (2)} = - \frac{1}{2 \cdot \log_{2} (2)} f (x) p (x) = \log_{\frac{1}{8}} (x) = \log_{2^{- 3}} (x) = \frac{\log_{2} (x)}{\log_{2} (2^{- 3})} = - \frac{\log_{2} (x)}{3 \cdot \log_{2} (2)} = - \frac{1}{3 \cdot \log_{2} (2)} f (x)

ce qui signifie qu'il s'agit à nouveau de multiples constants de $f (x)$ mais ils devraient également être inversés sur l'axe des x.

Graphique des fonctions logarithmiques comparant différentes bases et concavité StudySmarter

Logarithmes avec des fractions comme base | StudySmarter Originals

Comme tu peux le voir, ces trois nouvelles fonctions sont

décroissantes,
concaves vers le haut,
ont $x = 0$ comme asymptote verticale, et
ont toutes la même ordonnée à l 'origine à $(1, 0)$ .

Exemples de fonctions logarithmiques

Les fonctions logarithmiques sont utilisées pour modéliser des choses comme le bruit et l'intensité des tremblements de terre. Voyons quelques exemples concrets en action !

Les sons sont mesurés sur une échelle logarithmique à l'aide de l'unité décibels (dB). Le son peut être modélisé à l'aide de l'équation :

d (p) = 10 \log (\frac{p}{p_{0}}) .

Où

$p$ est la puissance du son,
$p_{0}$ est le plus petit son qu'une personne puisse entendre, et
$d (p)$ est le nombre de décibels pour la puissance $p$ :

Disons que tu envisages d'acheter un nouveau haut-parleur. L'enceinte A dit qu'elle a un niveau sonore de 50 décibels, tandis que l'enceinte B dit qu'elle a un niveau sonore de 75 décibels. De combien le son de l'enceinte B est-il plus intense que celui de l'enceinte A ?

Réponse :

Étape 1 : À titre de comparaison, appelle $d_{A} (p)$ le niveau de décibels du haut-parleur A, et $d_{B} (p)$ le niveau de décibels du haut-parleur B. D'après les informations données, tu sais que :

le locuteur A a $50 = 10 \log (\frac{A}{p_{0}})$ où $A$ est la puissance du locuteur A
le haut-parleur B a $75 = 10 \log (\frac{B}{p_{0}})$ où $B$ est la puissance du locuteur B

Étape 2 : Si tu prends l'équation de l'enceinte A et que tu l'écris en termes de $p_{0}$ te permettra de la substituer à l'équation de l'enceinte B. Ainsi

$50 = 10 \log (\frac{A}{p_{0}}) 5 = \log (\frac{A}{p_{0}}) 10^{5} = 10^{\log (\frac{A}{p_{0}})} 10^{5} = \frac{A}{p_{0}} p_{0} = \frac{A}{10^{5}} .$

Étape 3 : Substitue ce résultat à l'équation de l'enceinte B,

$75 = 10 \log (\frac{B}{p_{0}}) 7.5 = \log (\frac{B}{\frac{A}{10^{5}}}) 7.5 = \log (\frac{10^{5} B}{A}) 10^{7.5} = 10^{\log (\frac{10^{5} B}{A})} 10^{7.5} = \frac{10^{5} B}{A} B = \frac{10^{7.5} A}{10^{5}} B \approx 316 A$

Le son émis par l'enceinte B est donc environ 316 fois plus intense que celui de l'enceinte A !

Les tremblements de terre sont mesurés sur une échelle logarithmique appelée échelle de Richter. La magnitude d'un tremblement de terre est une mesure de la quantité d'énergie libérée. Ici $A_{0}$ est l'amplitude de la plus petite onde qu'un sismographe (l'appareil qui mesure l'ampleur des mouvements de la terre) peut mesurer. La formule pour mesurer un tremblement de terre sur l'échelle de Richter est donc la suivante

R (A) = \log (\frac{A}{A_{0}})

où $A$ mesure l'amplitude de l'onde du tremblement de terre. En général, un tremblement de terre se mesure entre 2 et 10 sur l'échelle de Richter. Ceux qui atteignent moins de 5 sur l'échelle sont considérés comme relativement mineurs, et ceux qui dépassent 8 sur l'échelle sont susceptibles de causer beaucoup de dégâts. En fait, un tremblement de terre de magnitude 5 est 10 fois plus puissant qu'un tremblement de terre de magnitude 4.

Suppose qu'un tremblement de terre dans l'Indiana ait une magnitude de 8,1 sur l'échelle de Richter, mais qu'un tremblement de terre survenu le même jour en Californie ait été 1,26 fois plus intense. Quelle était la magnitude du tremblement de terre en Californie ?

Réponse :

Étape 1 : En utilisant la définition de l'échelle de Richter, et en utilisant $A_{I n d}$ pour l'amplitude du tremblement de terre de l'Indiana, le tremblement de terre de l'Indiana a eu une magnitude de 1,26 fois.

R (A_{I n d}) = 8.1 = \log (\frac{A_{I n d}}{A_{0}}),

Étape 2 : Fais passer chaque côté en base 10 et résous la question suivante

A_{I n d}

$10^{8.1} = 10^{\log (\frac{A_{I n d}}{A_{0}})} 10^{8.1} = \frac{A_{I n d}}{A_{0}} A_{I n d} = 10^{8.1} A_{0} .$

Tu peux maintenant utiliser le fait que le tremblement de terre de Californie était 1,26 fois plus intense que celui de l'Indiana, ou en d'autres termes, si $A_{C a l}$ est l'amplitude du tremblement de terre en Californie, alors $A_{C a l} = 1.26 A_{I n d}$ . Donc

$R (A_{C a l}) = \log (\frac{A_{C a l}}{A_{0}}) = \log (\frac{1.26 A_{I n d}}{A_{0}}) = \log (\frac{1.26 \cdot 10^{8.1} A_{0}}{A_{0}}) = \log (1.26 \cdot 10^{8.1}) \approx 8.2$

Cela signifie que le tremblement de terre en Californie mesurait environ 8,2 sur l'échelle de Richter.

Dérivées des fonctions logarithmiques

La dérivée de la fonction logarithmique est

$\frac{d}{d x} (\log_{a} x) = \frac{1}{x \cdot \ln (a)}$

Pour plus d'informations sur les dérivées des fonctions logarithmiques, voir Dérivée de la fonction logarithmique.

Fonctions logarithmiques - Points clés à retenir

$y = \log_{b} (x)$ est équivalent à $x = b^{y}$
la formule d'une fonction logarithmique est la suivante $f (x) = \log_{b} (x)$ où $x > 0$ , $b > 0$ et $b \neq 1$ .
$\log_{10} (x)$ est la même chose que $\log (x)$
Les logarithmes sont utilisés pour mesurer des choses comme les décibels et la force des tremblements de terre.

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Questions fréquemment posées en Fonctions logarithmiques

Qu'est-ce qu'une fonction logarithmique ?

Une fonction logarithmique est l'inverse d'une fonction exponentielle. Elle est de la forme f(x) = log_b(x), où b est la base du logarithme.

À quoi servent les fonctions logarithmiques ?

Les fonctions logarithmiques servent à résoudre des équations exponentielles, modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance, et sont utilisées en sciences et ingénierie.

Quelle est la base la plus couramment utilisée pour les logarithmes ?

La base la plus couramment utilisée est 10 (logarithme décimal) et e (logarithme naturel).

Comment résoudre une équation logarithmique ?

Pour résoudre une équation logarithmique, on réécrit l'équation en forme exponentielle et simplifie. Par exemple, log_b(x) = y devient b^y = x.

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