Intégrales des fonctions exponentielles

Trouve la dérivée de $f\left(x\right)=e^{2x^2}$.

Soit $u=2x^2$et différencie en utilisant la règle de la chaîne.

$\frac{df}{dx}=\frac{d}{du}{e}^u\frac{du}{dx}$

Différencie la fonction exponentielle.

$\frac{df}{dx}=e^u\frac{du}{dx}$

Utilise la règle de puissance pour différencier $u=2x^2$.

$\frac{du}{dx}=4x$

Substitue $u=2x^2$et$\frac{du}{dx}=4x$.

$\frac{df}{dx}=e^{2x^2}4x$

Réarrange l'expression.

$\frac{df}{dx}=4x{e}^{2x^2}$

Évalue l'intégrale $\int e^{3x}dx$.

Comme l'argument de la fonction exponentielle est 3x, nous devons faire une intégration par substitution.

Soit $u=3x$. Trouve du à l'aide de la règle de la puissance.

$u=3x\to \frac{du}{dx}=3$

$\frac{du}{dx}=3\to du=3dx$

Isole dx.

$dx=\frac{1}{3}du$

Substitue $u=3x$ et $dx=\frac{1}{3}du$ dans l'intégrale.

$\int e^{3x}dx=\int e^u\frac{1}{3}du$

Réarrange l'intégrale.

$\int e^{3x}=\frac{1}{3}\int e^{u}du$

Intègre la fonction exponentielle.

$\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}{e}^u+C$

Remplace $u=3x$ dans l'intégrale.

$\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}{e}^{3x}+C$

Évalue l'intégrale définie ${\int }_0^1{e}^{x}dx$.

Trouve l'antidérivée de $e^x$.

$\int e^x=e^x+C$

Utilise le théorème fondamental du calcul pour évaluer l'intégrale définie.

${\int }_0^1{e}^{x}dx={\overline{)\left(e^x+C\right)}}_0^1$

${\int }_0^1{e}^{x}dx=\left(e^1+C\right)-\left(e^0+C\right)$

Utilise les propriétés des exposants et simplifie.

${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$

Jusqu'à présent, nous avons un résultat exact. Tu peux toujours utiliser une calculatrice si tu as besoin de connaître la valeur numérique de l'intégrale.

Utilise une calculatrice pour trouver la valeur numérique de l'intégrale définie.

${\int }_0^1{e}^{x}dx=1.718281828...$

Évalue l'intégrale définie ${\int }_0^{\infty }{e}^{-2x}dx$.

Commence par trouver l'antidérivée de la fonction donnée.

Soit $u=-2x$. Trouve du à l 'aide de la règle de la puissance.

$u=-2x\to \frac{du}{dx}=-2$

$\frac{du}{dx}=-2\to du=-2dx$

Isole $dx$.

$dx=-\frac{1}{2}du$

Substitue $u=-2x$ et$dx=-\frac{1}{2}du$dans l'intégrale.

$\int e^{-2x}dx=\int e^u\left(-\frac{1}{2}du\right)$

Réarrange l'intégrale.

$\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2}\int e^{u}du$

Intègre la fonction exponentielle.

$\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2}{e}^u+C$

Substitue à nouveau $u=-2x$.

$\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C$

Pour évaluer l'intégrale impropre, nous utilisons le théorème fondamental du calcul, mais nous évaluons la limite supérieure lorsqu'elle va à l'infini. C'est-à-dire que nous laissons \(brightarrow\infty\) dans la limite supérieure de l'intégration.

${\int }_0^{\infty }{e}^{-2x}dx=\underset{b\to \infty }{\lim }\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2b}+C\right)-\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2\left(0\right)}+C\right)$

Simplifie en utilisant les propriétés des limites.

${\int }_0^{\infty }{e}^{-2x}dx=-\frac{1}{2}\left(\underset{b\to \infty }{\lim }{e}^{-2b}-e^0\right)$

Lorsque \(b\) va à l'infini, l'argument de la fonction exponentielle va à l'infini négatif, nous pouvons donc utiliser la limite suivante :

$\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{-x}=0$

Nous notons également que $e^0=1$. Sachant cela, nous pouvons trouver la valeur de notre intégrale.

Évalue la limite comme $b\to \infty$et remplace $e^0=1$.

${\int }_0^{\infty }{e}^{-2x}dx=-\frac{1}{2}\left(0-1\right)$

Simplifie.

${\int }_0^{\infty }{e}^{-2x}dx=\frac{1}{2}$

Évalue l'intégrale $\int 2x{e}^{x^2}dx$.

Note que cette intégrale implique $x^2$ et $2x$dans l'intégrande. Puisque ces deux expressions sont liées par une dérivée, nous ferons l'intégration par substitution.

Soit $u=x^2$. Trouve $du$en utilisant la règle de la puissance.

$u=x^2\to \frac{du}{dx}=2x$

$\frac{du}{dx}=2x\to du=2xdx$

Réarrange l'intégrale.

$\int 2x{e}^{x^2}dx=\int e^{x^2}(2xdx)$

Substitue $u=x^2$et $du=2xdx$dans l'intégrale.

$\int 2x{e}^{x^2}dx=\int e^{u}du$

Intègre la fonction exponentielle.

$\int 2x{e}^{x^2}dx=e^u+C$

Substitue à nouveau $u=x^2$.

$\int 2x{e}^{x^2}dx=e^{x^2}+C$

Évalue l'intégrale $\int (x^2+3x)e^{x}dx$

Utilise LIATE pour faire un choix approprié de u et dv.

$u=x^2+3x$

$dv=e^{x}dx$

Utilise la règle de la puissance pour trouver du.

$du=\left(2x+3\right)dx$

Intègre la fonction exponentielle pour trouver v.

$v=\int e^{x}dx=e^x$

Utilise la formule d'intégration par parties $\int udv=uv-\int vdu$

$\int (x^2+3x)e^{x}dx=(x^2+3x)e^x-\int e^x(2x+3)dx$

L'intégrale résultante du côté droit de l'équation peut également être réalisée par intégration par parties. Nous nous concentrerons sur l'évaluation de $\int e^x(2x+3)dx$pour éviter toute confusion.

Utilise LIATE pour faire un choix approprié de u et dv.

$u=2x+3$

$dv=e^{x}dx$

Utilise la règle de la puissance pour trouver du.

$du=2dx$

Intègre la fonction exponentielle pour trouver v.

$v=\int e^{x}dx=e^x$

Utilise la formule d'intégration par parties.

$\int e^x(2x+3)dx=(2x+3)e^x-\int e^x(2dx)$

Intègre la fonction exponentielle.

$\int e^x(2x+3)dx=(2x+3)e^x-2e^x$

Substitue l'intégrale ci-dessus dans l'intégrale d'origine et ajoute la constante d'intégration C.

$\int (x^2+3x)e^{x}dx=(x^2+3x)e^x-\left[(2x+3)e^x-2e^x\right]+C$

Simplifie en factorisant $e^x$.

$\int (x^2+3x)e^{3x}dx=e^x(x^2+x-1)+C$

Évalue l'intégrale ${\int }_1^2{e}^{-4x}dx$.

Commence par trouver l'antidérivée de la fonction. Nous pouvons ensuite évaluer l'intégrale définie à l'aide du théorème fondamental du calcul.

Intégrer la fonction exponentielle.

$\int e^{-4x}dx=-\frac{1}{4}{e}^{-4x}+C$

Utilise le théorème fondamental du calcul pour évaluer l'intégrale définie.

${\int }_1^2{e}^{-4x}dx={\overline{)\left(-\frac{1}{4}{e}^{-4x}+C\right)}}_1^2$

${\int }_1^2{e}^{-4x}dx=\left(-\frac{1}{4}{e}^{-4\left(2\right)}+C\right)-\left(-\frac{1}{4}{e}^{-4\left(1\right)}+C\right)$

Simplifie.

${\int }_1^2{e}^{-4x}dx=-\frac{1}{4}\left(e^{-8}-e^{-4}\right)$

Utilise les propriétés des exposants pour simplifier davantage l'expression.

${\int }_1^2{e}^{-4x}dx=\frac{e^{-4}-e^{-8}}{4}$

${\int }_1^2{e}^{-4x}dx=\frac{e^{-8}(e^4-1)}{4}$

${\int }_1^2{e}^{-4x}dx=\frac{e^4-1}{e^8}$

Nous avons vu un raccourci pour intégrer les fonctions exponentielles lorsque leur argument est un multiple de x.

$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}{e}^{ax}+C$

Cela nous fait gagner beaucoup de temps, c'est certain ! Cependant, une erreur courante consiste à multiplier par la constante au lieu de diviser.

$\int e^{ax}dx\ne a{e}^{ax}+C$

Cela peut t'arriver si tu viens de différencier une fonction exponentielle, peut-être faisais-tu de l'intégration par parties.

Une autre erreur fréquente lors de l'intégration (pas seulement des fonctions exponentielles !) est d'oublier d'ajouter la constante d'intégration. C'est-à-dire d'oublier d'ajouter +C à la fin de l'antidérivée.

Veille toujours à ajouter +C à la fin d'une anti-dérivée !

$\int e^{x}dx=e^x+C$