Solution générale de l'équation différentielle

Montre que la fonction

\[y(x) = \frac{C}{x^2} + \frac{3}{4}\]

est une solution de

\N- [2xy' = 3-4y\N]

pour toute valeur de \(C\) qui est un nombre réel.

Solution :

En différenciant d'abord la fonction \N(y(x)\N), tu obtiens

\N[ y'(x) = -\frac{2C}{x^3}.\N]

Puis en la substituant dans le côté gauche de l'équation,

\[ \begin{align} 2xy' &= 2x\left(-\frac{2C}{x^3} \right) \\ &= -\frac{4C}{x^2}. \N- [Fin{align}\N]

En substituant le côté droit de l'équation, on obtient

\[ \begin{align} 3-4y &= 3-4\left( \frac{C}{x^2} + \frac{3}{4} \right) \\N &= 3-\frac{4C}{x^2} - 3 \N &=-\frac{4C}{x^2} .\Nend{align}\N]

Puisque tu obtiens la même chose à gauche et à droite lorsque tu substitues \(y(x)\), il s'agit d'une solution à l'équation. En fait, cela est vrai pour tout nombre réel \(C\).

Si tu fais un graphique de la solution pour certaines valeurs de \(C\), tu peux voir pourquoi la solution générale est souvent appelée une famille de fonctions. La solution générale définit un groupe entier de fonctions qui sont toutes très similaires ! Toutes les fonctions du graphique ci-dessous ont la même asymptote verticale, la même forme et le même comportement à long terme.

Fig. 2 - La solution générale est une famille de fonctions. Ici, tu vois quatre valeurs différentes de \(C\) qui produisent des courbes très similaires.

Quelle est la solution générale de l'équation différentielle homogène \ (xy' = -2y \)?

Solution :

Il s'agit d'une équation différentielle séparable. Elle peut être réécrite sous la forme suivante

\[\frac{1}{y}y' = -\frac{2}{x}.\N]

Tu peux utiliser un facteur d'intégration pour résoudre cette équation, et pour un rappel sur la façon de procéder, voir l'article Solutions aux équations différentielles. Lorsque tu la résous, tu obtiens

\[ y(x) = \frac{C}{x^2}.\]

Comme la solution dépend d'une constante, il s'agit d'une solution générale. En fait, tu pourrais l'écrire sous la forme suivante

\[ y_C(x) = \frac{C}{x^2}.\]

pour te rappeler que la solution générale dépend de cette constante ainsi que de \(x\).

Montrer que \(y_p(x) = \dfrac{3}{4} \N-) résout l'équation différentielle non homogène \N-(2xy' = 3-4y \N).

Solution :

Remarque que \Ny'_p(x) = 0 \N), donc en substituant ceci dans le côté gauche de l'équation, tu obtiens

\N- 2xy_p' = 2x(0) = 0.\N- 2xy_p' = 2x(0) = 0.\N]

En le substituant au côté droit de l'équation, tu obtiens \N[ 3-4y_p' = 2x(0) = 0,

\[ 3-4y_p = 3-4\left(\frac{3}{4}\right) = 0.\]

Puisque tu obtiens la même chose des deux côtés, \(y_p(x)\) est une solution de l'équation différentielle non homogène.

Est-ce que \N(y_C(x) = \dfrac{C}{x^2}) résout l'équation différentielle non homogène ? \N- Résout-elle l'équation différentielle non homogène \N(2xy' = 3-4y \N)?)

Solution :

Commence par prendre la dérivée :

\[y'_C(x) = -\frac{2C}{x^3}.\N-]

En la substituant ensuite à l'équation différentielle du côté gauche, tu obtiens

\[ \begin{align} 2xy_C' &= 2x\left( -\frac{2C}{x^3} \right) \\ &= -\frac{4C}{x^2} ,\Nend{align}\]

et du côté droit, tu obtiens

\N- [\N- Début{align} 3-4y_C &= 3-4\left(\frac{C}{x^2} \right) \\\\N &= 3-\frac{4C}{x^2} .\Nend{align}\N]

Ce ne sont définitivement pas les mêmes, donc \N(y_C(x)\N) ne résout pas l'équation différentielle non homogène.

Montre que \ (y_C(x) = \dfrac{C}{x^2} \ ) résout l'équation différentielle homogène correspondante \ (2xy' = -4y \).

Solution :

Comme précédemment,

\N[y'_C(x) = -\frac{2C}{x^3},\N]

et en le substituant au côté gauche de l'équation, tu obtiens encore

\[ 2xy_C' = -\frac{4C}{x^2} .\]

Cependant, en substituant \N(y_C(x)\N au côté droit de l'équation, tu obtiens maintenant

\[ -4y_C = -\frac{4C}{x^2} ,\]

Donc \N(y_C(x)\Nrésout l'équation différentielle homogène correspondante.

Laquelle des solutions suivantes est une solution générale de l'équation différentielle non homogène ?

\N-[y' = y+\sin x?\N]

(a) \N(y(x) = Ce^x\)

(b) \N(y(x) = \sin x + \cos x\N)

(c) \N(y(x) = Ce^x -\Ndfrac{1}{2}(\Nsin x + \Ncos x )\N).

Solution :

Pour trouver la solution, tu peux soit résoudre l'équation différentielle non homogène, soit essayer de brancher chacun des éléments. Plus tu t'exerceras, plus tu t'habitueras à regarder une équation et à avoir une idée générale de ce que sera la solution. Examinons chacune des solutions potentielles tour à tour.

(a) Grâce à ton expérience des équations différentielles linéaires, tu sais déjà que \(y(x) = Ce^x\) est la solution de l'équation différentielle homogène \(y'=y\). Il s'agit de la solution générale de l'équation différentielle homogène correspondante de l'équation différentielle non homogène. En d'autres termes, ce serait \N(y_C(x)\N), et tu as déjà vu que \N(y_C(x)\Nne résout pas l'équation différentielle non homogène.

(b) Cette solution potentielle semble plus prometteuse car elle contient des fonctions trigonométriques. Si tu la places dans le côté droit de l'équation différentielle non homogène, tu obtiens

\[ \begin{align} y+\sin x &= \sin x + \cos x + \sin x \\ &= 2\sin x + \cos x. \end{align}\]

En prenant la dérivée, tu obtiens

\N-[y'(x) = \Ncos x -\Nsin x.\N]

Ce n'est pas tout à fait la même chose, donc cette fonction n'est pas la solution générale de l'équation différentielle non homogène.

(c) Cette solution potentielle possède à la fois la solution de l'équation différentielle homogène correspondante et des fonctions trigonométriques. Elle pourrait fonctionner ! En prenant la dérivée, tu obtiens

\[y'(x) = Ce^x -\frac{1}{2}(\cos x - \sin x).\N]

En l'introduisant dans le côté droit de l'équation, tu obtiens

\Ce^x -\frac{1}{2}(\sin x + \cos x ) + \sin x Ce^x +\frac{1}{2}\sin x -\frac{1}{2} \sin x -\frac{1}{2} \sin x. \cos x \\ &= Ce^x -\frac{1}{2}(\cos x - \sin x) .\end{align}\]

Puisque tu obtiens la même chose des deux côtés, cette fonction est une solution générale de l'équation différentielle non homogène.