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Les relations implicites dans le calcul
Les types d'équations avec lesquelles tu as probablement l'habitude de travailler en calcul sont des équations de la forme
\[ y=\text{expression en termes de }x.\]
Ces types d'équations définissent des relations explicites, en d'autres termes, des relations pour lesquelles tu peux explicitement résoudre \(y\). Cependant, la plupart des équations intéressantes que tu rencontreras en calcul ne sont pas aussi simples.
Parfois, elles ont la forme suivante
\[ \text{expression en termes de }x \text{ et }y=\text{expression en termes de }x \text{ et }y.\N].
Ces équations définissent des relations implicites.
En mathématiques, une relation implicite est une relation pour laquelle tu ne peux pas résoudre explicitement une variable afin d'écrire la relation sous forme de fonction.
Prenons un exemple.
Dans l'équation, \ (x^3+y^3=6xy\) peux-tu résoudre explicitement \(y\) ?
Solution :
Non, il n'y a aucun moyen d'écrire cette équation sous la forme \(y=\text{expression en termes de }x. \) Il s'agit donc d'une relation implicite. C'est une relation particulièrement célèbre, en fait, appelée le folium de Descartes. Si tu fais un graphique de cette relation, il ressemble au graphique ci-dessous.
Fig. 1 - Graphique du folium de Descartes.
Remarque qu'il ne s'agit pas d'une fonction puisqu'elle échoue au test de la ligne verticale !
Le test de la ligne verticale dit : "Si une ligne verticale coupe deux fois un graphique, ce graphique n'est pas une fonction explicite". Pour un rappel sur le test de la ligne verticale et les fonctions explicitement définies, voir l'article Les fonctions.
Relations implicites en mathématiques
Quelle est donc la forme générale d'une relation implicite ? Il s'agit d'une équation de la forme
\[f(x,y)=g(x,y)\]
où \(f(x,y)\) et \(g(x,y)\) sont des fonctions de deux variables.
Dans le contexte du calcul, une relation implicite est définie par une équation où la variable dépendante n'est pas isolée d'un côté de l'équation. Bien que tu puisses étendre ce principe à plus de deux variables, nous nous en tiendrons pour l'instant à deux variables, car elles peuvent souvent être représentées graphiquement de manière agréable.
Un cercle centré sur l'origine et de rayon \(2\) est un exemple de relation implicite donnée par l'équation :
\[x^2+y^2=4.\N-]
Pour l'écrire sous la forme donnée ci-dessus, laisse \N(f(x,y) = x^2+y^2\) et \N(g(x,y) = 4.\N). Personne n'a dit qu'il devait y avoir un véritable \N(x) ou \N(y) dans \N(f) et \N(g.\N).
Même si ces équations ne sont pas des fonctions, tu peux quand même les étudier.
Une relation binaire (sur les nombres réels) est un ensemble de paires ordonnées \((x,y)\) de nombres réels.
Une relation binaire peut être une fonction ! Elle peut ou non s'écrire sous forme d'équation.
L'équation \(y-x^2=0\) définit la relation binaire
\[\N-(x,x^2)\N-text{ for }x\in\Nmathbb{R}}.\N]
Remarquez qu'il s'agit en fait d'une fonction puisqu'elle peut être écrite sous la forme \(y=x^2\).
En écrivant l'équation comme une relation binaire, \N (y-x^2=0\N) est considérée comme une règle qui te dit si une paire particulière de nombres doit se trouver dans la relation correspondante .
Choisis n'importe quelle paire de nombres réels \((a,b)\). Si \(b-a^2=0\), alors il appartient à la relation correspondant à l'équation \(y-x^2=0\). Cela ne se produit que si \N(b=a^2). Sinon, \N((a,b)\N) n'appartient pas à la relation.
Toutes les relations binaires ne sont pas des fonctions !
Regarde la relation définie par l'équation \ (x^2+y^2=1\). Il s'agit d'un cercle centré sur l'origine de rayon \(1\). En l'écrivant comme une relation binaire, tu obtiens
\N[\NLa gauche( x,\Npm\Nsqrt{1-x^2}\Ndroite)\Ntext{ for }x\Nin[-1,1]\Ndroite}.\N]
Cette relation binaire n' est donc pas une fonction.
En fait, \(x^2+y^2=1\) est écrit implicitement, alors que tu peux l'écrire explicitement comme \(y=\pm\sqrt{1-x^2} \).
Toutes les relations, et même toutes les fonctions, ne peuvent pas être définies par une équation. En fait, la plupart des fonctions mathématiques ne peuvent pas être définies par une équation ! Si tu piochais dans un chapeau contenant toutes les fonctions possibles sur les nombres réels, il y a de fortes chances que tu en choisisses une qui ne peut pas être définie par une équation ou un algorithme. Nous appelons ces fonctions des fonctions incompatibles.
Tu auras besoin d'une certaine terminologie pour parler des relations binaires. Étant donné une relation binaire et un élément quelconque \((a,b)\) dans cette relation :
\N(a\N) est une entrée de cette relation ;
\N(b\N) est une sortie de cette relation ; et
une fonction est un type particulier de relation qui ne peut avoir qu'une seule sortie pour chaque entrée.
En d'autres termes, si \N((a,b)\N) est un élément d'une fonction et si \N((a,c)\N) est également un élément d'une fonction, alors \N(b=c\N).
Graphiques des relations implicites
Le graphique d'une relation implicite est l'ensemble des points du plan qui correspondent aux paires ordonnées de cette relation. Les graphiques et les relations ne sont pas tout à fait la même chose. Une relation est simplement un ensemble de paires ordonnées de nombres. Le graphique d'une relation est une interprétation géométrique de cette relation ; il attribue des paires ordonnées de nombres à des points du plan.
La relation correspondant à l'équation \(y^2=x^3-x+0,2\) est l'ensemble
\N- [\N- ( x,y) : \N ; y^2=x^3-x+0,2 \N}]
Le graphique correspondant à cette relation ressemble à ceci :
Fig. 2 - Le graphique correspondant à une relation est une façon de visualiser géométriquement les éléments de cette relation.
Il s'agit d'un exemple de courbe elliptique, un type de courbe important en théorie des nombres. Ces types de courbes ont été essentiels à la démonstration du dernier théorème de Fermat par Andrew Wiles, et sont également importants en cryptographie.
Remarque que cette courbe n'est pas une fonction puisqu'elle ne satisfait pas au test de la ligne verticale !
Prenons un autre exemple.
Il s'agit d'une autre courbe elliptique, \(y^2 = x^3 - x + 1\). Remarque qu'il ne s'agit pas non plus d'une fonction, mais d'une relation implicite.
Fig. 3 - Autre exemple de courbe elliptique.
Si tu veux savoir quand tu peux prendre une relation implicite et la décomposer en morceaux qui sont en fait des fonctions, tu auras besoin du théorème des fonctions implicites. Cela implique de prendre des dérivées partielles.
Pour un rappel sur les dérivées partielles, voir Différenciation implicite.
Dérivées des relations implicites
La dérivée d'une relation implicite peut être trouvée à l'aide des dérivées partielles. Voyons rapidement un exemple, et pour plus d'informations sur la façon de prendre des dérivées partielles, consulte l'article Différenciation implicite.
Trouve la dérivée de la relation implicite définie par l'équation \(y^2=x^3-x+1\).
Solution :
Commence par différencier les deux côtés de la relation :
\[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y^2)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x }(x^3-x+1).\]
Le côté droit de l'équation peut être différencié comme d'habitude :
\[\begin{align}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x }(x^3-x+1)&=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x }(x^3)+\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x }(-x)+\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x }(1) \N- &= 3x^2 -1+0 \N- &=3x^2-1\end{align}\]
Rappelle-toi que \N(y\N) est une fonction de \N(x\N). En prenant la dérivée du côté gauche de l'équation, tu obtiens donc :
\[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x }(y^2)=2yy'\]
où tu as utilisé la règle de la chaîne.
En les mettant bout à bout, tu obtiens
\N[ 2yy' =3x^2-1 ,\N]
donc
\N- [y' = \Nfrac{3x^2-1 }{2y}.\N]
Tu t'interroges peut-être sur les lignes tangentes pour les relations implicites. Pour plus d'informations et d'exemples, consulte l'article Trouver des lignes tangentes implicites.
Relations implicites - Points clés à retenir
- En mathématiques, une relation implicite est une relation pour laquelle tu ne peux pas résoudre explicitement une variable afin d'écrire la relation sous forme de fonction.
- Toutes les fonctions peuvent être écrites explicitement.
- Toutes les équations ne peuvent pas être écrites explicitement.
- Une relation binaire (sur les nombres réels) est un ensemble de paires ordonnées \((x,y)\) de nombres réels.
- Toutes les fonctions sont des relations binaires.
- Toutes les relations binaires ne sont pas des fonctions.
- Étant donné n'importe quelle relation binaire et n'importe quel élément \N((a,b)\N) de cette relation :
\N(a\N) est une entrée de cette relation ;
\(b\) est une sortie de cette relation ; et
une fonction est un type particulier de relation qui ne peut avoir qu'une sortie pour chaque entrée.
- La dérivée d'une relation implicite peut être trouvée à l'aide des dérivées partielles.
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