Manipulation des fonctions

Manipulation des fonctions : L'algèbre - un bref rappel

Si les fonctions sont au cœur du calcul, l'algèbre, et donc la manipulation algébrique, est le langage du calcul. On ne peut pas faire de calcul sans algèbre ! Donc, si ta mémoire est un tant soit peu embrouillée en ce qui concerne les règles relatives aux fractions, aux valeurs absolues, aux puissances, aux racines, aux logarithmes, à la factorisation et à la résolution d'équations quadratiques, c'est ici que nous les passerons en revue.

Manipuler les fractions

Les fractions sont omniprésentes dans les calculs. On a beau le vouloir, on ne peut pas y échapper. Voici quelques règles, propriétés et techniques à utiliser avec les fractions dont nous devons nous souvenir :

• Règles :

  • Ne divise jamais par zéro ! Si le dénominateur d'une fraction est zéro, alors elle est indéfinie.

  • MAIS, le numérateur d'une fraction peut être zéro.

    • Toute fraction dont le numérateur comporte un zéro est égale à zéro, tant que zéro ne figure pas au dénominateur.

  • Lors de l'addition ou de la soustraction de fractions, les dénominateurs doivent être égaux.

    • Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut trouver le plus petit dénominateur commun (DPC).

  • Si le dénominateur d'une fraction est 1, alors la fraction se simplifie en un nombre entier.

  • Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont égaux, alors la fraction se simplifie en 1.

  • Règle des fractions équivalentes :

    • Deux fractions $\raisebox{1ex}{$a$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$b$}\right.$ et $\raisebox{1ex}{$c$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$d$}\right.$ sont égales et peuvent être écrites sous la forme $\raisebox{1ex}{$a$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$b$}\right.=\raisebox{1ex}{$c$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$d$}\right.$ si $a\times d=b\times c$

  • N'oublie pas la réciproque. Si l'on retourne une fraction, on obtient sa réciproque.

    • En multipliant une fraction par sa réciproque, on obtient toujours 1, à condition que le numérateur de la fraction d'origine ne soit pas nul.

• Propriétés :

  • Commutativité de l'addition avec les fractions :

    • $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$

  • Commutativité de la multiplication avec les fractions :

    • $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{c}{d}\times \frac{a}{b}$

  • Associativité de l'addition avec les fractions :

    • $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{e}{f}=\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)$

  • Associativité de la multiplication avec les fractions :

    • $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}\times \frac{e}{f}=\left(\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}\right)\times \frac{e}{f}=\frac{a}{b}\times \left(\frac{c}{d}\times \frac{e}{f}\right)$

  • Distributivité de la multiplication sur l'addition avec des fractions :

    • $\frac{a}{b}\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)=\left(\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}\right)+\left(\frac{a}{b}\times \frac{e}{f}\right)$

• Techniques :

  • Nous pouvons utiliser la multiplication ou la division pour obtenir des fractions équivalentes :

    • $\frac{a}{b}=\frac{a\times c}{b\times c},wherec\ne 0$

    • $\frac{a}{b}=\frac{a÷c}{b÷c},wherec\ne 0$

  • Nous pouvons écrire des entiers sous forme de fractions :

    • $a=\frac{a\times c}{c},wherec\ne 0$

  • Additionner des fractions :

    • $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$pour les fractions ayant le même dénominateur

    • $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=\frac{a}{c}\times \frac{d}{d}+\frac{b}{d}\times \frac{c}{c}=\frac{a\times d}{c\times d}+\frac{b\times c}{d\times c}=\frac{a\times d+b\times c}{c\times d}$pour les fractions ayant des dénominateurs différents

  • Soustraction de fractions :

    • $\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$pour les fractions ayant le même dénominateur

    • $\frac{a}{c}-\frac{b}{d}=\frac{a}{c}\times \frac{d}{d}-\frac{b}{d}\times \frac{c}{c}=\frac{a\times d}{c\times d}-\frac{b\times c}{d\times c}=\frac{a\times d-b\times c}{c\times d}$, pour les fractions ayant des dénominateurs différents

  • Multiplier des fractions :

    • $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$

  • Diviser des fractions :

    • $\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$

  • Simplifier (ou annuler) des fractions :

    • Il est important de se rappeler qu'on ne peut annuler une fraction que lorsqu'elle présente une chaîne de multiplication ininterrompue sur l'ensemble du numérateur et du dénominateur.

    • $\frac{\cancel{ab}c}{\cancel{ab}d}$peut être simplifiée en $\frac{c}{d}$mais $\frac{abc+d}{abd}$est dans sa forme la plus simple (on ne peut pas annuler $a,b,ord$ici).

Valeurs absolues

Prendre la valeur absolue d'un nombre, c'est rendre positif un nombre négatif, et ne rien faire à un nombre positif ou à zéro. Par exemple :

$\left|-4\right|=4$

$\left|4\right|=4$

$\left|0\right|=0$

Les lignes droites qui entourent le nombre signifient "la valeur absolue de". Ainsi, lorsque nous voyons cette notation, nous savons qu'il faut prendre la valeur absolue du nombre ou de la variable qui se trouve à l'intérieur.

Manipuler les puissances

Les règles des puissances (également connues sous le nom d'exposants) sont très utiles dans notre étude de l'AP Calculus. Elles facilitent grandement la résolution des problèmes. Et n'oublie pas que ces règles fonctionnent aussi en sens inverse ! Mais d'abord, rappelons quelques définitions.

Récapitulons maintenant les règles de puissance. Pour cela, nous devons faire quelques suppositions :

1. Nous supposons que X et Y sont des nombres réels non nuls.

2. Nous supposons que m et n sont des nombres entiers.

Les règles de puissance sont énumérées comme suit :

• Règle du produit : $x^m{x}^n=x^{m+n}$

• Règle du quotient : $x^m÷x^n=\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$

• Règle de l'exposant négatif : $x^{-m}=\frac{1}{x^m}$

• Règle de la puissance zéro : $x^0=1,wherex\ne 0$

• Règle de la puissance d'une puissance : ${\left(x^m\right)}^n=x^{m\times n}$

• Produit d'une règle de puissance : $x^n{y}^n={\left(xy\right)}^n$

• Quotient d'une règle de puissance : $\frac{x^n}{y^n}={\left(\frac{x}{y}\right)}^n$

• Règle de la puissance fractionnaire : $x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}={\left(\sqrt[n]{x}\right)}^m$

Manipulation des racines

Comme tu l'as peut-être remarqué dans les règles de puissance, les puissances et les racines sont liées. Cette relation est extrêmement utile pour résoudre et simplifier les problèmes de l'AP Calculus. En fait, toute racine peut être convertie en puissance, et vice versa. Les règles relatives aux racines sont résumées ci-dessous.

• Le nombre sous une racine paire (2, 4, 6, etc.) ne peut pas êtrenégatif!

• Mais le nombre sous une racine impaire (3, 5, 7, etc.) peut être négatif.

• Pour les racines où n est un nombre pair : $\sqrt[n]{x^n}=\left|x\right|$

• Pour les racines où n est un nombre impair : $\sqrt[n]{x^n}=x$

• Règle de la racine zéro : $\sqrt{0}=0$

• Règle de la racine d'identité : $\sqrt{1}=1$

• Règle du produit : $\left(\sqrt[n]{x}\right)\left(\sqrt[n]{y}\right)=\sqrt[n]{xy}$

• Règle du quotient : $\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}=\sqrt[n]{\frac{x}{y}}$

• Règle de la racine à la racine : $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[m\times n]{x}$

• Rationalisation du dénominateur :

  • Par convention, nous ne voulons pas de racines dans le dénominateur d'une fraction. Nous pouvons les supprimer par un processus appelé rationalisation, qui consiste à multiplier la fraction ayant une racine dans son dénominateur par une autre fraction (qui autrement se simplifierait en 1) ayant cette même racine dans son dénominateur de façon à ce que la racine soit annulée. Par exemple :

    • $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Manipuler les logarithmes

Une expression logarithmique est une autre façon d'écrire une expression exponentielle. La base d'une expression logarithmique peut être n'importe quel nombre positif, à l'exception de 1. Si nous voulons utiliser e comme base d'une expression logarithmique, nous écrivons ln au lieu de log. Si nous voulons utiliser 10 comme base d'une expression logarithmique, par convention, nous ne l'écrivons pas. Les règles relatives aux expressions logarithmiques sont résumées ci-dessous.

• Règle du journal zéro : ${\log }_{n}1=0,wheren>0butn\ne 1$

• Règle du journal d'identité : ${\log }_{n}n=1$

• Règle de produit : ${\log }_{n}xy={\log }_{n}x+{\log }_{n}y$

• Règle du quotient : ${\log }_n\frac{x}{y}={\log }_{n}x-{\log }_{n}y$

• Règle de puissance : ${\log }_n{x}^m=m\left({\log }_{n}x\right)$

• Logarithme d'une règle de puissance : ${\log }_n{n}^m=m$

• Puissance d'une règle logarithmique : $n^{{\log }_{n}m}=m$

Factorisation

Un autre outil très utile pour l'AP calculus est la factorisation. La factorisation est comme la décomposition d'un nombre en ses facteurs premiers, mais pour les expressions algébriques. Factoriser une expression consiste à réécrire une somme de termes en un produit de termes. Pour ce faire, nous extrayons - ou factorisons - le plus grand facteur commun (GCF) de tous les termes de l'expression.

Une fois que nous avons extrait la CCG, l'étape suivante consiste à rechercher l'un des modèles suivants :

• Différence de carrés - il est absolument nécessaire de savoir comment la factoriser !

  • $x^2-y^2=\left(x-y\right)\left(x+y\right)$

  • Une différence de carrés peut être factorisée, mais pas une somme de carrés.

• Somme de cubes

  • $x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)$

• Différence de cubes

  • $x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)$

• Carré de la somme de deux nombres

  • ${\left(x+y\right)}^2=x^2+2xy+y^2$

• Carré de la différence de deux nombres

  • ${\left(x-y\right)}^2=x^2-2xy+y^2$

• Cube de la somme de deux nombres

  • ${\left(x+y\right)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$

• Cube de la différence de deux nombres

  • ${\left(x-y\right)}^3=x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3$

• Carré de la somme de trois nombres

  • ${\left(x+y+z\right)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$

• Carré de la différence de trois nombres

  • ${\left(x-y-z\right)}^2=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz$

Résoudre des équations quadratiques

Si l'on remonte à l'époque de l'algèbre, une équation quadratique est un polynôme du deuxième degré. Les équations quadratiques peuvent être résolues par l'une des méthodes suivantes.

Factorisation d'une équation quadratique

Si elle est possible, la factorisation d'une équation quadratique est sans doute la façon la plus simple et la plus rapide de résoudre une équation quadratique. Nous pouvons vérifier si une équation quadratique est factorisable en trouvant son discriminant. Si le discriminant est un carré parfait, alors l'équation quadratique est factorisable.

La formule quadratique

Qu'une équation quadratique soit factorisable ou non, nous pouvons toujours la résoudre à l'aide de la formule quadratique. Pour une équation quadratique de la forme :

$a{x}^2+bx+c=0$

Nous pouvons trouver les solutions à l'aide de la formule quadratique :

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Compléter le carré

Cette méthode de résolution d'une équation quadratique porte bien son nom car elle consiste à prendre la formule quadratique en question et à en faire un carré parfait afin qu'elle puisse être résolue en prenant la racine carrée. On peut toujours utiliser cette méthode pour résoudre une équation quadratique, qu'elle soit ou non factorisable.

Manipulation des fonctions : Un rappel sur les fonctions Trig

Un grand nombre des problèmes que nous rencontrerons dans l'AP Calculus impliquent la manipulation de fonctions trigonométriques. Ainsi, pour ceux d'entre nous qui ne veulent pas avoir à réapprendre la trigonométrie en même temps qu'ils apprennent l'AP Calculus, cette remise à niveau est essentielle.

La trigonométrie commence par les triangles - plus précisément les triangles rectangles. L'image et le tableau ci-dessous résument les termes clés des triangles droits et les six principales fonctions trigonométriques.

Un triangle rectangle avec ses côtés étiquetés - StudySmarter Originals

Une façon de se souvenir des rapports Sin, Cos et Tan

Les principales fonctions trigonométriques sont définies par les rapports des côtés d'un triangle rectangle dans un ordre précis. Le côté étiqueté Hypoténuse (ou simplement H pour faire court) est toujours le côté le plus long du triangle. Le côté nommé Adjacent (ou juste A pour faire court) est le côté qui touche l'angle du triangle que nous considérons (qui est θ dans l'image ci-dessus). Le côté étiqueté Opposé (ou juste O en abrégé) est le côté qui est en face de l'angle. SohCahToa (prononcé "So-Kah-Toe-Ah") est un moyen mnémotechnique utilisé pour nous aider à nous souvenir des rapports qui composent les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente.

À partir de là, nous pouvons nous rappeler que la cosécante, la sécante et la cotangente sont les réciproques du sinus, du cosinus et de la tangente.

En gardant cela à l'esprit, il y a deux triangles droits spéciaux que nous traitons dans de nombreux problèmes de calcul de l'AP et qui méritent d'être mentionnés.

Triangles droits spéciaux

Également appelé triangle rectangle isocèle, le triangle 45-45-90 est exactement ce à quoi il ressemble : un triangle rectangle dont les deux autres angles sont à 45 degrés. La particularité de ce triangle est que les deux branches du triangle qui touchent l'angle droit sont toujours de la même taille et que l'hypoténuse est toujours $\sqrt{2}$ fois plus long que les deux branches. C'est une bonne idée de mémoriser les fonctions trigonométriques de ce triangle.

$$\begin{gathered} sin\left(45°\right)=\frac{O}{H}=\frac{a}{\sqrt{2}\times a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}csc\left(45°\right)=\frac{H}{O}=\frac{\sqrt{2}\times a}{a}=\sqrt{2} \\ cos\left(45°\right)=\frac{A}{H}=\frac{a}{\sqrt{2}\times a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}sec\left(45°\right)=\frac{H}{A}=\frac{\sqrt{2}\times a}{a}=\sqrt{2} \\ tan\left(45°\right)=\frac{O}{A}=\frac{a}{a}=1cot\left(45°\right)=\frac{A}{O}=\frac{a}{a}=1 \end{gathered}$$

Le triangle droit 30-60-90 porte également bien son nom. La particularité de ce triangle est que l'hypoténuse est toujours deux fois plus longue que la jambe la plus courte, et que la jambe la plus longue est toujours $\sqrt{3}$ fois plus longue que la plus courte. Il est également bon de mémoriser les fonctions trigonométriques de ce triangle, tant pour l'hypoténuse que pour la jambe la plus courte. $30°$ et $60°$et de l'angle.

$$\begin{gathered} sin\left(30°\right)=\frac{O}{H}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}csc\left(30°\right)=\frac{H}{O}=\frac{2a}{a}=2 \\ cos\left(30°\right)=\frac{A}{H}=\frac{\sqrt{3}\times a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}sec\left(30°\right)=\frac{H}{A}=\frac{2a}{\sqrt{3}\times a}=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \\ tan\left(30°\right)=\frac{O}{A}=\frac{a}{\sqrt{3}\times a}=\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}cot\left(30°\right)=\frac{A}{O}=\frac{\sqrt{3}\times a}{a}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} sin\left(60°\right)=\frac{O}{H}=\frac{\sqrt{3}\times a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}csc\left(60°\right)=\frac{H}{O}=\frac{2a}{\sqrt{3}\times a}=\frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \\ cos\left(60°\right)=\frac{A}{H}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}sec\left(60°\right)=\frac{H}{A}=\frac{2a}{a}=2 \\ tan\left(60°\right)=\frac{O}{A}=\frac{\sqrt{3}\times a}{a}=\sqrt{3}cot\left(60°\right)=\frac{A}{O}=\frac{a}{\sqrt{3}\times a}=\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

Un tableau est un moyen plus pratique de visualiser les fonctions trigonométriques de ces angles (plus les angles de 0 et 90 degrés).

Le cercle des unités

Si le dispositif mnémonique SohCahToa est excellent pour les triangles rectangles, il ne fonctionne pas pour les angles égaux ou supérieurs à 90 degrés. Pour ceux-là, nous avons besoin du cercle unitaire. Le cercle unitaire nous permet de trouver les valeurs trigonométriques pour n'importe quel angle, et pas seulement les angles aigus. Le cercle unitaire a un rayon d'une unité (d'où son nom) et se situe dans le plan de coordonnées x-y.

L'image ci-dessus nous apprend pas mal de choses. Nous allons donc la parcourir un peu. Pour commencer, lorsque nous mesurons des angles à l'aide du cercle unitaire, nous partons de l'axe des x positif et nous tournons dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (voir l'angle $150°$ dans l'image). Si nous tournons dans le sens des aiguilles d'une montre, nous obtenons un angle négatif (voir l'angle sur l'image). $-70°$ dans l'image). Cela est vrai que nous mesurions l'angle en degrés ou en radians. Dans l'AP Calculus, les radians sont presque toujours la façon préférée de mesurer les angles. Souviens-toi que la mesure en radians d'un angle est la longueur de l'arc le long de la circonférence du cercle unitaire (voir le bord en gras du cercle étiqueté $Length=\frac{\pi }{6}$). La formule la plus simple pour convertir les degrés et les radians est la suivante :

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{\pi }}{180}=\frac{R}{\theta }\Rightarrow R=\frac{\mathrm{\pi \theta }}{180}and\theta =\frac{180R}{\mathrm{\pi }} \\ where, \\ \theta istheangleindegrees \\ Ristheangleinradians \end{gathered}$$

Si tu regardes de plus près le cercle unitaire ci-dessus, tu verras les deux triangles droits 30-60-90. L'un se trouve dans le premier quadrant du cercle, l'autre dans le deuxième quadrant. En se basant sur ces deux triangles, on peut en déduire que les coordonnées du cercle unitaire nous indiquent les valeurs du cosinus et du sinus de l'angle.

En gardant cela à l'esprit, voyons le cercle unitaire avec toutes les valeurs de cosinus et de sinus tracées pour les triangles 30-60-90 et 45-45-90.

Il est important de noter que les valeurs de toutes les principales fonctions trigonométriques sont positives dans le premier quadrant, que seuls le sinus et la cosécante sont positifs dans le deuxième quadrant, que seules la tangente et la cotangente sont positives dans le troisième quadrant, et que seuls le cosinus et la sécante sont positifs dans le quatrième quadrant du cercle unitaire. Un autre moyen mnémotechnique utile pour se rappeler quelles fonctions sont positives dans quels quadrants est All Students Take Calculus.

• Tous - Les 6 fonctions trigonométriques sont positives dans le premier quadrant.

• Étudiants - seul le sinus (et sa réciproque, la cosécante) est positif dans le deuxième quadrant.

• Prends - seule la tangente (et sa réciproque, la cotangente) sont positives dans le troisième quadrant.

• Calculus - seul le Cosinus (et sa réciproque, la sécante) sont positifs dans le quatrième quadrant.

Représentation graphique des fonctions trigonométriques

Les principales fonctions trigonométriques - sinus, cosinus et tangente - et leurs réciproques - cosécante, sécante et cotangente - sont des fonctions périodiques. Cela signifie que leurs graphiques représentent la même forme répétée à l'infini. La période de ces fonctions est la longueur d'un de leurs cycles.

Les graphiques des 6 fonctions trigonométriques - StudySmarter Originals

Maintenant que nous avons rafraîchi le cercle unitaire, nous pouvons esquisser les graphiques du sinus, du cosinus et de la tangente facilement en notant quelques faits importants :

• Pour le sinus et le cosinus :

  • Les graphiques du sinus et du cosinus ont la même forme.

    • Le graphique du cosinus est simplement décalé de 90 degrés vers la gauche.

  • Les graphiques du sinus et du cosinus ont un maximum de 1 et un minimum de -1.

  • Les graphiques du sinus et du cosinus répètent leurs formes indéfiniment vers la gauche et vers la droite.

    • Leurs formes se répètent tous les 360 degrés, leur période est donc de 360 degrés (ce qui correspond au nombre de degrés d'un cercle)

  • C'est ce que nous indique le cercle unitaire :

    • $\sin \left(0°\right)=0and\cos \left(0°\right)=1$

    • $\sin \left(90°\right)=1and\cos \left(90°\right)=0$

    • $\sin \left(180°\right)=0and\cos \left(180°\right)=-1$

    • $\sin \left(270°\right)=-1and\cos \left(270°\right)=0$

    • $\sin \left(360°\right)=0and\cos \left(360°\right)=1$

  • En utilisant ces 5 points, nous pouvons esquisser un cycle des fonctions sinus et cosinus.

• Pour la tangente :

  • La forme de base du graphique est un S inversé.

    • Cette forme se répète indéfiniment à gauche et à droite.

      • Elle se répète tous les 180 degrés, sa période est donc de 180 degrés.

  • Parce que $\tan \left(\theta \right)=\frac{\sin \left(\theta \right)}{\cos \left(\theta \right)}=\frac{y}{x}$, nous pouvons utiliser le cercle unitaire pour tracer le graphique :

    • $\tan \left(-45°\right)=-1$

    • $\tan \left(0°\right)=0$

    • $\tan \left(45°\right)=1$

    • Parce que $\tan \left(-90°\right)=undefinedand\tan \left(90°\right)=undefined$Nous dessinons des asymptotes verticales à ces points.

Identités et formules de trigonométrie

La façon la plus courante de résoudre les problèmes de calcul AP qui impliquent des fonctions trigonométriques est d'utiliser les identités trigonométriques. Plusieurs moments de "gotcha" dans le calcul AP tournent autour du fait que nous nous souvenons que ces identités existent ! De plus, les identités trigonométriques nous aident à résoudre des problèmes de calcul plus complexes beaucoup plus rapidement et facilement. Voici donc une liste de ces identités.

Identités trigonométriques du rapport

Tout d'abord, rappelle-toi que la tangente est un rapport entre le sinus et le cosinus, et que la cotangente est donc le rapport entre le cosinus et le sinus.

$\tan \left(\theta \right)=\frac{\sin \left(\theta \right)}{\cos \left(\theta \right)}andcot\left(\theta \right)=\frac{\cos \left(\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}$

Identité réciproque de la trigonométrie

Rappelle-toi quelles fonctions sont réciproques les unes des autres.

$$\begin{gathered} \sin \left(\theta \right)=\frac{1}{csc\left(\theta \right)}andcsc\left(\theta \right)=\frac{1}{\sin \left(\theta \right)} \\ \cos \left(\theta \right)=\frac{1}{sec\left(\theta \right)}andsec\left(\theta \right)=\frac{1}{\cos \left(\theta \right)} \\ \tan \left(\theta \right)=\frac{1}{cot\left(\theta \right)}andcot\left(\theta \right)=\frac{1}{\tan \left(\theta \right)} \end{gathered}$$

Identités trigonométriques de Pythagore

Les identités trigonométriques de Pythagore sont probablement parmi les identités trigonométriques les plus utiles. Elles sont basées sur le théorème de Pythagore.

$$\begin{gathered} 1.{\sin }^2\left(\theta \right)+{\cos }^2\left(\theta \right)=1 \\ 2.{\tan }^2\left(\theta \right)+1=se{c}^2\left(\theta \right) \\ 3.1+co{t}^2\left(\theta \right)=cs{c}^2\left(\theta \right) \end{gathered}$$

Identités de trigonométrie à angle opposé

On les appelle aussi les identités paires/impaires. Comme tu peux le voir, le cosinus et la sécante sont les deux seules fonctions paires, le reste des fonctions trigonométriques sont des fonctions impaires.

$$\begin{gathered} \sin \left(-\theta \right)=-\sin \left(\theta \right)andcsc\left(-\theta \right)=-csc\left(\theta \right) \\ \cos \left(-\theta \right)=\cos \left(\theta \right)andsec\left(-\theta \right)=sec\left(\theta \right) \\ \tan \left(-\theta \right)=-\tan \left(\theta \right)andcot\left(-\theta \right)=-cot\left(\theta \right) \end{gathered}$$

Identités de trigonométrie périodique

Si n est un entier quelconque, les identités suivantes sont vraies.

$$\begin{gathered} \sin \left(\theta +2\mathrm{\pi n}\right)=\sin \left(\theta \right)andcsc\left(\theta +2\mathrm{\pi n}\right)=csc\left(\theta \right) \\ \cos \left(\theta +2\mathrm{\pi n}\right)=\cos \left(\theta \right)and\cos \left(\theta +2\mathrm{\pi n}\right)=\cos \left(\theta \right) \\ \tan \left(\theta +\mathrm{\pi n}\right)=\tan \left(\theta \right)andcot\left(\theta +\mathrm{\pi n}\right)=cot\left(\theta \right) \end{gathered}$$

Identités trigonométriques des cofonctions

Elles indiquent quelles fonctions trigonométriques sont complémentaires l'une de l'autre.

• Le sinus et le cosinussont complémentaires, ce sont donc des cofonctionsl'une de l'autre.

  • $$\begin{gathered} \sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=\cos \left(\theta \right) \\ \cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=\sin \left(\theta \right) \end{gathered}$$

• La tangente et la cotangentesont complémentaires, ce sont donc des cofonctionsl'une de l'autre.

  • $$\begin{gathered} \tan \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=\mathrm{co}t\left(\theta \right) \\ \mathrm{co}t\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=\tan \left(\theta \right) \end{gathered}$$

• La sécante et la cosécantesont complémentaireset sont donc des cofonctionsl'une de l'autre.

  • $$\begin{gathered} sec\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=\mathrm{cs}c\left(\theta \right) \\ \mathrm{cs}c\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=sec\left(\theta \right) \end{gathered}$$

Identités trigonométriques à double angle

Les identités trigonométriques à double angle sont également très utiles à retenir.

$$\begin{gathered} \sin \left(2\theta \right)=2\sin \left(\theta \right)\cos \left(\theta \right) \\ \cos \left(2\theta \right)={\cos }^2\left(\theta \right)-{\sin }^2\left(\theta \right) \\ =2{\cos }^2\left(\theta \right)-1 \\ =1-2{\sin }^2\left(\theta \right) \\ \tan \left(2\theta \right)=\frac{2\tan \left(\theta \right)}{1-{\tan }^2\left(\theta \right)} \end{gathered}$$

Identités trigonométriques du demi-angle

Les identités trigonométriques du demi-angle sont également très utiles à retenir. Le plus ou le moins dépend du quadrant dans lequel se trouve la valeur originale donnée.

$$\begin{gathered} \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \left(\theta \right)}{2}}or{\sin }^2\left(\theta \right)=\frac{1-\cos \left(2\theta \right)}{2} \\ \cos \left(\frac{\theta }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \left(\theta \right)}{2}}or{\cos }^2\left(\theta \right)=\frac{1+\cos \left(2\theta \right)}{2} \\ \tan \left(\frac{\theta }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \left(\theta \right)}{1+\cos \left(\theta \right)}}=\frac{\sin \left(\theta \right)}{1+\cos \left(\theta \right)}=\frac{1-\cos \left(\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}or{\tan }^2\left(\theta \right)=\frac{1-\cos \left(2\theta \right)}{1+\cos \left(2\theta \right)} \end{gathered}$$

Identités trigonométriques de la somme et de la différence des angles

Les identités trigonométriques de la somme et de la différence des angles sont utiles pour simplifier les expressions complexes.

$$\begin{gathered} \sin \left(x+y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)+\cos \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \sin \left(x-y\right)=\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)-\cos \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \cos \left(x+y\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)-\sin \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \cos \left(x-y\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)+\sin \left(x\right)\sin \left(y\right) \\ \tan \left(x+y\right)=\frac{\tan \left(x\right)+\tan \left(y\right)}{1-\tan \left(x\right)\tan \left(y\right)} \\ \tan \left(x-y\right)=\frac{\tan \left(x\right)-\tan \left(y\right)}{1+\tan \left(x\right)\tan \left(y\right)} \end{gathered}$$

Identités trigonométriques de la somme au produit

Les identités trigonométriques de la somme au produit prennent une somme de deux fonctions trigonométriques et les convertissent en un produit de fonctions trigonométriques.

$$\begin{gathered} \sin \left(x\right)+\sin \left(y\right)=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \sin \left(x\right)-\sin \left(y\right)=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \cos \left(x\right)+\cos \left(y\right)=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \cos \left(x\right)-\cos \left(y\right)=-2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right) \\ \tan \left(x\right)+\tan \left(y\right)=\frac{\sin \left(x+y\right)}{\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)} \\ \tan \left(x\right)-\tan \left(y\right)=\frac{\sin \left(x-y\right)}{\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)} \end{gathered}$$

Identités trigonométriques du produit à la somme

Les identités trigonométriques produit-somme prennent le produit de deux fonctions trigonométriques et les convertissent en une somme de fonctions trigonométriques.

$$\begin{gathered} \sin \left(x\right)\sin \left(y\right)=\frac{\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right)}{2} \\ \cos \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\cos \left(x-y\right)+\cos \left(x+y\right)}{2} \\ \sin \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\sin \left(x+y\right)+\sin \left(x-y\right)}{2} \\ \tan \left(x\right)\tan \left(y\right)=\frac{\tan \left(x\right)+\tan \left(y\right)}{cot\left(x\right)+cot\left(y\right)} \\ \sin \left(x\right)cot\left(y\right)=\frac{\tan \left(x\right)+cot\left(y\right)}{cot\left(x\right)+\tan \left(y\right)} \end{gathered}$$

Les lois des sinus, des cosinus et des tangentes

Pour les triangles qui ne sont pas des triangles rectangles, nous disposons également de la loi des sinus, de la loi des cosinus et de la loi des tangentes.

Un triangle sans angle droit - StudySmarter Originals

Manipulation des fonctions : Introduction

Maintenant que nous avons fait le tour de la question, présentons les façons dont nous pouvons manipuler les fonctions. Il existe quatre façons principales de manipuler les fonctions :

1. Algèbre des fonctions (manipulation algébrique) : équations algébriques et fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques.

   • Penser : addition, soustraction, multiplication et division
2. Transformations de fonctions

   • Réfléchis : manipulation d'un graphique
3. Combinaison de fonctions
4. Symétrie des fonctions

L'algèbre des fonctions ou la manipulation algébrique

La première façon de manipuler les fonctions est la manipulation algébrique. Il s'agit généralement d'ajouter, de soustraire, de multiplier et/ou de diviser une valeur d'une fonction, ou d'ajouter, de soustraire, de multiplier et/ou de diviser deux fonctions ou plus. Il peut également s'agir de porter une fonction à une puissance, une racine, un logarithme, etc. La manipulation algébrique peut même consister à simplifier une expression, une équation ou une fonction. Nous pouvons manipuler algébriquement des équations algébriques, des fonctions exponentielles, des fonctions logarithmiques et des fonctions trigonométriques.

Manipulation des équations algébriques

Avant d'aborder la manipulation des équations algébriques, rappelons ce qu'est exactement une équation algébrique.

Ce que nous devons faire ici, c'est nous assurer que les deux côtés du signe égal sont égaux, comme nous le ferions avec une balance. Ce que nous faisons d'un côté de l'équation, nous devons le faire de l'autre côté pour maintenir l'équilibre !

Manipuler les fonctions exponentielles

Avant d'aborder la manipulation des fonctions exponentielles, rappelons ce qu'est exactement une fonction exponentielle.

Encore une fois, ce qu'il faut faire ici, c'est s'assurer de traiter le signe égal comme une échelle, tout comme nous l'avons fait avec les équations algébriques.

Manipuler les fonctions logarithmiques

Avant d'aborder la manipulation des fonctions logarithmiques, rappelons ce qu'est exactement une fonction logarithmique.

Encore une fois, ce qu'il faut faire ici, c'est s'assurer de traiter le signe égal comme une échelle, tout comme nous l'avons fait avec les équations algébriques.

Manipuler les fonctions trigonométriques

Avant d'aborder la manipulation des fonctions trigonométriques, rappelons ce qu'est exactement une fonction trigonométrique.

Encore une fois, ce qu'il faut faire ici, c'est s'assurer de traiter le signe égal comme une échelle, tout comme nous l'avons fait avec les équations algébriques.

Pour plus d'informations, consulte notre article sur l'algèbre des fonctions ! Nous y abordons ces sujets de manière beaucoup plus approfondie, avec de nombreux exemples.

Transformations de fonctions

Toutes les transformations de fonctions que tu as apprises jusqu'à présent s'appliquent toujours au calcul AP. Toute fonction peut être transformée, horizontalement et/ou verticalement, en la déplaçant, en la réfléchissant, en l'étirant ou en la rétrécissant. Les transformations horizontales ne modifient que les coordonnées x des points. Les transformations verticales ne modifient que les coordonnées y des points.

Transformations horizontales des graphiques

Les transformations horizontales sont effectuées lorsque nous ajoutons/soustrayons un nombre à la variable d'entrée d'une fonction, généralement x, ou lorsque nous multiplions x par un nombre. Les transformations horizontales, à l'exception de la réflexion, fonctionnent de la manière opposée à celle à laquelle on s'attendrait. Voici un résumé du fonctionnement des transformations horizontales :

• Décalages - L'ajout d'un nombre à x décale la fonction vers la gauche, la soustraction la décale vers la droite.

• Rétrécit - Multiplier x par un nombre supérieur à 1 rétrécit la fonction horizontalement (pense à la compression horizontale).

• Étire - Multiplier x par un nombre inférieur à 1 étire la fonction horizontalement.

• Réflexions - Multiplier x par -1 reflète la fonction horizontalement (sur l'axe des y).

Transformations verticales des graphiques

Les transformations verticales sont effectuées lorsque nous ajoutons/soustrayons un nombre à la fonction entière, ou lorsque nous multiplions la fonction entière par un nombre. Contrairement aux transformations horizontales, les transformations verticales fonctionnent de la façon dont on s'attend à ce qu'elles le fassent (hourra !). Voici un résumé du fonctionnement des transformations verticales :

• Décalages - L'ajout d'un nombre à la fonction entière la décale vers le haut, la soustraction la décale vers le bas.

• Rétrécit - Multiplier la fonction entière par un nombre inférieur à 1 rétrécit la fonction verticalement (pense à la compression verticale).

• Étire - La multiplication de la fonction entière par un nombre supérieur à 1 étire la fonction verticalement.

• Réflexions - Multiplier la fonction entière par -1 la reflète verticalement (sur l'axe des x).

Pour plus d'informations, consulte notre article sur les transformations de fonctions! Nous y abordons le sujet de manière beaucoup plus approfondie, avec de nombreux exemples.

Combinaison de fonctions

La combinaison de fonctions est une autre façon de manipuler les fonctions dans l'AP Calculus. Il y a deux façons principales de combiner des fonctions :

1. En utilisant la manipulation algébrique (telle que décrite ci-dessus) pour ajouter/soustraire/multiplier/diviser deux fonctions ou plus.

2. En remplaçant la variable indépendante d'une fonction par une autre fonction dans un processus appelé composition de fonction.

Puisque nous avons déjà parlé de la manipulation algébrique des fonctions, parlons ici de la composition des fonctions. La composition de fonctions consiste à prendre une fonction, disons $g\left(x\right)$et de l'insérer dans une autre fonction, disons $f\left(x\right)$et de la résoudre, généralement pour une valeur de x.

Cette opération s'accompagne de sa propre notation : $f\left(g\left(x\right)\right)or\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ , qui se lisent toutes deux comme "f de g de x".

En d'autres termes, $f\left(g\left(x\right)\right)\ne g\left(f\left(x\right)\right)$.

Pour plus d'informations, consulte notre article sur la combinaison des fonctions ! Nous y abordons le sujet de manière beaucoup plus approfondie, avec de nombreux exemples.

Symétrie des fonctions

Certaines fonctions présentent des propriétés de symétrie qui nous aident à les comprendre et à comprendre la forme de leurs graphiques. Il existe deux types de symétrie lorsque l'on parle de fonctions et de leurs graphiques :

• Pair - Si une fonction a une symétrie paire , cela signifie qu'elle est symétrique par rapport à l'axe des y.
• Impaire - Si une fonction a une symétrie impaire , cela signifie qu'elle est symétrique par rapport à l'origine.

Pour plus d'informations, consulte notre article sur la symétrie des fonctions ! Nous y abordons le sujet de façon beaucoup plus approfondie, avec de nombreux exemples.