Fonction logarithmique naturelle

Définition de la fonction logarithme naturel

Rappelle-toi que e est la base utilisée dans la fonction de croissance et de décroissance exponentielle $g\left(x\right)=e^x$. Pour plus de détails, voir Croissance et décroissance exponentielles. En outre, tu sais que les fonctions exponentielles et les logarithmes sont des inverses l'un de l'autre, donc l'inverse de la fonction de croissance exponentielle est $f\left(x\right)={\log }_e\left(x\right)$. Cependant, ce logarithme naturel est tellement utilisé qu'il a une abréviation :

Le graphique ci-dessous montre que le logarithme naturel est la réflexion de la fonction de croissance exponentielle sur la ligne$y=x$.

Le logarithme naturel et la fonction de croissance exponentielle | StudySmarter Originals

En termes intuitifs, la fonction exponentielle t'indique l'ampleur de la croissance d'une chose en un certain temps, et le logarithme naturel te donne le temps qu'il faut pour atteindre un certain niveau de croissance. Tu peux y penser comme suit

$$\begin{gathered} e^{time}=howmuchgrowth \\ \ln (howmuchgrowth)=time \end{gathered}$$

Le domaine de la fonction logarithme naturel

Propriétés de la fonction logarithme naturel

Comme la fonction logarithme naturel n'est qu'un logarithme de base e, elle a les mêmes propriétés que la fonction logarithme ordinaire.

Propriétés de la fonction logarithme naturel :

• il s'agit d'un logarithme de base e
• il n'y a pas d'ordonnée à l'origine
• l'ordonnée à l 'origine est à $\left(1,0\right)$
• le domaine est $(0,\infty )$
• l'étendue est $\left(-\infty ,\infty \right)$
• $\ln \left(e^x\right)=x$
• $e^{\ln \left(x\right)}=x$

Conversion d'autres fonctions logarithmiques en fonctions logarithmiques naturelles

Il peut être utile de changer la base des fonctions logarithmiques pour voir comment elles se comparent entre elles. Pour ce faire, utilise la règle des proportions pour les logarithmes,

Puisque tu veux convertir ${\log }_b\left(x\right)$en ${\log }_e\left(x\right)$utilise $a=e$ pour obtenir

${\log }_b\left(x\right)=\frac{{\log }_a\left(x\right)}{{\log }_a\left(b\right)}=\frac{{\log }_e\left(x\right)}{{\log }_e\left(e\right)}=\frac{\ln \left(x\right)}{\ln \left(b\right)}$

Ainsi, l'expression $f\left(x\right)={\log }_b\left(x\right)$est équivalent à $f\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{\ln \left(b\right)}$.

Dérivés de la fonction logarithme naturel

La dérivée de la fonction logarithme naturel est

$\frac{d}{dx}\ln \left(x\right)=\frac{1}{x}$

Pour plus d'informations sur la dérivée de la fonction logarithme naturel, voir Dérivée de la fonction logarithme.

Intégration des fonctions logarithmiques naturelles

L'intégrale de la fonction logarithme naturel est

$\int \ln \left(x\right)dx=x·\ln \left(x\right)-x+C$

Pour plus d'informations sur l'intégrale de la fonction logarithme naturel, voir Intégrales impliquant des fonctions logarithmiques.