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Définition et exemple de la série de Taylor
La série de Taylor est un type particulier de série de puissance. En fait, la série de Taylor est une excellente façon de définir une série. En regardant la définition, tu verras que la série de Taylor peut imiter n'importe quelle fonction puisqu'elle est définie sur la base des dérivées de la fonction. Commençons par examiner sa définition et un exemple :
Soit \N( f \N) une fonction qui a des dérivées de tous les ordres à \N( x=a \N). La série de Taylor pour \N( f \N) à \N( x=a \N) est
\[ T_f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots \]
Où \(T_f\) signifie la série de Taylor de \(f\), et \( f^{(n)} \) indique la \( n\)-ième dérivée de \( f\).
Tout d'abord, remarque qu'il s'agit bien d'une série de puissances centrée sur \N( x=a\N), où chaque coefficient est donné par
\[\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}. \]
En d'autres termes, chaque terme de la série de Taylor est basé sur les dérivées de \( f \N) à \( x=a \N), donc pour écrire la série de Taylor, tu dois avoir une fonction \( f \N) qui peut être différenciée à l'infini. Prenons un exemple.
Ecris la série de Taylor pour \( f(x) = e^x \) à \( x=1 \).
Réponse :
- Commençons par différencier \N( f \N) :
\[ \begin{align} f(x) &= e^x \\ f'(x) &= e^x \\ f''(x)&=e^x .\end{align} \]
Tu peux rapidement voir que si tu continues à prendre les dérivées, il y a un modèle :
\N[ f^{(n)}(x)=e^x.\N]
- Maintenant, évaluons \( f^{(n)}\) à \( x=1 \) :
\N- f^{(n)}(1)=e.\N- f^{(n)}(1)=e.\N]
- En combinant ceci avec la définition,
\[ T_f(x) = e + e(x-1)+\dfrac{e}{2!}(x-1)^2+\cdots +\dfrac{e}{n!}(x-1)^n+\cdots \]
En utilisant la notation de sommation (également connue sous le nom de notation sigma), la série de Taylor pour \( f(x) = e^x \) à \( x=1\) peut être écrite comme suit :
\[ T_f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{e}{n!}(x-1)^n. \]
Remarque que dans cet exemple, tu as rapidement écrit la fonction \( f(x)=e^x\) sous forme de série de puissance d'une manière simple et directe en ne connaissant que ses dérivées.
Formule de la série de Taylor
La série de Taylor est souvent présentée de différentes manières, selon l'usage que l'on en fait. Cependant, sa formule conserve le même schéma. Voyons comment la représenter à l'aide de la notation de la somme :
Soit \( f \) une fonction qui a des dérivées de tous les ordres à \( x=a \). La série de Taylor pour \N( f \N) à \N( x=a \N) est
\[ T_f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n , \]
où \( f^{(n)} \) indique la \( n\)-ième dérivée de \( f \), et \( f^{(0)}\) est la fonction originale \( f \).
Pour des raisons de place, nous utiliserons la représentation de la somme de la série de Taylor à l'avenir. Voyons maintenant un exemple impliquant une fonction familière.
Ecris la série de Taylor pour
\[f(x) = \dfrac{1}{1-x} \]
à \( x=0\).
Réponse :
- Commençons par différencier \Nf(f) :
\[ \begin{align} f(x) &= \dfrac{1}{(1-x)} \\ f'(x) &= \dfrac{1}{(1-x)^2} \ f''(x)&=\dfrac{2}{(1-x)^3} \\ f'''(x)&=\dfrac{6}{(1-x)^4}. \Nend{align} \]
Si tu continues à prendre les dérivées, tu peux voir le schéma suivant :
\[ f^{(n)}(x)=\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}.\]
- Évaluons maintenant \Nf^{(n)}à \Nl'emplacement de \Nx=0 \N :
\[ f^{(n)}(0)=n !.\]
- En combinant ceci avec la définition,
\[ \begin{align} T_f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n!}{n!}x^n \\\N- &= \sum_{n=0}^{\infty}x^n .\Nend{align} \]
Tu as donc la série de Taylor pour la fonction
\[ f(x) = \dfrac{1}{1-x} \]
à \( x=0\).
Bien que tu aies trouvé la série de Taylor de \( f\N) dans l'exemple précédent, si tu reviens sur les séries géométriques, la série ci-dessus n'est convergente que si \( |x|<1\N). Cela nous ramène à deux définitions importantes de l'article sur les séries de puissances, le rayon de convergence et l'intervalle de convergence, que tu dois prendre en compte pour écrire n'importe quelle fonction puissance. En faisant cela, tu peux déterminer si la série converge pour chaque valeur de \( x \), ou si elle ne converge que pour un intervalle spécifique.
Vérifie le rayon et l'intervalle de convergence de la série de Taylor de \( f(x)=e^x \) à \( x=1\).
Réponse :
Comme tu le sais déjà grâce au premier exemple, la série de Taylor de f(x) à x=1 est la suivante
\[ T_f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{e}{n!}(x-1)^n . \]
- Pour trouver le rayon et l'intervalle de convergence, tu dois vérifier si
\N[ \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \Nà gauche| \Nfrac{a_{n+1}}{a_n} \Nà droite| <1.\N].
- Pour la série \N( T_f \N), tu as
\N[ a_n= \Ndfrac{e}{n!}(x-1)^n.\N]
- En mettant \N( a_n \N) dans la limite et en la simplifiant :
\[ \begin{align} L &= \lim\limites_{n \à \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{e(x-1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{e(x-1)^{n}}\right| \\e &=\limites_{n \on \infty} \N- gauche| \Nfrac{x-1}{(n+1)}\N-droit| \N- &=|x-1|\Nlimites_{n \Nà \Nfty} \frac{1}{(n+1)} \\N- &= 0.\Nend{align}\N]
Par conséquent, comme la limite est toujours plus petite que l'unité, et qu'elle est en fait indépendante de la valeur de \( x \N), l'intervalle de convergence est \N( (-\infty, \infty)\N) avec le rayon de convergence étant \N( R=-\infty\N).
Expansion de la série de Taylor
Maintenant que tu sais comment écrire la série de Taylor à partir d'une fonction et du point central, tu peux écrire un développement de série pour n'importe quelle fonction ayant des dérivées de tous les ordres. Définissons d'abord quand on peut dire que \( f(x) = T_f(x)\).
Soit \n- f \n- une fonction qui a des dérivées de tous les ordres à \n- x=a \n- et que \n- T_f\n- soit la série de Taylor pour \n- f \n- à \n- x=a \n-. Alors, pour toute valeur de \(x\) à l'intérieur de l'intervalle de convergence,
\f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = T_f(x) . \]
En d'autres termes, à l'intérieur de l'intervalle de convergence, la série de Taylor \(T_f\) et la fonction \(f\) sont exactement les mêmes, et \( T_f\) est un développement en série de puissance de \(f\).
Trouve un développement en série de puissance pour la fonction \( f(x)=\sin(x)\) centré sur \(x=\pi\).
Réponse :
Pour trouver un tel développement, tu dois trouver la série de Taylor de \(\sin(x)\) à \(x=\pi\).
- Tout d'abord, calculons les dérivées de \(\sin(x)\)
\N- \N[ \N- \N{align} f(x) &= \Nsin(x) \N- \N f'(x) &= \Ncos(x) \N- \N f''(x)&=-\Nsin(x) \N- \Nf''(x)&=-\Ncos(x) . \Nend{align} \]
Si tu continues à prendre les dérivées, tu peux voir le schéma suivant
- Si \(n\) est pair :
\[f^{(n)}(x)=(-1)^{\tfrac{n}{2}}\sin(x) .\]
- Si \(n\) est impair :
\[ f^{(n)}(x)=(-1)^{\tfrac{n-1}{2}}\cos(x).\]
- Évaluons maintenant \(f^{(n)}\) à \( x=\pi) :
Si \(n\N) est pair :
\N-[ \N- f^{(n)}(x)&=(-1)^{\tfrac{n}{2}}\sin(\pi) \N- &=0 \Nend{align}\N].
Si \N(n\N) est impair :
\[ \begin{align}f^{(n)}(x)&=(-1)^{\tfrac{n-1}{2}}\cos(\pi) \\ &=(-1)^{\tfrac{n+1}{2}} .\N- [end{align}\N]
- En l'appliquant à la définition de la série de Taylor
\[\begin{align}T_f(x)&=0-(x-\pi)+0+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}+0-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dots \\ &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dfrac{(x-\pi)^7}{7!}+\dots\end{align}\]
- Écris-le en notation de sommation :
\[ T_f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!} .\]
- Maintenant, vérifions l'intervalle de convergence :
\[ \N- Début{alignement} L&=\limites_{n \à \infty} \left| \dfrac{(-1)^{n+1}(x-\pi)^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}\cdot\dfrac{(2n+1)!}{(-1)^{n}(x-\pi)^{2n+1}} \n- \n- &=\n-\nlimites_{n \n à \nfty} \left| \dfrac{(x-\pi)^{2}}{(2n+3)(2n+2)}\right| \e &=\left| (x-\pi)^{2}\right|\elimites_{n \a \efty} \left| \dfrac{1}{(2n+3)(2n+2)}\right| \ne &= 0 .\Nend{align}\N]
Par conséquent, pour toutes les valeurs de \N( x\N), le développement en série de \N(f(x)=\Nsin(x)\N) à \N(x=\Npi) est le suivant
\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!}.\]
Approximation par les séries de Taylor
Les séries de Taylor sont en effet un excellent moyen d'écrire une fonction sous la forme d'une série de puissances, mais parfois, tu n'as pas besoin de toute la série de Taylor égale à la fonction, tu as juste besoin d'une approximation de la fonction. C'est ce qui nous amène à l'approximation de la série de Taylor.
Soit \N( f \N) une fonction qui est \N(n\N)-différenciable à \N(x=a\N), alors la fonction
\N- [\N- Début{align} P_n(x)&=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2 \N- &\Nquad+\Npoints+f^{(n)}(x-a)^n \Nend{align}\N]
Est une approximation de \(f(x)\) autour de \(x=a\).
On dit qu'une fonction \(f\) est \(n\)-différentiable en un point, si tu peux calculer les premières \(n\) dérivées de \(f\).
Si tu compares la définition ci-dessus avec la première définition de la série de Taylor, tu verras qu'il s'agit de la première partie de la série. Tu peux donc dire qu'en dépit d'une erreur, la fonction \(f\) est approximativement égale à \(P_n\). En d'autres termes ,
\[\N- Début{align} f(x)&=P_n(x)+e(x) \N- f(x)&\Napproximativement P_n(x),\NFin{align}\N].
où \(e(x)\) est la différence entre la série de Taylor et \(P_n(x)\). Ici, \(e(x)\) est appelé la fonction d'erreur pour la série de Taylor.
Dans l'expansion de la série de Taylor pour \(\sin(x)\) à \(x=\pi\), tu avais la série suivante :
\[\begin{align}T_f(x)&=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{(x-\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dfrac{(x-\pi)^7}{7!}+\dots\end{align}\]
Tu n'as que des puissances impaires parce que les dérivées des fonctions paires étaient nulles à \(x=\pi\). Cela signifie que tu peux dire que chaque \(P_n\) où \(n\) est impair est une approximation de \(\sin(x)\) :
\N- [\N- Début{align} P_1(x)&=-(x-\pi) \NP_3 (x) &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!} \\ P_5(x)&=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!} \\ P_7(x) &=-(x-\pi)+\dfrac{(x-\pi)^3}{3!}-\dfrac{(x-\pi)^5}{5!}+\dfrac{(x-\pi)^7}{7!} .\Nend{align}\]
Comparons le comportement de chaque fonction \(P_n\) avec la fonction sinus :
Approximation de la série de Taylor pour la fonction sinus.
Remarque que si tu augmentes l'ordre de la fonction \N( P_n(x)\N) (en d'autres termes, tu augmentes la valeur de \N(n\N)), l'approximation se rapproche de la fonction originale \N( f(x)\N). Par conséquent, le degré de \(P_n\) définit la qualité de l'approximation de \(f\). Remarque également que ces approximations ne fonctionnent que pour les nombres proches du centre de la série, qui dans ce cas est \(x=\pi\).
Importance des séries de Taylor
La principale importance des séries de Taylor est certainement de trouver d'autres façons d'exprimer les fonctions. Dans certains des exemples que tu as vus, une fois que tu as écrit une fonction sous la forme d'une série de puissances, il est beaucoup plus facile d'évaluer la fonction parce que tu n'évalues que des puissances. Les séries de Taylor peuvent également faciliter la recherche d'autres informations, comme les dérivées et les intégrales des fonctions. Prenons un exemple classique.
Quelle est l'intégrale indéfinie de \(f(x)=e^{x^2}\) ?
Réponse :
Cette fonction est bien connue dans le domaine des mathématiques comme exemple de fonction qui n'a pas d'antidérivée pouvant être écrite en termes de fonctions élémentaires que tu connais. Si tu essaies d'évaluer cette intégrale, tu verras que toutes les techniques d'intégrale que tu connais ne suffisent pas à la résoudre ! Jusqu'à présent, en tout cas. Avec la série de Taylor, tu peux le faire !
- Commençons par écrire la série de Taylor de \(e^x\) centrée sur \(x=0\). Comme tu sais que la dérivée de \( e^x\) est égale à elle-même, alors :
\[ \N- Début{alignement} e^x&=\sum_{n=0}^{\Nfty} \dfrac{f^{(n)}(0)x^n}{n!} \\N- &=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{e^0x^n}{n!} \N- &=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}. \[end{align}\]
- Maintenant, en utilisant la série de Taylor de \(e^x\), appliquons-la à \(x^2\) en substituant \(x^2\) à chaque \(x\) dans la série de Taylor de \(e^x\) centrée sur \(x=0\) :
\[ \begin{align} e^{x^2}&=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(x^2)^n}{n!} \\N- &=\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{2n}}{n!}. \N- [Fin{alignement}\N]
- Pour mieux comprendre la série, développons-la pour obtenir
\[ \begin{align} e^{x^2}&=1+x^2+\dfrac{x^4}{2}+\dfrac{x^6}{6} +\dfrac{x^8}{24}+\dots\end{align}\]
- Prenons maintenant l'intégrale des deux côtés de l'équation ci-dessus :
\[ \begin{align} \int e^{x^2} \N- \Nmathrm{d}x &=\int \Nleft( 1+x^2+\dfrac{x^4}{2}+\dfrac{x^6}{6} +\dfrac{x^8}{24}+\dots\Nright) \N- \Nmathrm{d}x .\Nend{align}\N]
- En utilisant tes connaissances sur l'intégration des fonctions de puissance, tu as
\[ \begin{align} \Nint e^{x^2} \, \mathrm{d}x &=C+ x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{10} \\N- &\Nquad+\dfrac{x^6}{36} +\dfrac{x^8}{192}+\dots \end{align}\]
Tu as donc l'intégrale indéfinie de \(e^{x^2}\) écrite sous forme de série de puissance grâce à la série de Taylor !
Série de Taylor - Principaux enseignements
- Série de Taylor de \(f) centrée sur \(x=a)\[ T_f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]
- A l'intérieur de l'intervalle de convergence, la série de Taylor est égale à \(f\N)\N[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \N].
- Pour trouver l'intervalle de convergence, il faut appliquer le test du ratio[ \\Nlimite_{n \Nà \Nfty} \Nà gauche| \Nfrac{a_{n+1}}{a_n} \Nà droite| <1\N].
- Une approximation de la série de Taylor de \(f\N) est définie comme les premiers termes \N(n\N) de la série de Taylor\N[\Nbegin{align}P_n(x)&=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2 \N &\Nquad +\Npoints+f^{(n)}(x-a)^n\Nend{align}\N].
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