Méthode d'Euler: Algorithm, Applications

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Katherine Johnson, l'une des premières femmes afro-américaines à travailler comme scientifique pour la NASA, a utilisé la méthode d'Euler en 1961 pour permettre le premier vol spatial humain aux États-Unis. La méthode d'Euler a permis à Johnson d'estimer le moment où le vaisseau spatial devait ralentir pour commencer sa descente dans l'atmosphère, ce qui s'est traduit par un vol et un atterrissage réussis !

La formule de la méthode d'Euler

Révision de l'approximation linéaire

La formule qui sous-tend la méthode d'Euler devrait t'être familière. Rappelle-toi la formule d'approximation linéaire (que tu trouveras dans l'article Approximations linéaires et différentielles) pour f(x):

$f (x) \approx f (a) + f' (a) (x - a)$

où f(x) est la valeur de la fonction f au point x et a est un point de valeur initiale connu.

Méthode d'Euler approximation linéaire ligne tangente visualisation StudySmarter La ligne tangente est formée à partir d'un point initial (a, f(a)) puis la pente de la ligne tangente est utilisée pour approximer la valeur de f(y) ; ici, le point (x, y) est l'approximation tandis que le point (x, f(y)) est la valeur réelle - StudySmarter Original

Formule de la méthode d'Euler

De même, la formule générale de la méthode d'Euler pour une équation différentielle de la forme $y' = f (x, y)$ . La seule différence entre la méthode d'Euler et l'approximation linéaire est que la méthode d'Euler utilise plusieurs itérations d'approximation pour trouver une valeur plus exacte. Avec la méthode d'Euler, nous utilisons _x0 et _y0, qui sont généralement donnés comme valeurs initiales, pour estimer la pente de la tangente à _x1. Voici à quoi cela ressemble :

$y_{i + 1} \approx y_{i} + h f (x_{i}, y_{i})$

où $y_{i + 1}$ est l'approximation de la valeur de la solution suivante, $y_{i}$ est la valeur actuelle, $h$ est l'intervalle entre les étapes, et $f (x_{i}, y_{i})$ est la valeur de l'équation différentielle évaluée à $(x_{i}, y_{i})$ .

Décomposons cette formule plus en détail.

Dérivation de la méthode d'Euler

Considère l'image ci-dessous.

Graphique d'approximation de la méthode d'Euler StudySmarter Méthode d'Euler Formule générale Intuition - StudySmarter Original

Avec un point initial $(x_{0}, y_{0})$ on peut trouver une ligne tangente avec une pente de $f (x_{0}, y_{0})$ . Nous pouvons utiliser ces valeurs pour approximer le point $(x_{1}, y_{1})$ où $x_{1} = x_{0} + h$ et $y_{1} \approx y_{0} + h f (x_{0}, y_{0})$ selon les principes de base de la géométrie des coordonnées. Cette opération peut être effectuée autant de fois que nécessaire. Cependant, il est important de mentionner que l'utilisation d'une taille de pas h plus petite produira une approximation plus précise. Un pas plus grand h produira une approximation moins précise.

Si _y1 est une bonne approximation, l'utilisation de la méthode d'Euler nous donnera une bonne estimation de la solution réelle. Cependant, si _y1 n'est pas une bonne approximation, la solution obtenue à l'aide de cette méthode sera également erronée !

Importance de la méthode d'Euler

Les équations différentielles sont couramment utilisées pour décrire les phénomènes du monde naturel avec des applications allant, en toute simplicité, du mouvement d'une voiture aux modèles de trajectoires de vaisseaux spatiaux. Malheureusement, ces équations ne peuvent pas être résolues directement étant donné leur complexité. C'est là qu'interviennent la méthode d'Euler et d'autres algorithmes d'approximation d'équations différentielles. Nous pouvons utiliser des algorithmes d'approximation d'équations différentielles, comme la méthode d'Euler, pour trouver une solution approximative. Une solution approximative est bien meilleure que pas de solution du tout !

Limites de la méthode d'Euler

Bien que la méthode d'Euler soit un algorithme simple et direct, elle est moins précise que beaucoup d'autres algorithmes similaires. Comme nous l'avons déjà mentionné, l'utilisation d'un pas plus petit h peut augmenter la précision, mais cela nécessite plus d'itérations et donc un temps de calcul déraisonnablement plus important. C'est pourquoi la méthode d'Euler est rarement utilisée dans la pratique. Cependant, la méthode d'Euler constitue une base pour des algorithmes d'approximation plus précis et plus utiles.

Exemples de la méthode d'Euler

Une méthode pas à pas

Considère l'équation différentielle $\frac{d y}{d x} = 6 - 2 \frac{y}{x}$ avec une valeur initiale de $y (3) = 1$ . Utilise $h = 0.2$ pour obtenir une approximation de $y (4)$ .

Étape 1 : Trouve la pente de la ligne tangente au point initial.

Pour trouver la pente de la ligne tangente au point $(3, 1)$ il suffit de l'introduire dans l'équation différentielle pour obtenir

$\frac{d y}{d x} = 6 - 2 (\frac{1}{3}) = \frac{16}{3}$

Étape 2 : Trouver notre nouvelle valeur x

Pour trouver notre prochaine valeur x, nous ajoutons h à la valeur x initiale pour obtenir

$x_{1} = 3 + \frac{1}{5} = \frac{16}{5}$

Étape 3 : Insère nos valeurs dans l'équation différentielle pour obtenir notre nouvelle approximation de la valeur y.

Nous avons donc :

Taille de l'étape, $h = 0.2 = \frac{1}{5}$
Valeur y initiale, $y_{0} = 1$
La pente de la ligne tangente à la valeur initiale, $f (x_{0}, y_{0}) = \frac{16}{3}$

En branchant toutes nos valeurs, nous obtenons

$\begin{array}{rcl} y_{1} & \approx & y_{0} + h \cdot f (x_{0}, y_{0}) \\ y_{1} & \approx & 1 + (\frac{1}{5}) (\frac{16}{3}) \\ \approx & 1 + \frac{16}{15} \\ \approx & \frac{31}{15} \end{array}$

Ainsi, l'approximation de la solution à $x = 3 + 0.2 = 3.2$ est $\frac{31}{15}$ ou

$y (3.2) \approx \frac{31}{15}$

Étape 4 : Répète l'algorithme autant de fois que nécessaire pour obtenir y(4).

Étant donné que notre taille de pas est de 0,2, nous devrons répéter l'algorithme 4 fois de plus :

En utilisant $(\frac{16}{5}, \frac{31}{15})$ : $f (\frac{16}{5}, \frac{31}{15}) = 6 - 2 \frac{\frac{31}{15}}{\frac{16}{5}} = \frac{113}{24}, x_{2} = \frac{17}{5}, y_{2} \approx \frac{31}{15} + (\frac{1}{5}) (\frac{113}{24}) = \frac{361}{120}$
Utilisation $(\frac{17}{5}, \frac{361}{120})$ : $f (\frac{17}{5}, \frac{361}{120}) = 6 - 2 \frac{\frac{361}{120}}{\frac{17}{5}} = \frac{863}{204}, x_{3} = \frac{18}{5}, y_{3} \approx \frac{361}{120} + (\frac{1}{5}) (\frac{863}{204}) = \frac{2621}{680}$
En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant $f (\frac{18}{5}, \frac{2621}{680})$ : $f (\frac{18}{5}, \frac{2621}{680}) = 6 - 2 \frac{\frac{2621}{680}}{\frac{18}{5}} = \frac{4723}{1224}, x_{4} = \frac{19}{5}, y_{4} \approx \frac{2621}{680} + (\frac{1}{5}) (\frac{4723}{1224}) = \frac{3539}{765}$
Utilisation $f (\frac{19}{5}, \frac{3539}{765})$ : $f (\frac{19}{5}, \frac{3539}{765}) = 6 - 2 \frac{\frac{3539}{765}}{\frac{19}{5}} = \frac{10364}{2907}, x_{5} = 4, y_{5} \approx \frac{3539}{765} + (\frac{1}{5}) (\frac{10364}{2907}) = \frac{913}{171}$

Enfin, nous avons obtenu notre approximation à $y (4) \approx \frac{913}{171} \approx 5.339$ !

Lorsque tu résous plusieurs itérations de la méthode d'Euler, il peut être utile de construire un tableau pour chacune de tes valeurs ! Dans les problèmes itératifs comme celui-ci, les tableaux peuvent t'aider à organiser tes chiffres.

Pour ce problème, un tableau pourrait ressembler à ce qui suit :

(_xi, _yi)	dy/dx	h = 0.2	_xi+1	_yi+1
$(3, 1)$	$\frac{16}{3}$		$\frac{16}{5}$	$\frac{31}{15}$
$(\frac{16}{5}, \frac{31}{15})$	$\frac{113}{24}$		$\frac{17}{5}$	$\frac{361}{120}$
$(\frac{17}{5}, \frac{361}{120})$	$\frac{863}{204}$		$\frac{18}{5}$	$\frac{2621}{680}$
$(\frac{18}{5}, \frac{2621}{680})$	$\frac{4723}{1224}$		$\frac{19}{5}$	$\frac{3539}{765}$
$(\frac{19}{5}, \frac{3539}{765})$	$\frac{10364}{2907}$		$4$	$\frac{913}{171}$

Étape 5 : Vérifier l'erreur

Comme cet exemple spécifique peut être résolu directement, nous pouvons vérifier l'erreur globale de notre réponse.

La solution directe de l'équation différentielle est $y = \frac{- 45}{x^{2}} + 2 x$ . En introduisant x = 4, nous obtenons

$\begin{array}{rcl} y & = & \frac{- 45}{16} + 8 \\ = & \frac{83}{16} \\ = & 5.1875 \end{array}$

Pour vérifier le pourcentage d'erreur, il suffit de calculer

$\begin{array}{rcl} % e r r o r & = & \frac{| e x a c t - a p p r o x i m a t i o n |}{e x a c t} \times 100 % \\ = & \frac{|\frac{83}{16} - \frac{913}{171}|}{\frac{83}{16}} \times 100 \\ \approx & 2.92 % \end{array}$

Notre erreur est relativement faible !

Nous utilisons des valeurs absolues dans le calcul du pourcentage d'erreur parce que nous ne nous soucions pas de savoir si notre approximation est supérieure ou inférieure à la valeur réelle, nous voulons simplement savoir à quelle distance elle se trouve !

Heureusement pour nous, tous les problèmes de la méthode d'Euler suivent le même algorithme simple.

Méthode d'Euler - Principaux enseignements

La méthode d'Euler est un outil d'approximation pour la résolution d'équations différentielles basé sur l'approximation linéaire.
La formule générale de la méthode d'Euler est la suivante yi+1≈yi+h·f(xi, yi)où
- $y_{i + 1}$ est l'approximation de la valeur de la solution suivante,
- $y_{i}$ est la valeur actuelle,
- $h$ est l'intervalle entre les étapes, et
- $f (x_{i}, y_{i})$ est la valeur de l'équation différentielle évaluée à $(x_{i}, y_{i})$
La méthode d'Euler est rarement utilisée dans les applications réelles car l'algorithme a tendance à être peu précis et nécessite un temps de calcul important.

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Une valeur de pas plus grande h produit une approximation précise ____ tandis qu'une valeur de pas plus petite h produit une approximation précise ____.

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Questions fréquemment posées en Méthode d'Euler

Qu'est-ce que la Méthode d'Euler en mathématiques?

La Méthode d'Euler est une technique numérique pour résoudre des équations différentielles ordinaires en utilisant des pas discrets.

Comment appliquer la Méthode d'Euler?

Pour appliquer la Méthode d'Euler, on calcule les valeurs successives de la solution en avançant pas à pas selon la formule y_(n+1) = y_n + h*f(x_n, y_n).

Quelles sont les limites de la Méthode d'Euler?

Les limites de la Méthode d'Euler incluent une précision faible pour des pas de temps élevés et une stabilité réduite pour certains types d'équations différentielles.

Dans quels domaines utilise-t-on la Méthode d'Euler?

La Méthode d'Euler est utilisée dans des domaines comme la physique, la biologie et l'économie pour modéliser des phénomènes dynamiques.

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