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Tu apprendras ici à dessiner des champs de direction, également appelés champs de pente, qui sont des représentations graphiques d'équations différentielles.
Que signifie un champ de direction ?
Les représentations graphiques sont très utiles en calcul. En utilisant un graphique, tu peux relier une expression mathématique à une idée. Dans ce contexte, les expressions mathématiques sont généralement données sous forme d'équations ou d'inégalités. Prends par exemple la fonction
\N[ f(x) = x^2-1,\N]
qui, pour être représentée graphiquement, doit d'abord faire l'association \( y=f(x)\). De cette façon, tu peux relier une valeur \N(y) à chaque valeur \N(x) et utiliser un plan cartésien pour dessiner toutes les paires \N( (x, f(x) )\N).
Les équations différentielles ne font pas exception lorsqu'on parle de graphiques. Bien sûr, tu peux essayer de résoudre une équation différentielle et obtenir une fonction comme réponse. Tu peux alors représenter graphiquement cette fonction, qui est le graphique de la solution de l'équation différentielle !
Cependant, les équations différentielles fournissent toujours certaines informations sans qu'il soit nécessaire de trouver une solution. Ces informations sont affichées à l'aide de champs de direction.
Les champs de direction sont plus communément appelés champs de pente car chaque segment du graphique représente une pente à un point donné.
Leschamps de direction, également connus sous le nom de champs de pente, sont une représentation graphique des équations différentielles du premier ordre.
Bien qu'un champ de direction puisse être utilisé pour représenter la solution d'une équation différentielle du premier ordre, il convient de noter que le champ de direction n' est pas le graphique de la solution d'une équation différentielle.
Champs de direction et équations différentielles
Comme nous l'avons déjà mentionné, les champs de direction, mieux connus sous le nom de champs de pente, sont la représentation graphique d'équations différentielles du premier ordre. Mais tu te demandes peut-être comment il est possible de dessiner le graphique d'une équation différentielle sans la résoudre ?
Supposons qu'on te donne une équation différentielle
\[ xy'=2y,\]
que tu peux réécrire comme
\[ y' = \frac{2y}{x}.\]
L'interprétation de base d'une dérivée est qu'elle te donne la pente d'une ligne tangente à une fonction en un point donné. Sachant cela, l'expression
\[ \frac{2y}{x}\]
te donne des informations sur la pente en un point \N( (x,y) \N). En traçant de petits segments de droite à chaque point \( (x,y)\) avec la pente requise, tu peux réellement représenter cette équation différentielle.
Figure 2. Champ de pente de l'équation différentielle \( xy' = 2y\)
La résolution d'une équation différentielle nécessite que tu connaisses une constante d'intégration, qui sera donnée en fonction du problème. Cela signifie que tu peux avoir différents graphiques pour la solution d'une équation différentielle.
Figure 3. Solutions de l'équation différentielle \(xy'=2y\) pour différentes valeurs de la constante d'intégration.
Que se passe-t-il si tu reprends sur un graphique certaines solutions de l'équation différentielle en même temps que le champ de la pente ?
Figure 4. Champ de pente et solutions de l'équation différentielle \( xy'=2y\)
Note que les segments du champ de pente sont tangents à chaque solution de l'équation différentielle. Cela signifie que tu peux dessiner certaines solutions d'une équation différentielle en te basant sur le champ de pente.
Comment représenter graphiquement les champs de direction
L'idée de base pour représenter graphiquement les champs de pente est de choisir un ensemble de points, puis d'utiliser l'équation différentielle pour trouver la pente associée à chaque point. Ensuite, tu peux dessiner un petit segment avec la pente respective à chacun des points que tu as choisis. Voici quelques exemples de segments avec des pentes différentes.
Figure 5. Cinq segments avec des pentes différentes
Plus la valeur absolue de la pente augmente, plus le segment se rapprochera d'une ligne verticale. Si la pente est positive, elle ressemblera à un segment d'une fonction croissante, et si elle est négative, elle ressemblera à une fonction décroissante.
Figure 6. Deux segments dont les pentes diffèrent d'un signe
De même, lorsque la valeur absolue de la pente diminue, le segment se rapprochera d'une ligne horizontale.
Figure 7. Deux segments dont les pentes diffèrent d'un signe
Il est également possible d'avoir des segments complètement verticaux ou horizontaux. Si la pente est égale à \(0\), le segment sera complètement horizontal. Si la pente devient infinie (positive ou négative), le segment sera complètement vertical.
Figure 8. Un segment complètement horizontal avec un segment complètement horizontal
Maintenant que tu sais quel segment dessiner en fonction de la pente, tu peux procéder au tracé de quelques champs de pente en choisissant certains points sur le plan cartésien et en dessinant des segments avec la pente correspondante en ces points.
Voici un exemple.
Esquisse le champ de pente de l'équation différentielle
\N-[ xy' = 2y. \N]
Solution :
Commence par isoler \N(y'\N) de l'équation différentielle. Tu peux y parvenir en divisant les deux côtés de l'équation par \N(x\N), c'est-à-dire
\[ \begin{align} \frac{\cancel{x}y'}{\cancel{x}} &= \frac{2y}{x} \NY' &=\frac{2y}{x}. \Nend{align} \]
Essaie ensuite de choisir quelques points sur chaque quadrant, ainsi que quelques points sur les deux axes.
Figure 9. Points \(8\) sur le plan cartésien à utiliser pour le champ de pente.
Note que le point \( (0,0) \) est manquant. C'est parce que l'évaluation de la pente en ce point donnera une forme indéterminée de
\N[ \Nfrac{0}{0},\N]
Il est donc préférable d'éviter ce point. Maintenant que tu as choisi quelques points, tu vas devoir faire beaucoup d'évaluations. Tu peux représenter graphiquement chaque segment sur le champ, mais si tu t'entraînes encore, un tableau de valeurs te sera vraiment utile.
| \[x\] | \[y\] | \[\frac{2y}{x}\] | \[y'\] |
| \[-2\] | \[2\] | \[\frac{2(2)}{-2}\] | \[-2\] |
| \[-2\] | \[0\] | \[\frac{2(0)}{-2}\] | \[0\] |
| \[-2\] | \[-2\] | \[\frac{2(-2)}{-2}\] | \[2\] |
| \[0\] | \[2\] | \[\frac{2(2)}{0}\] | \[\infty\] |
| \[0\] | \[-2\] | \[\frac{-2}{0}\] | \[-\infty\] |
| \[2\] | \[2\] | \[\frac{2(2)}{2}\] | \[2\] |
| \[2\] | \[0\] | \[\frac{2(0)}{2}\] | \[0\] |
| \[2\] | \[-2\] | \[\frac{2(-2)}{2}\] | \[-2\] |
Enfin, tu peux dessiner les segments sur chaque point en identifiant la pente \N(y'\N) en chaque point.
Figure 10. Esquisse du champ de pente de l'équation différentielle \( xy'=2y\) à l'aide de segments \(8\).
Comme d'habitude, tu obtiens plus d'informations en utilisant plus de points, mais cette tâche te prendrait du temps. Cependant, en inspectant l'expression de la pente
\[ y'=\frac{2y}{x}\]
tu peux noter que les segments deviendront plus raides à mesure que la valeur de \(y \) augmentera. De plus, la pente sera positive dans les premier et troisième quadrants, alors qu'elle sera négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Tu peux utiliser ces informations pour améliorer le croquis du champ de pente.
Figure 11. Champ de pente de l'équation différentielle \( xy' = 2y\)
Esquisser une solution à partir d'un champ de direction
Puisque le champ de direction d'une équation différentielle te donne un ensemble de lignes tangentes à différentes familles de courbes solutions, tu peux en fait esquisser certaines de ces solutions !
Considère le champ de direction de l'équation différentielle
\N-[y'=y.\N]
Figure 12. Champ de pente de l'équation différentielle \( y'=y.\)
Tu peux noter comment les lignes du champ de pente s'alignent selon un certain schéma. Pour mieux identifier le comportement de ces courbes, imagine que tu commences à l'extrême gauche du graphique, à n'importe quelle valeur de \(y-\). En te déplaçant vers la droite, tu trouveras des segments de pente. Si ces segments ont une pente négative, tu devrais te déplacer vers le bas à mesure que tu te déplaces vers la droite. De même, si les segments ont une pente positive, tu dois plutôt te déplacer vers le haut.
Figure 13. Esquisse de deux courbes solutions de l'équation différentielle \(y'=y\) à l'aide de son champ de pente.
Les solutions de cette équation différentielle sont en fait une famille de fonctions exponentielles de la forme\[ y(x) = Ae^x,\]
où \(A\) est une constante d'intégration, qui peut être positive ou négative. Cela est parfaitement logique avec les solutions que tu as esquissées à partir du champ de pente !
Exemples de champs de direction
Tu trouveras ici d'autres exemples de champs de pente.
Esquisse le champ de pente de l'équation différentielle
\N-[y'=\frac{1}{2}y.\N]
Solution :
Tu disposes d'une forme isolée de \(y'\N), tu peux donc trouver la pente de chaque segment en évaluant l'expression
\N- [\Nfrac{1}{2}y.\N]
Note que l'expression ci-dessus ne dépend pas de \N(x\N), tu n'as donc pas à te préoccuper de la valeur de \N(x\N). Cela signifie que tu peux te concentrer sur le fait que la pente sera positive pour les valeurs positives de \(y\), et négative pour les valeurs négatives de \(y\). Les lignes deviendront plus raides au fur et à mesure que tu t'éloignes de l'origine et seront horizontales sur tout l'axe \(x-\) !
Figure 14. Champ de pente de l'équation différentielle \(y'=\frac{1}{2}y\)
Il est également possible que le champ de pente ne dépende que de la valeur de \(x\).
Esquisse le champ de pente de l'équation différentielle
\N-[y'-1=x.\N]
Solution :
Commence par isoler \N(y'\N) de l'équation différentielle. Tu peux y parvenir en ajoutant \N(1\N) aux deux côtés de l'équation, ce qui donne
\N- y'=x+1.\N- y'=x+1.\N- y'=x+1.\N]
Cette fois, l'expression ci-dessus ne dépend pas de \N(y\N). En raison du terme \N(+1\N), la pente sera positive pour \N(x>-1\N), négative pour \N(x<-1\N), et nulle lorsque \N(x=-1\N). De plus, les lignes deviennent plus raides au fur et à mesure que tu t'éloignes de \(x=-1\).
Figure 15. Champ de pente de l'équation différentielle \( y'=x+1\)
Champs de direction - Principaux enseignements
- Les champs de direction, plus communément appelés champs de pente, sont des représentations graphiques d'équations différentielles du premier ordre.
- Un champ de pente n' est pas le graphique de la solution d'une équation différentielle.
- Un champ de pentes est constitué de nombreux segments qui représentent les lignes tangentes aux différentes solutions d'une équation différentielle.
- Pour représenter graphiquement un champ de pentes, tu dois choisir un ensemble de points, trouver la pente associée à chaque point à l'aide de l'équation différentielle, puis représenter graphiquement les segments ayant la pente correspondante.
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