Approximations linéaires et différentiels

Approche \( f(\theta) = \sin(\theta) \) à \( \theta = 0 \).

Solution:

1. Utilise la valeur donnée pour \N( a \N) à la place de \N( x \N) pour trouver \N( f(a) \N). Tu obtiens ainsi la paire ordonnée \N( (a, f(a)) \N).
   • Dans le contexte de ce problème, tu dois résoudre \Nf(0).\N[ f(0) = \Nsin(0) = 0 \N]
     • La paire ordonnée est \N( (0, 0) \N).
2. Prends la dérivée de la fonction donnée, \Nf(x) \Npour trouver la pente de la ligne tangente.
   • Dans le contexte de ce problème, tu dois trouver la dérivée de \Nf(\Ntheta) \N.\N[ f'(\Ntheta) = \Ncos(\Ntheta) \N].
3. Résous la dérivée au point \N( x = a \N).
   • Dans le contexte de ce problème, tu dois introduire la valeur de \N( \Ntheta \N) pour résoudre la dérivée en ce point.\N[ \Nbegin{align}f'(\Ntheta) &= \Ncos(\Ntheta) \Nf'(0) &= \Ncos(0) \Nf'(0) &= 1\Nend{align} \]
4. Insère les valeurs de \( f(a) \N), \( f'(a) \N), et \( a \N) dans l'équation :\N- L(x) = f(a) + f'(a) (x - a) \N- L(x) = f(a) + f'(a) (x - a) \N-.
   • Dans le contexte de ce problème, tu dois introduire la valeur de \N( \Ntheta \N) et les valeurs que tu as obtenues aux étapes \N( 1-3 \N) dans l'équation d'approximation linéaire.\[ \begin{align}L(x) &= f(a) + f'(a) (x - a) \\L(\theta)&= f(0) + f'(0) (\theta - 0) \\&= 0 + 1 (\theta - 0) \\\mathbf{L(\theta)} &= \mathbf{\theta}\end{align} \]

Par exemple, considérons la fonction différentiable :

\[ f(x) = \frac{1}{x}, \]

où \N( x = a = 3 \N).

1. Quelle est la ligne tangente à la courbe à \N( a = 3 \N), et quelle est la ligne tangente à la courbe à \N( a = 3 \N) ?
2. Peut-on l'utiliser pour calculer approximativement la valeur de f(x) lorsque a = 3.1 ?

Solution:

1. Quelle est la ligne tangente à la courbe à \N( a = 3 \N) ?
   1. Trouve \Nf(a) \N.\N[ f(a) = f(3) = \Nfrac{1}{3} \N].
   2. Trouve la dérivée de \( f(x)).\[ f'(x) = -\frac{1}{x^{2}} \]
   3. Insère la valeur de \N( a \N) pour résoudre la dérivée en ce point.\N[ \NBeggin{align}f'(a) &= -\frac{1}{a^{2}} \\N-f'(3) &= -\frac{1}{(3)^{2}} \\N-&= -\frac{1}{9}\N- end{align} \]
   4. Insère la valeur de \N( a \N) et les valeurs que tu as obtenues aux étapes \N( 1-3 \N) dans l'équation de la ligne tangente.\N[ \Nbegin{align}y &= f(a) + f'(a) (x - a) \N\Nmathbf{y} &= \Nmathbf{\Nfrac{1}{3} - \frac{1}{9} (x - 3)}\end{align} \]
2. Est-ce que la ligne tangente peut être utilisée pour calculer approximativement la valeur de \( f(x) \N) lorsque \( a = 3.1 \N) ?
   1. Utilise la droite tangente que tu as trouvée dans la partie A pour estimer la valeur de la fonction à \N( a = 3,1 \N).\N[ \Nbut{align}y &= \Nfrac{1}{3} - \frac{1}{9} (3,1 - 3) \N-&\N- environ 0,3222\N- \Nend{align} \]
   2. Calcule la valeur de \Nf(3.1) \Nà l'aide de la fonction donnée.\N[ f(3.1) = \frac{1}{3.1} \Napprox 0.3226 \N]
   3. Compare les deux valeurs obtenues aux étapes \(1-2\). Utilise les graphiques ci-dessous pour visualiser la comparaison.Comme la différence entre l'approximation et les valeurs réelles est minime, \[ y \approx 0.3222 \text{ vs. } f(x) \approx 0.3226 \] tu peux dire que la ligne tangente peut être utilisée pour approximer la valeur de \( f(x) \) lorsque \( a = 3.1 \N).

Figure 2. La ligne tangente à la courbe de \( f(x) = \frac{1}{x} \Nà \N x = 3 \N te donne une bonne approximation de \N f(x) \N lorsque \N x \N est proche de \N 3 \N.

Figure 3. Lorsque \N- x = 3,1 \N-, la valeur de \N- y \N- sur la ligne tangente à la courbe de \N- f(x) = \Nfrac{1}{x} \N- est approximativement de \N- y \N- sur la ligne tangente à la courbe de \N- f(x) = \N-. \) est approximativement de 0,3222 ; la valeur réelle de \Nf(3,1) est de \Nfrac{1}{3,1} \Napprox 0,3226.

Supposons que tu aies une fonction, \( f(x) \N), qui est différentiable au point \N( a \N). Disons que l'entrée, \N( x \N), change d'une petite quantité appelée \N( \Nmathrm{d}x \N) (on pourrait aussi l'appeler \N( \NDelta x \N)).

Ce qui t'intéresse, c'est de savoir de combien la sortie, \Ny \Nest modifiée en fonction de ce minuscule changement de \Nx \N.

• Si \N- x \N passe de \N- a \N à \N- a + \Nmathrm{d}x \N-, alors le changement total de \N- x \N est \N- \N- \Nmathrm{d}x \N-, et le changement de \N- y \N- est donné par l'équation :\N[ \NDelta y = f(a + \Nmathrm{d}x) - f(a). \N-].
• So, if \( \mathrm{d}x \) is small,\[ \begin{align}f(a + \mathrm{d}x) &\approx L(a + \mathrm{d}x) \\&= f(a) + f'(a) (a + \mathrm{d}x - a).\end{align} \]
• En soustrayant \Nf(a) \Ndes deux côtés,\N[ \Nbegin{align}f(a + \Nmathrm{d}x) - f(a) &\Napprox L(a + \Nmathrm{d}x) - f(a) \N&= f'(a) \Nmathrm{d}x.\Nend{align} \]

En d'autres termes, [...]

• le changement réel de la fonction, \Nf(x) \N(si \Nf(x) augmente de \Nf(a) à \Nf(a + \Nmathrm{d}x)) est approximativement la différence entre \Nf(L(a + \Nmathrm{d}x) \Net \Nf(a) \N,
  • où \NL(x) \Nest l'approximation linéaire de \Nf(x) \Nà \NX = a \N.
• Par la définition de \N- L(x) \N-, cette différence est égale à \N- f'(a) \Nmathrm{d}x \N-.

En résumé :

\N-\NDelta y &= f(a + \mathrm{d}x) - f(a) \N&\Napprox L(a + \mathrm{d}x) - f(a) \N&= f'(a) \mathrm{d}x \N&= \mathrm{d}y\Nend{align} \]

Cela signifie que tu peux utiliser la différentielle, \N( \Mathrm{d}y = f'(a) \Mathrm{d}x \N), pour approximer le changement de \N( y \N) si \N( x \N) augmente de \N( x = a \N) à \N( x = a + \Mathrm{d}x \N). Le graphique ci-dessous illustre cela en détail.

Figure 4. Tu utilises la différentielle \N( \Nmathrm{d}y = f'(a) \Nmathrm{d}x \N) pour calculer approximativement le changement réel de \N( y \N) si \N( x \N) passe de \N( a \N) à \N( a + \Nmathrm{d}x \N).

Approximation de la variation avec les différentielles

Étant donné la fonction :

\[y = x^{2} + 2x, \N].

calcule

1. \N( \NDelta y \N) et
2. \N( \Nmathrm{d}y \N)

à \( x = 3 \r) si \( \mathrm{d}x = 0.1 \r).

Solution:

1. \N- \N( \NDelta y \N) est le changement réel de \N( y \N) si \N( x \N) passe de \N( 3 \N) à \N( 3,1 \N). Pour trouver le changement réel, utilise la formule suivante \N( \NDelta y = f(a + \Nmathrm{d}x) - f(a) \N).\N[ \Nbegin{align}\NDelta y &= f(a + \Nmathrm{d}x) - f(a) \N&= f(3.1) - f(3) \N&= \Nleft( (3.1)^{2} + 2(3.1) \right) - \left( 3^{2} + 2(3) \Ndroit) \N&= 15.81 - 15 \N&= 0.81\Nend{align} \]
2. \N- \N( \Nmathrm{d}y \N) est le changement approximatif de \N( y \N). Pour trouver le changement approximatif, utilise la formule : \N( \Nmathrm{d}y = f'(x) ~\Nmathrm{d}x \N).
   1. Trouve la dérivée de \( f(x) \N).\N[ f'(x) = 2x + 2 \N]
   2. Use the differential formula to solve for the approximate change.\[ \begin{align}\mathrm{d}y &= f'(x) ~\mathrm{d}x \\&= f'(3) ~\mathrm{d}x \\&= (2(3) + 2)(0.1) \\&= 0.8\end{align} \]

Approximation linéaire d'une fonction

Approche la fonction :

\N[ f(x) = (1 + x)^{n} \N]

à \( x = 0 \N). Utilise ensuite l'approximation pour estimer \N( 1,01^{2} \N).

Solution:

1. Utilise la valeur donnée pour \N( a \N) à la place de \N( x \N) pour trouver \N( f(a) \N). Tu obtiens ainsi la paire ordonnée \N( (a, f(a)) \N).
   • Dans le contexte de ce problème, tu dois résoudre \Nf(0).\Nf(0) = (1 + 0)^{n} = 1 \N]
     • La paire ordonnée est \N( (0, 1) \N).
2. Prends la dérivée de la fonction donnée, \Nf(x) \Npour trouver la pente de la ligne tangente.
   • Dans le contexte de ce problème, tu dois trouver la dérivée de f(x).[f'(x) = n(1 + x)^{n-1}]
3. Résous la dérivée au point \N( x = a \N).
   • Dans le contexte de ce problème, tu dois introduire la valeur de \N( x \N) pour résoudre la dérivée à ce point.\N[ \NBegin{align}f'(x) &= n(1 + x)^{n-1} \N{f'(0) &= n(1 + 0)^{n-1} \N{f'(0) &= n\Nend{align} \]
4. Insère les valeurs de \( f(a) \N), \( f'(a) \N), et \( a \N) dans l'équation :\N- L(x) = f(a) + f'(a) (x - a) \N.
   • Dans le contexte de ce problème, tu dois introduire la valeur de \N( x \N) et les valeurs que tu as obtenues aux étapes \N( 1-3 \N) dans l'équation d'approximation linéaire.\[ \begin{align}L(x) &= f(a) + f'(a) (x - a) \\&= f(0) + f'(0) (x - 0) \\&= 1 + n (x - 0) \\\mathbf{L(x)} &= \mathbf{1 + nx}\end{align} \]
5. Approche de \N( 1.01^{2}) en évaluant \N( L(0.01)) à \N( n = 2).\N[ \N-begin{align}(1.01)^{2} &= f(1.01) \\N-&\N-approx L(1.01) \N-&= 1 + n(x - 0) \N-&= 1 + 2(0.01) \N-\N- mathbf{(1.01)^{2}} &= \N- mathbf{1.02}\N- end{align} \]

Calcul des différentielles

Trouve \N( \Nmathrm{d}y \N) et évalue la fonction suivante à \N( x = 3 \N) et \N( \Nmathrm{d}x = 0,1 \N).

\N[ y = \Ncos(x) \N]

Solution:

1. Trouve la dérivée de \( f(x) \N).\N[ f'(x) = -\Nsin(x) \N]
2. Insère la dérivée dans la formule différentielle.\N-[ \Nbegin{align}\Nmathrm{d}y &= f'(x) ~\Nmathrm{d}x \N\Nmathbf{\Nmathrm{d}y} &= \Nmathbf{\N-\sin(x) ~\Nmathrm{d}x}\Nend{align} \]
3. Insère les valeurs données de \( x \N) et \( \mathrm{d}x \N) et simplifie.\N[ \Nbegin{align}\mathrm{d}y &= -\sin(3)(0.1) \N\Nmathbf{\Nmathrm{d}y} &= \Nmathbf{-0.1\sin(3)}\Nend{align} \]