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Sauter à un chapitre clé
Cela dit, les fonctionsa> sinus et cosinus te viennent probablement à l'esprit lorsque tu parles de fonctions trigonométriquesa>, et peut-être aussi la fonction tangente. Mais nous avons au total six fonctions trigonométriquesa> ! Il est temps d'accorder un peu de temps d'écran aux fonctions sécante, cosécante et cotangente.
La fonction sécante, ainsi que les fonctions cosécante et cotangente, sont collectivement connues sous le nom de fonctions réciproques parce qu'elles sont la réciproque des principales fonctions trigonométriques. Tu apprendras ici à trouver la dérivée de chacune d'entre elles.
Dérivée de la fonction sécante sec
La fonction sécante est la réciproque de la fonction cosinus.
La fonction séc ante est notée
\[\sec{x}\]
et est la réciproque de la fonction cosinus, c'est-à-dire
\[\sec{x}=\frac{1}{\cos{x}}.\]
Pour trouver la dérivée de la fonction sécante, tu peux utiliser la dérivée de la fonction cosinus et la règle du quotient. Commence par écrire la fonction sécante en termes de fonction cosinus, c'est-à-dire
\[\sec{x}=\frac{1}{\cos{x}}.\]
Ensuite, tu peux utiliser la règle du quotient, c'est-à-dire
\N- [\N- Début{alignement} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sec{x} &= \frac{ \frac{ \mathrm{d}}}{\mathrm{d}x}(1)\right)(\cos{x}) - (1)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos{x}\right) }{(\cos{x})^2} \\N- &= \frac{ \frac{\rmathrm{d}}{\rmathrm{d}x}(1)\right)(\cos{x}) - (1)\left(\frac{\rmathrm{d}}{\rmathrm{d}x}\cos{x}\rright) }{cos^2{x}}. [\N-END{align}\N]
La dérivée de la constante \(1\) est égale à \(0\), et la dérivée de la fonction cosinus est la négative de la fonction sinus,
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos{x} = -\sin{x},\]
donc
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec{x} &= \frac{(0)(\cos{x}) -(1)(-\sin{x}) }{\cos^2{x}} \N- &= \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \N- \N &= \Nleft( \frac{1}{\cos{x}} \Nright) \Nleft(\frac{\sin{x}}{\cos{x}} \Nright).\N- [end{align}\N]
Pour la dernière étape, tu peux réécrire la réciproque du cosinus comme la sécante, et tu peux aussi utiliser l'identité trigonométrique
\[\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\tan{x},\]
en obtenant
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec{x} = (\sec{x})(\tan{x}).\]
Tu trouveras généralement l'expression ci-dessus dans les tableaux de dérivées, simplement écrite sans parenthèses. Tu obtiens ainsi la formule de la dérivée de la fonction sécante.
La dérivée de la fonction sécante est
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec{x} = \sec{x}\,\tan{x}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Dérivée de la fonction cotangente cot
Il est temps de passer à la fonction cotangente, qui est la réciproque de la fonction tangente.
La fonction cotangente est notée
\[\cot{x}\]
et est la réciproque de la fonction tangente, c'est-à-dire
\[\cot{x}=\frac{1}{\tan{x}}.\]
Une particularité des fonctions tangente et cotangente est qu'elles peuvent également être écrites comme des fonctions rationnelles en utilisant les fonctions sinus et cosinus, comme on le voit dans l'une des étapes requises pour trouver la dérivée de la fonction sécante. Pour la fonction tangente, tu peux écrire
\[\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}.\]
Comme la fonction cotangente est la réciproque de la fonction tangente, tu peux aussi trouver la fonction cotangente écrite comme une fonction rationnelle en utilisant les fonctions sinus et cosinus, c'est-à-dire
\N- [\N- Début{align} \cot{x} &= \frac{1}{\tan{x}} \\N- &= \frac{1}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}. \N- [end{align}\N]
En utilisant les propriétés des fractions, tu peux écrire ceci sous la forme suivante
\[\cot{x}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}},\]
ce qui signifie que la fonction cotangente peut également être écrite comme le quotient de la fonction cosinus et de la fonction sinus.
Tu peux utiliser l'identité ci-dessus pour trouver la dérivée de la fonction cotangente. Comme il s'agit d'un quotient de deux fonctions, tu devras utiliser la règle du quotient, donc
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cot{x} = \frac{\Ngauche(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos{x}\right) (\sin{x}) - (\cos{x}) \gauche( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin{x} \right) }{(\sin{x})^2}.\N- \N]
Ensuite, tu devras utiliser le fait que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus,
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{x} = \cos{x}, \]
et tu as déjà trouvé la dérivée de la fonction cosinus. En substituant ces dérivées, tu obtiendras
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot{x} &= \frac{(-\sin{x})(\sin{x})-(\cos{x})(\cos{x})}{(\sin{x})^2} \\N- &= -\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin^2{x}}. \N-END{align}\N]
Ici, tu devras également utiliser l'identité pythagoricienne,
\[\sin^2{x}+\cos^2{x}=1,\]
donc
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cot{x} &= -\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin^2{x}} \\N&= - \frac{1}{\sin^2{x}}. \Nend{align} \]
Enfin, utilise les propriétés des exposants pour écrire
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cot{x} = - \left(\frac{1}{\sin{x}}\right)^2. \]
Comme tu le verras plus loin, la réciproque de la fonction sinus est la fonction cosécante, \( \csc{x}\), tu peux donc écrire
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cot{x} &= -(\csc{x})^2 \\\N-\csc^2{x}. \N-END{align}\N]
Tu obtiens ainsi la formule de la dérivée de la fonction cotangente.
La dérivée de la fonction cotangente est
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cot{x} = -\csc^2{x}.\]
Dérivée de la fonction cosécante csc
Enfin, tu trouveras également la réciproque de la fonction sinus.
La fonction cosécante est notée
\[\csc{x}\]
et est la réciproque de la fonction sinus, c'est-à-dire
\[\csc{x}=\frac{1}{\sin{x}}.\]
Tu peux trouver la dérivée de la fonction cosécante comme tu l'as fait pour la fonction sécante. Commence par écrire la fonction cosécante en termes de fonction sinus,
\[ \csc{x} = \frac{1}{\sin{x}}.\]
Ensuite, différencie à l'aide de la règle du quotient, c'est-à-dire
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \csc{x} = \frac{ \frac{ \mathrm{d}}}{\mathrm{d}x} (1) \right) (\sin{x}) - (1) \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{x} \right) }{(\sin{x})^2}, \]
où tu peux utiliser la dérivée de la fonction sinus, donc
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \csc{x} &= \frac{(0)(\sin{x})-(1)(\cos{x})}{\sin^2{x}} \N- &= -\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}} \N- \N &= -\Nleft(\frac{1}{\sin{x}} \Nright) \Nleft( \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \Nright).\N- [end{align}\N]
Enfin, réécris la réciproque et utilise la fonction cotangente, donc
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc{x} = -(\csc{x})(\cot{x}).\]
Une fois de plus, tu trouveras très probablement la formule écrite sans parenthèses.
La dérivée de la fonction cosécante est
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc{x}=-\csc{x}\,\cot{x}.\]
Dérivée de la fonction sécante inverse
Tu as vu que la fonction sécante est la réciproque de la fonction cosinus. Cependant, tu te demandes peut-être comment traiter la fonction sécante inverse.
La fonction sécante inverse, également connue sous le nom de fonction arcus sécante, est notée comme suit
\[\mathrm{arcsec}{\,x}\]
et est la fonction inverse de la fonction sécante.
Tu peux aussi trouver la fonction sécante inverse sous la forme suivante
\[\sec^{-1}{x},\]
où tu dois garder à l'esprit que \(-1\) n' est pas un exposant, il est utilisé pour indiquer une fonction inverse.
N'oublie pas que l'inverse n'est pas la même chose que la réciproque.
Chaque fois que tu parles de fonctions inverses, tu dois faire attention à leur domaine. Pour la fonction sécante inverse, tu dois considérer que les sorties de la fonction sécante sont telles que\[ |\sec{x}| \geq 1, \]
Le domaine de la fonction sécante inverse sera donc tous les nombres dont la valeur absolue est supérieure ou égale à \(1\), c'est-à-dire
\N- (-\Ninfty,-1) \Ncup [1,\Ninfty).\N]
De plus, comme la fonction sécante est une fonction périodique, il est possible d'obtenir la même sortie à partir de deux entrées différentes. Pour s'assurer que la sécante inverse est une fonction, il faut restreindre cet intervalle et la convention habituelle est que ses sorties sont comprises entre \(0\) et \(\pi\), sauf \(\frac{\pi}{2}\), donc
\[ 0 \leq \mathrm{arcsec}{\, x} \leq \pi, \text{where,}\, \mathrm{arcsec}{\, x} \neq \frac{\pi}{2}.\]
Après avoir fait le tri, il est temps d'examiner la dérivée de la fonction sécante inverse, qui peut être obtenue à l'aide de la différenciation implicite et de quelques identités trigonométriques.
La dérivée de la fonction sécante inverse est
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \mathrm{arcsec}{\,x} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.\]
Dérivée de la fonction inverse de la cotangente
La fonction cotangente inverse, comme son nom l'indique, est l'inverse de la fonction cotangente.
La fonction cotangente inverse, également connue sous le nom de fonction arcus cotangente, est notée comme suit
\[\mathrm{arccot}{\, x}\]
et est la fonction inverse de la fonction cotangente.
Une autre notation pour la fonction cotangente inverse est la suivante
\[\cot^{-1}{x}.\]
Tu peux obtenir n'importe quel nombre réel comme sortie de la fonction cotangente, de sorte que le domaine de la fonction cotangente inverse est constitué de tous les nombres réels.
Les sorties de la fonction cotangente inverse sont généralement choisies de telle sorte qu'elles se situent entre \(0\) et \(\pi\), sans inclure ces valeurs. Cela signifie que
\N- 0 < \Nmathrm{arccot}{\N, x} < \Npi.\N]
Notez que certains livres peuvent définir l'intervalle entre \N( -^\pi/_2,\N) et \N( ^\pi/_2,\N) sans inclure \N(0,\N), c'est à dire
\N- [\N- gauche [-\Nfrac{\pi}{2},0 \Ndroite) \Ncup \Ngauche( 0, \Nfrac{\pi}{2} \Ndroite)].\N-]
La dérivée de la fonction cotangente inverse est
\frac[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \mathrm{arccot}{\, x} = -\frac{1}{x^2+1}\].
Dérivée de la fonction cosécante inverse
N'oublie pas la fonction cosécante inverse !
La fonction cosécante inverse, également connue sous le nom de fonction arcus cosécante, est notée comme suit
\[\mathrm{arccsc}{\, x}\]
et est la fonction inverse de la fonction cosécante.
La fonction cosécante inverse peut également s'écrire comme suit
\N[ \Ncsc^{-1}{x},\N]
et sa dérivée diffère de la dérivée de la sécante inverse par un signe.
Tout comme la fonction sécante inverse, les sorties de la fonction cosécante sont telles que\[ |csc{x}| \geq 1, \]
Le domaine de la fonction cosécante inverse sera donc tous les nombres dont la valeur absolue est supérieure ou égale à \(1\), c'est-à-dire
\N- (-\Ninfty,-1) \Ncup [1,\Ninfty).\N]
Les sorties de la fonction cosécante inverse sont telles qu'elles sont comprises entre \N( -^\pi/_2\N) et \N( ^\pi/_2\N), à l'exception de \N(0\N). C'est-à-dire
\N[ -\frac{\pi}{2} \leq \mathrm{arccsc}{\c,x} \leq \frac{\pi}{2}, \text{where,}\\N- \mathrm{arccsc}{\N- x} \neq 0.\N]
La dérivée de la fonction cosécante inverse est
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \mathrm{arccsc}{\N- x} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.\N]
Pour voir comment cette dérivée et les autres sont obtenues, jette un coup d'œil à notre article sur les dérivées des fonctions trigonométriques inverses.
Exemples de dérivées de sec, csc et cot
Entraîne-toi à utiliser les dérivées ci-dessus en faisant quelques exemples !
Trouve la dérivée de
\N[ f(x) = \Nsec{2x^2}.\N]
Solution :
Pour trouver cette dérivée, tu devras utiliser la règle de la chaîne ainsi que la règle de la puissance et la dérivée de la fonction sécante. Commence par laisser \[ u=2x^2,\]
La règle de la chaîne t'indique donc que
\[ f'(x)= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\sec{u} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.\]
En utilisant la règle de puissance, on obtient
\[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 4x,\]
donc
\[ f'(x)= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u} \sec{u} \right) (4x), \]
utilise maintenant la dérivée de la fonction sécante, ce qui te donne
\Nf'(x) = (\Nsec{u}\N,\Ntan{u}) (4x).
Enfin, substitue \(u\) et réarrange, ce qui donne
\[ f'(x) = (4x) \sec{2x^2} \, \tan{2x^2}.\]
Tu peux aussi utiliser la règle du produit pour trouver les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques !
Trouve la dérivée de
\[g(x) = xcot{x}.\N- \N]
Solution :
Ici, tu devras utiliser la règle du produit, c'est-à-dire
\[ g'(x) = \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x \right) \cot{x} + x\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot{x} \right).\]
Ensuite, utilise la règle de puissance et la dérivée de la fonction cotangente, donc
\N[ g'(x) = (1)(\cot{x})+x(-\c^2{x}),\N]
et enfin, simplifie la dérivée, c'est-à-dire
\[ g'(x) = \cot{x}-x\csc^2{x}.\]
C'est simple, non ? Jette un coup d'œil à un autre exemple utilisant la règle de la chaîne.
Trouve la dérivée de
\N[ h(x)= e^{\csc{x}}.\N]
Solution :
Ici, tu dois identifier que la fonction exponentielle prend la sortie de la fonction cosécante comme entrée, ce qui signifie que tu dois laisser
\[ u = \csc{x},\]
Ainsi, en utilisant la dérivée de la fonction cosécante, tu obtiens
\[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = -\csc{x}\N,\cot{x}.\N]
En utilisant la règle de la chaîne, on obtient
\[ h'(x) = \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}e^u\right) \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même, donc
\[ h'(x) = e^u \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.\]
Enfin, substitue \(u\) et sa dérivée et réarrange, donc
\[ \begin{align} h'(x) &= (e^{\csc{x}})(-\csc{x}\,\cot{x}) \\ &= -e^{\csc{x}}\csc{x}\,\cot{x}. \N- [Fin{align}\N-]
Dérivés de sec, csc et cot - Principaux enseignements
- Les fonctions sécante, cosécante et cotangente sont collectivement connues sous le nom de fonctions trigonométriques réciproques .
- La fonction sécante est la réciproque de la fonction cosinus, \[\sec{x}=\frac{1}{\cos{x}}.\N].
- La fonction cosécante est la réciproque de la fonction sinus, \[\csc{x}=\frac{1}{\sin{x}}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N].
- La fonction cotangente est la réciproque de la fonction tangente, \[\cot{x}=\frac{1}{\tan{x}}.\]
- Tu peux trouver les dérivées des fonctions sécante, cosécante et cotangente en utilisant les dérivées des fonctions sinus et cosinus, ainsi que la règle du quotient.
- \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec{x} = \sec{x}\\Netan{x}.\N]
- \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc{x} = -\csc{x}\\N-, \cot{x}.\N]
- \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot{x} = -\csc^2{x}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
- Les fonctions trigonométriques inverses, également appelées fonctions d'arcus, sont les fonctions inverses des fonctions trigonométriques. Les fonctions trigonométriques inverses ne sont pas les mêmes que les fonctions trigonométriques réciproques.
- Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses peuvent être obtenues à l'aide de la différenciation implicite et de certaines identités trigonométriques.
- \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \mathrm{arcsec}{\N- x} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.\N- \N- \N- \N- \N]
- \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \mathrm{arccot}{\, x} = -\frac{1}{x^2+1}\]
- \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \mathrm{arccsc}{\r}, x} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.\]
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Questions fréquemment posées en Dérivées de sec, csc et cot
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