La série p

Décide si la série

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt[4]{n}}{n^5}$

est une série p ou non.

Réponse :

À première vue, il ne s'agit pas d'une série p, mais faisons un peu d'algèbre pour en être sûrs. Voici

$\frac{\sqrt[4]{n}}{n^5}=\frac{n^{\frac{1}{4}}}{n^5}=\frac{1}{n^5·n^{-\frac{1}{4}}}=\frac{1}{n^{5-\frac{1}{4}}}=\frac{1}{n^{\frac{19}{4}}}={\left(\frac{1}{n}\right)}^{\frac{19}{4}}$

Il s'agit donc bien d'une série p.

La série est-elle

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^n}$

une série p ?

Réponse :

Non, car dans une série p, il faut l'élever à une puissance constante, et non une constante élevée à une puissance constante. $\frac{1}{n}$ à une puissance constante, et non à une constante élevée à la puissance.$n$puissance. En fait, cette série porte également un nom spécial, elle est appelée série géométrique. Pour plus d'informations sur ce type de séries, voir Séries géométriques.

Est-ce que la série

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n·\sqrt[3]{n}}$

converge-t-elle ou diverge-t-elle ?

Réponse :

Bien que cette série ne ressemble pas à une série p, rappelle-toi que

$\frac{1}{n·\sqrt[3]{n}}=\frac{1}{n·n^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$,

il s'agit donc bien d'une série p. Pour utiliser le test de l'intégrale, prends la fonction

$f\left(x\right)=\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ .

Cette fonction est décroissante, continue et positive pour , ce qui signifie que les conditions sont réunies pour appliquer le test de l'intégrale. Ensuite, tu intègres,

$$\begin{gathered} {\int }_1^{\infty }f\left(x\right)dx={\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}dx \\ ={\int }_1^{\infty }{x}^{-\frac{4}{3}}dx \\ =\underset{k\to \infty }{\lim }{\int }_1^k{x}^{-\frac{4}{3}}dx \\ =\underset{k\to \infty }{\lim }\left[{\overline{)-3x^{-\frac{1}{3}}}}_1^k\right] \\ =\underset{k\to \infty }{\lim }\left[-3k^{-\frac{1}{3}}-\left(-3\right)\right] \\ =3. \end{gathered}$$

Puisque l'intégrale converge, la série converge également selon le test de l'intégrale.

Est-ce que la série

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$

converge-t-elle ou diverge-t-elle ?

Réponse :

Dans cet exemple$p=2$. Puisque $p>\hspace{0.17em}1$cette série converge.

Explique pourquoi la série $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{n}\right)}^{-2}$ diverge en écrivant certaines des sommes partielles et en montrant ce qui se passe.

Réponse :

En écrivant les sommes partielles,

$\begin{array}{ccc}{s}_1& =& {\left(\frac{1}{1}\right)}^{-2}=1\\ s_2& =& s_1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=1+4=5\\ s_3& =& s_{2\hspace{0.17em}+}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=5+\hspace{0.17em}9=14,\end{array}$

et comme tu peux le voir, elles ne cessent d'augmenter. Cela signifie que la série diverge.

Décide si la série

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{n^2{3}^n}$

converge ou diverge.

Réponse :

Réécris d'abord la série en question sous la forme suivante

$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\frac{1}{n^2}$ .

Tu sais déjà que la série

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$

est une série p avec$p=2$et qu'elle converge. Elle a également tous les termes positifs. Donc, si tu peux écraser les termes de la série que tu regardes (qui a également tous les termes positifs) sous les termes de la série p, tu peux utiliser le test de comparaison pour dire que la nouvelle série converge.

En regardant

${\left(\frac{2}{3}\right)}^n$,

car $n\ge 1$ tu peux dire que

${\left(\frac{2}{3}\right)}^n<1$.

Donc

${\left(\frac{2}{3}\right)}^n{\left(\frac{1}{n}\right)}^2<\hspace{0.17em}1·{\left(\frac{1}{n}\right)}^2={\left(\frac{1}{n}\right)}^2$.

Cela signifie que, selon le test de comparaison utilisant la série p avec , la série

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{n^2{3}^n}$

converge.