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Sauter à un chapitre clé
Dans cet article, nous abordons tout ce que tu dois savoir sur la symétrie des fonctions et de leurs graphiques, notamment ce qu'est un axe de symétrie et comment le trouver, une analyse approfondie des fonctions paires et impaires et de leurs propriétés, comment trouver l'axe de symétrie d'une fonction quadratique et la symétrie desfonctions trigonométriques .
- Qu'est-ce que l'axe (ou la ligne) de symétrie d'une fonction ?
- Fonctions paires et impaires
- Axe de symétrie d'une fonction quadratique
- Symétrie des fonctions trigonométriques
- Points clés à retenir
Qu'est-ce que l'axe (ou la ligne) de symétrie d'une fonction ?
Une forme, ou un graphique, possède ce que nous appelons une symétrie réfléchissante si elle reste inchangée après que nous l'ayons réfléchie sur une ligne.
Un pentagone avec une symétrie réfléchie sur une ligne - StudySmarter Originals
Tu as remarqué que la ligne violette coupe le pentagone en deux ? Cela signifie que la ligne violette est un axe de symétrie pour le pentagone.
L'axe ou la ligne de symétrie est la ligne qui passe par le centre d'une forme et la divise en deux moitiés identiques, de sorte qu'une moitié est l'image miroir de l'autre moitié.
En d'autres termes, un axe ou une ligne de symétrie crée des reflets exacts d'un objet des deux côtés.
Un axe de symétrie n'est pas nécessairement une ligne verticale. Il peut aussi être horizontal ou coudé. Tant qu'il s'agit d'une ligne droite, n'importe quelle ligne peut être un axe de symétrie !
En fait, différentes formes ont différents axes de symétrie.
- Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie.
- Un carré a 4 axes de symétrie.
- Un pentagone régulier a 5 axes de symétrie.
- Un hexagone régulier a 6 axes de symétrie.
- Et un cercle a en fait un nombre infini d'axes de symétrie.
Symétrie des fonctions axes de symétrie des formes régulières courantes StudySmarter
Cette idée de symétrie réfléchie peut également s'appliquer aux graphiques des fonctions !
Fonctions paires et impaires
Le fait qu'une fonction soit paire ou impaire est une propriété liée à sa symétrie. Cette propriété facilite un peu le traitement des fonctions car elle nous aide à les représenter graphiquement.
Il existe quatre états de classification pour les fonctions paires et impaires :
- Une fonction peut être paire,
- Une fonction peut être impaire,
- Une fonction ne peut être ni paire ni impaire, ou
- Une fonction peut être à la fois paire et impaire.
Il y a deux façons de vérifier si une fonction est paire, impaire ou n'est ni paire ni impaire :
- Algébriquement : en remplaçant la valeur d'entrée (x) par une valeur négative (-x) et en considérant la sortie, et
- Graphiquement : en vérifiant la symétrie de réflexion par rapport à l'axe des y ou la symétrie de rotation par rapport à l'origine.
Les fonctions paires et impaires tirent leur nom du fait que la fonction puissance, qui est unefonction monomiale de la forme : est une fonction paire si est paire, et c'est une fonction impaire si est impair.
Mais un exposant ne signifie pas toujours qu'une fonction est paire ou impaire! Par exemple, la fonction f(x)=(x+1)^2 n'est pas une fonction paire, et la fonction f(x)=(x^3)+1 n'est pas une fonction impaire ! Nous pouvons vérifier cela en utilisant la définition des fonctions paires et impaires ci-dessous.
En général, nous considérons que les fonctions sont paires, impaires ou ni l'une ni l'autre. Pour déterminer si une fonction, est paire ou impaire, il suffit de remplacer pour et de vérifier la valeur de sortie de .
Considère la fonction à valeurs réelles .
- Choisis n'importe quel nombre positif pour x et introduis-le dans la fonction. Quel est le résultat ?
- Maintenant, introduis la valeur négative de ton nombre x dans la fonction. Quel est le résultat ?
- Indice : tu devrais obtenir la même réponse dans les deux cas !
- Ce phénomène peut être exprimé en écrivant .
- En d'autres termes, si tu introduis comme entrée dans tu obtiens la même réponse que si tu utilises au lieu de .
Si une fonction à valeur réelle satisfait pour chaque nombre dans son domaine, il s'agit d'une fonction paire.
En d'autres termes, si nous remplaçons chaque nombre par et que nous obtenons le même résultat, la fonction est paire.
Considérons la fonction à valeurs réelles .
- Choisis n'importe quel nombre positif pour x et introduis-le dans la fonction. Quel est le résultat ?
- Maintenant, introduis la valeur négative de ton nombre x dans la fonction. Quel est le résultat ?
- Indice : tu devrais obtenir la réponse négative pour ce que tu as choisi en premier.
- Ce phénomène peut être exprimé en écrivant .
- En d'autres termes, si tu introduis comme entrée dans tu obtiens le négatif de la réponse pour la valeur de que tu as choisie en premier.
Si une fonction à valeur réelle satisfait pour chaque nombre dans son domaine, il s'agit d'une fonction impaire.
En d'autres termes, si nous remplaçons chaque nombre par et que nous obtenons la version négative du même résultat, la fonction est impaire.
Graphiques des fonctions paires et impaires
L'indice visuel indiquant qu'une fonction est paire est que son graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Qu'est-ce que cela signifie exactement ? Cela signifie que nous pouvons considérer l'axe des y comme un miroir, ou comme l'axe de symétrie: ce qui se trouve d'un côté de l'axe des y se reflète de l'autre côté. En d'autres termes, si nous avions le graphique d'une fonction paire sur une feuille de papier et que nous plions cette feuille le long de l'axe des ordonnées du graphique, les deux côtés de la fonction se chevaucheraient parfaitement.
La fonction est paire parce que :
Le graphique d'une fonction paire - StudySmarter Originals
L'indice visuel qu'une fonction est impaire est que son graphique est symétrique par rapport à l'origine. Qu'est-ce que cela signifie exactement ? Cela signifie que si nous réfléchissons le graphique de la fonction sur les axes des x et des y, il aura exactement la même apparence que celle qu'il avait avant que nous ne le réfléchissions. En d'autres termes, si nous avions le graphique d'une fonction impaire sur une feuille de papier, nous pourrions faire pivoter cette feuille de 180° (en utilisant le point d'origine du graphique comme point de rotation) et nous obtiendrions le graphique original.
La fonction est impaire parce que.. :
Le graphique d'une fonction impaire - StudySmarter Originals
Propriétés des fonctions paires et impaires
Il existe plusieurs propriétés des fonctions paires et impaires qui nous aideront dans l'AP Calculus.
Propriétés de la somme et de la différence :
- À moins que l'une des fonctions ne soit la fonction zéro, elle reste identique à la fonction non zéro.
Propriétés du produit et du quotient :
Propriétés de la composition :
Les fonctions qui ne sont ni paires ni impaires
La plupart des fonctions que nous rencontrons dans l'AP Calculus ne sont ni paires ni impaires. Une fonction à valeurs réelles qui ne répond ni aux exigences paires ni aux exigences impaires est considérée comme n'étant ni paire ni impaire.
Considère la fonction :
Si nous introduisons pour nous obtenons :
Puisque la sortie de n'est ni ni la fonction n'est ni paire ni impaire.
La fonction zéro : elle est à la fois paire et impaire
Une fonction à valeur réelle est dite à la fois paire et impaire si elle satisfait à la fois et pour toutes les valeurs de dans le domaine de .
Il n'y a qu'une seule fonction qui soit à la fois paire et impaire, et c'est la fonction zéro : .
Pourquoi ?
Nous savons que pour la fonction zéro, pour toutes les valeurs de . C'est parce que -0 est considéré comme la même chose que 0.
Par conséquent, , est à la fois une fonction paire et impaire.
Fonctions paires et impaires : Exemples
Détermine si la fonction est paire, impaire ou n'est ni l'une ni l'autre.
Solution :
- Par conséquent, n'est ni paire ni impaire.
Détermine si la fonction est paire, impaire ou n'est ni l'une ni l'autre.
- Par conséquent, n 'est ni paire ni impaire.
Détermine si la fonction rationnelle est paire, impaire ou n'est ni l'une ni l'autre.
Solution :
- Par conséquent, est une fonction impaire .
Axe de symétrie d'une fonction quadratique
La fonction la plus couramment utilisée pour décrire un axe de symétrie est la parabole. La parabole est une fonction quadratique avec un graphique en forme de U dont l'axe de symétrie est une ligne verticale tracée à travers son sommet (le point le plus haut ou le plus bas du graphique).
L'axe de symétrie d'une parabole - StudySmarter Originals
Une parabole a un axe de symétrie, et nous pouvons l'utiliser pour déterminer l'orientation de la parabole :
- Si l'axe de symétrie est vertical, la parabole est verticale.
- Les paraboles verticales s'ouvrent vers le haut ou vers le bas.
- Si l'axe de symétrie est horizontal, la parabole est également horizontale.
- Les paraboles horizontales s'ouvrent vers la gauche ou la droite.
Remarque sur les paraboles horizontales (ou latérales) :
Une parabole horizontale n'est pas une fonction - StudySmarter Originals
Si nous nous souvenons de notre article sur les fonctions : ce n'est pas parce que nous pouvons représenter graphiquement quelque chose qu'il s'agit d'une fonction. Alors qu'une parabole qui s'ouvre vers le haut ou vers le bas est une fonction, une parabole qui s'ouvre vers la gauche ou vers la droite n'est pas une fonction.
Te souviens-tu de la raison pour laquelle c'est le cas ?
C'est parce que lesparaboles horizontales échouent au test de la ligne verticale! Cela signifie qu'une parabole qui s'ouvre à gauche ou à droite est une relation, pas une fonction.
MAIS...
Toute forme (carré, cercle, triangle, étoile, etc.) peut avoir un axe (ou des axes) de symétrie, même s'il ne s'agit pas d'une fonction !
Ainsi, même si lesparaboles horizontales ne sont pas des fonctions, elles ont toujours un axe de symétrie. Dans ce cas, l'axe de symétrie est la ligne horizontale passant par son sommet, au lieu de la ligne verticale passant par son sommet comme la parabole d'ouverture haut/bas.
Équation de l'axe de symétrie
Si le sommet est le point où l'axe de symétrie croise une parabole, comment trouver l'équation de l'axe de symétrie d'une parabole ? Commençons par ce que nous savons :
- Nous pouvons utiliser l'axe de symétrie pour déterminer l'orientation d'une parabole, donc nous pouvons aussi utiliser l'orientation d'une parabole pour déterminer l'axe de symétrie !
- Nous savons qu'une parabole verticale (ouverture vers le haut/bas) a un axe de symétrie vertical.
- Nous savons qu'une parabole horizontale (ouverture gauche/droite) a un axe de symétrie horizontal.
À partir de là, nous pouvons déduire :
- Pour une parabole verticale dont le sommet est l'équation de l'axe de symétrie est la suivante
- Pour une parabole horizontale dont le sommet est , l'équation de l'axe de symétrie est
Formule de l'axe de symétrie
Puisqu'une parabole verticale est une fonction, nous pouvons utiliser une formule pour trouver l'axe de symétrie. Cette formule pour un axe de symétrie peut prendre deux formes :
Forme standard
La forme standard de l'équation quadratique est :
où a, b et c sont des nombres réels.
Nous pouvons trouver l'axe de symétrie d'une parabole à partir de son équation quadratique en utilisant cette formule :
Forme du sommet
Si nous écrivons l'équation quadratique d'une parabole sous la forme d'un sommet, nous obtenons :
où est le sommet de la parabole.
Cela rend la formule de l'axe de symétrie très simple :
puisque sous forme de sommet, le sommet et l'axe de symétrie se trouvent sur la même ligne!
Forme factorisée
Si nous écrivons l'équation quadratique d'une parabole sous forme factorisée, nous obtenons :
où p et q sont les zéros (les points où la parabole croise l'axe des x) de la parabole.
Écrivons ce qui suit sous forme factorisée :
Solution :
- Multiplie le premier coefficient: 1 par la constante: 6.
- Factorise le nombre obtenu à l'étape 1 (le nombre 6) en deux parties afin qu'il réponde à deux exigences :
- La somme de ces deux parties est égale au coefficient de qui est de -5
- Le produit de ces deux parties est égal au nombre obtenu à l'étape 1, c'est-à-dire 6.
- En gardant cela à l'esprit, pouvons-nous penser à deux facteurs de 6 qui, lorsque nous les additionnons, donnent -5 et qui, lorsque nous les multiplions, donnent 6 ?
- Nous factorisons 6 comme suit :
- En gardant cela à l'esprit, pouvons-nous penser à deux facteurs de 6 qui, lorsque nous les additionnons, donnent -5 et qui, lorsque nous les multiplions, donnent 6 ?
- En utilisant ces deux facteurs : -2 et -3, factorise l'équation quadratique originale :
- Cela signifie que les zéros (ou racines) de cette équation quadratique sont les suivants . Ce sont les points où la parabole croise l'axe des x. Le graphique de cette équation quadratique est illustré ci-dessous.
Le graphique d'une parabole montrant les racines et l'axe de symétrie - StudySmarter Originals- Tu as remarqué que l'axe de symétrie se trouve exactement au milieu des racines de l'équation ?
- Cela signifie que la forme factorisée de l'équation quadratique peut être utilisée pour trouver l'axe de symétrie. Tout ce que nous avons à faire, c'est de calculer le point médian entre les deux racines, et nous l'avons !
- Le point médian peut être calculé à l'aide de la formule suivante
Axe de symétrie : Dérivation pour une parabole
Comme l'axe de symétrie passe toujours par le sommet d'une parabole, il est nécessaire de trouver le sommet pour trouver l'axe de symétrie. Pour une parabole verticale, nous savons que la formule de l'axe de symétrie est :
Maintenant, comprenons pourquoi c'est le cas.
Nous savons que la formule quadratique pour une parabole est :
où a, b et c sont des nombres réels.
Le terme c est une constante qui n'affecte pas la parabole, nous pouvons donc nous contenter de considérer la formule :
Nous savons que l'axe de symétrie doit passer par le sommet, mais comment trouver le sommet ?
Puisque l'axe de symétrie coupe la parabole en deux moitiés égales, nous devons faire deux choses :
- Trouve les intersections x de la parabole.
- Ensuite, trouve le point médian entre les points d'intersection des x.
Pour trouver les points d'intersection des x, substitue et résous x :
Pour trouver le point médian entre les points d'intersection des x, introduis les deux valeurs de x dans la formule du point médian :
et résous x :
Axe de symétrie pour une fonction quadratique : Exemples
Étant donné l'équation quadratique :
Trouve l'axe de symétrie.
Solution :
Cette équation est sous forme standard, nous pouvons donc la rassembler :
En utilisant la formule de l'axe de symétrie :
Donc, en branchant les valeurs de a et b, on obtient :
Par conséquent, l'axe de symétrie est la ligne verticale :
Étant donné l'équation quadratique :
Trouve l'axe de symétrie.
Solution :
Nous savons que :
En utilisant la formule de l'axe de symétrie :
Donc, en introduisant les valeurs de a et b, nous obtenons :
Par conséquent, l'axe de symétrie est la ligne verticale :
Étant donné l'équation quadratique :
Trouve l'axe de symétrie.
Solution :
Puisque l'équation quadratique est sous forme de sommet, nous savons que :
Donc, le sommet de la parabole est :
Par conséquent, l'axe de symétrie est la ligne verticale :
Symétrie des fonctions trigonométriques
Les six principales fonctions trigonométriques ont toutes des propriétés de symétrie qui sont utiles pour les comprendre et les évaluer. Ce sont toutes des fonctions paires ou impaires, et elles ont une symétrie entre les angles.
Fonctions trigonométriques paires et impaires
Les 6 principales fonctions trigonométriques :
- le sinus et sa réciproque, la cosécante
- cosinus et sa réciproque, sécante
- tangente et sa réciproque, cotangente
ont des propriétés paires ou impaires qui peuvent être déterminées à l'aide du cercle circonscrit.
Le cercle des unités - StudySmarter Originals
Pour savoir si une fonction trigonométrique est paire ou impaire, nous regardons quelles fonctions trigonométriques ont des valeurs positives dans chaque quadrant du cercle unitaire :
- Dans le quadrant I, toutes les fonctions trigonométriques sont positives.
- Dansle quadrantII ,seuls le sinus et la cosécante sont positifs.
- Dansle quadrantIII , seules latangente et la cotangente sont positives.
- Dansle quadrantIV, seuls lecosinus et la sécante sont positifs.
Comme et sa réciproque, , sont positives à la fois dans le quadrant I et dans le quadrant IV du cercle unitaire, nous savons que et satisfont à l'exigence d'être des fonctions paires.
Comme et et leurs réciproques, et sont positifs dans le quadrant I mais négatifs dans le quadrant IV du cercle unitaire, nous savons que , ils satisfont donc à l'exigence d'être des fonctions impaires.
Symétrie avec les angles dans les fonctions trigonométriques
Tu te souviens desidentités trigonométriques périodiques et cofonctionnelles de notre article sur la manipulation des fonctions ? Ces identités montrent comment les fonctions trigonométriques présentent une symétrie en fonction de l'angle pour que nous utilisons avec la fonction. Elles peuvent également s'avérer très utiles pour simplifier les problèmes dans le cadre de l'AP Calculus.
Reprenons cette idée et développons-la un peu. Si nous examinons à nouveau le cercle unitaire, nous pouvons voir que d'autres propriétés de symétrie pour les fonctions trigonométriques peuvent être établies.
Le cercle unitaire pour la symétrie des fonctions trigonométriques - StudySmarter Originals
Ce que cela montre, c'est que lorsque nous utilisons certains angles pour les fonctions trigonométriques, le résultat est le même. avec les fonctions trigonométriques, le résultat est souvent l'une des autres fonctions trigonométriques ! Cela nous amène à trouver les identités suivantes :
| Réfléchi en θ = 0 | Réfléchi en θ = π/4 (identités de cofonction) | Réfléchi dans θ = π/2 |
Le signe devant la fonction trigonométrique n'indique pas nécessairement le signe de la valeur de la fonction. Par exemple, +cos(θ) ne signifie pas toujours que cos(θ) est positif. En fait, si θ = π, +cos(θ) = -1.
Décalage par les angles et périodicité des fonctions trigonométriques.
Il est également utile de savoir que si nous décalons une fonction trigonométrique par certains angles, il est très probable que nous puissions trouver une fonction trigonométrique différente pour exprimer le résultat plus simplement. Les exemples les plus courants sont les décalages de radians. Comme les périodes des fonctions trigonométriques sont soit il y a plusieurs cas où la nouvelle fonction est la même que l'ancienne ! Examinons ces décalages :
| Décalage de π/2 radians | Décalage de π radians | Décalage de 2π radians |
Une autre façon de considérer les symétries des fonctions trigonométriques est résumée dans le tableau ci-dessous.
| Cas | Relation entre les angles A et B | Diagramme | Conclusion |
| 1 | Les angles diffèrent d'un multiple de 360°. |
| Puisque et sont coterminaux, ils ont la même valeur de cosinus et de sinus. |
| 2 | Les angles diffèrent d'un multiple impair de 180°. |
| Puisque et ont des côtés terminaux dans des quadrants diagonalement opposés, le cosinus et le sinus changent de signe. |
| 3 | La somme des angles est un multiple de 360°. |
| Puisque et se trouvent dans des quadrants verticalement adjacents, les valeurs du cosinus sont les mêmes, mais les valeurs du sinus sont opposées. |
| 4 | La somme des angles est un multiple impair de 180°. |
| Puisque et se trouvent dans des quadrants adjacents horizontalement, les valeurs des cosinus sont opposées mais les valeurs des sinus sont les mêmes. |
Symétrie des fonctions trigonométriques : Exemples
Détermine si la fonction est paire, impaire ou n'est ni l'une ni l'autre.
Solution :
- Nous savons que est une fonction impaire et que est une fonction paire.
- Nous savons que la multiplication d'une fonction paire et d'une fonction impaire donne une fonction impaire.
- Par conséquent, est une fonction impaire.
Vérification :
Détermine si la fonction est paire, impaire ou n'est ni l'une ni l'autre.
Solution :
- Pour déterminer si la fonction est paire, impaire ou n'est ni l'une ni l'autre, remplace x par -x et simplifie.
- Par conséquent, est une fonction paire.
Quelle est la relation entre ?
Solution :
Par conséquent,
Ceci montre que la période de la fonction tangente est .
Symétrie des fonctions - Principaux enseignements
- Il existe deux principaux types de symétrie dans les fonctions :
- Les fonctions paires - sont symétriques par rapport à l'axe des y.
- Les fonctions impaires - sont symétriques par rapport à l'origine.
- Bien que certaines fonctions puissent être paires ou impaires, la plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires.
- Seule la fonction zéro est à la fois paire et impaire.
- Un axe (ou une ligne) de symétrie est une ligne qui divise un objet en deux moitiés égales qui sont des images miroir l'une de l'autre.
- La fonction quadratique a deux formules pour trouver l'axe de symétrie d'une parabole :
- Forme standard
- Forme du sommet
- Les 6 principales fonctions trigonométriques sont des fonctions paires ou impaires.
- Le Cosinus et la Sécante sont des fonctions paires.
- Le sinus, la cosécante, la tangente et la cotangente sont des fonctions impaires.
Laquelle des fonctions suivantes est la seule qui soit à la fois paire et impaire ?
La fonction zéro
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