La règle de puissance

Formule de la règle de puissance et exemples

L'une des principales fonctions que l'on trouve en calcul est la fonction puissance.

Ces fonctions sont essentielles en calcul pour construire des fonctions plus avancées, comme les fonctions polynomiales ou les fonctions rationnelles. Nous pouvons trouver la dérivée d'une fonction puissance en utilisant ce que l'on appelle la règle de la puissance. Jetons un coup d'œil à cette règle.

Cette règle peut rendre la recherche de dérivées en calcul beaucoup plus simple ! Prenons quelques exemples.

Nous pouvons utiliser la règle de puissance en combinaison avec d'autres règles de différenciation pour trouver la dérivée d'une fonction polynomiale. Voyons un exemple de ce processus.

Dérivation de la règle de puissance

Pour prouver la règle de puissance, nous allons examiner la dérivée de $f\left(x\right)=x^n$en utilisant les limites. Nous n'avons besoin de trouver une telle dérivée en utilisant les limites qu'une seule fois, pour prouver notre formule. Nous pourrons ensuite utiliser cette formule chaque fois que nous aurons besoin de différencier une fonction puissance.

Nous commençons par utiliser la définition d'une dérivée.

$\frac{d}{dx}{x}^n=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

Ensuite, évalue $f(x+h)$et $f\left(x\right)$.

$\frac{d}{dx}{x}^n=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{(x+h)}^n-x^n}{h}$

Nous pouvons utiliser le théorème binomial pour développer ${(x+h)}^n$.

${(x+h)}^n=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)x^n+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)x^{n-1}h+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^{n-2}{h}^2+...+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^n$

Les deux premiers coefficients binomiaux sont 1 et $n$respectivement.

${(x+h)}^n=x^n+n{x}^{n-1}h+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^{n-2}{h}^2+...+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^n$

Pour refléter la définition d'une dérivée, nous devons soustraire $x^n$et diviser par $h$ des deux côtés de l'équation.

Nous avons maintenant l'expression suivante :

$\frac{{(x+h)}^n-x^n}{h}=n{x}^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^{n-2}h+...+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^{n-1}$

En prenant la limite lorsque h va jusqu'à 0, tous les termes qui contiennent h disparaissent. Il ne nous reste donc que $n{x}^{n-1}$.

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{(x+h)}^n-x^n}{h}=n{x}^{n-1}$

Enfin, nous sommes arrivés à la règle de la puissance.

$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$

Règle de puissance pour les puissances négatives et fractionnaires

Nous n'avons prouvé que le cas impliquant des entiers positifs. Cependant, nous pouvons utiliser la règle de puissance lorsque les puissances sont négatives. La formule est la même.

Nous pouvons également utiliser la règle des puissances pour les puissances fractionnaires, comme dans le cas d'une fonction de racine carrée.

Autres exemples de la règle de la puissance

Le calcul est plein de fonctions différentes auxquelles nous pouvons appliquer les règles de différenciation. Dans cette section, nous allons voir d'autres exemples de dérivées utilisant la règle de la puissance.

L'exemple suivant prend en compte les puissances négatives.

Examinons d'autres racines, que nous pouvons écrire sous forme de puissances fractionnaires.

Avec suffisamment de pratique, nous pouvons sauter certaines de ces étapes.

Erreurs courantes lors de l'utilisation de la règle de puissance

Nous ne pouvons pas utiliser la règle de la puissance si la variable est la puissance d'une expression.

N'oublie jamais de diminuer la puissance d'une unité après avoir différencié la fonction !